第三章離散時間信號的傅里葉變換

1、第三章 離散時間信號的傅里葉變換課程：數(shù)字信號處理目 錄第三章 離散時間信號的傅里葉變換2教學(xué)目標(biāo)23.1引言23.2傅里葉級數(shù)CFS33.2.1傅里葉級數(shù)CFS定義33.2.2傅里葉級數(shù)CFS性質(zhì)53.3傅里葉變換CFT63.3.1傅里葉變換CFT定義63.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)73.4離散時間信號傅里葉變換DTFT83.4.1離散時間信號傅里葉變換DTFT定義83.4.2離散時間信號傅里葉變換的性質(zhì)83.5周期序列的離散傅里葉級數(shù) (DFS)123.5.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)的定義133.5.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)173.6離散傅里葉變換(DFT)193.6.1離散傅里

2、葉變換(DFT)193.6.2離散傅里葉變換的性質(zhì)213.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的區(qū)別與聯(lián)系233.8用DFT計算模擬信號的傅里葉分析253.9實驗28本章小結(jié)30習(xí)題31參考文獻：34第三章 離散時間信號的傅里葉變換教學(xué)目標(biāo)本章講解由時域到頻域的傅里葉變換，頻域觀察信號有助于進一步揭示系統(tǒng)的本質(zhì)，對于某些系統(tǒng)可以極大的簡化其設(shè)計和分析過程。通過本章的學(xué)習(xí)，要理解連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的和離散時間信號基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用；了解一些典型信號的傅里葉變換；理解連續(xù)時間信號的傅里葉級數(shù)(CFS)、連續(xù)時間信號的傅里葉變換(CFT)、離散時間傅里葉變換(DTFT)、離

3、散時間傅里葉級數(shù)(DTFS)和離散傅里葉變換(DFT)它們相互間的區(qū)別與聯(lián)系；掌握傅里葉變換的參數(shù)選擇，以及這些參數(shù)對傅里葉變換性能的影響；了解信號處理中其它算法（卷積、相關(guān)等）可以通過離散傅里葉變換(DFT)來實現(xiàn)。3.1 引言一束白光透過三棱鏡，可以分解為不同顏色的光，這些光再通過三棱鏡，就會得到白光。傅里葉指出，一個“任意”周期函數(shù)都可以分解為無窮多個不同頻率正弦信號的和，這即是傅里葉級數(shù)。求解傅里葉系數(shù)的過程就是傅里葉變換。傅里葉級數(shù)和傅里葉變換又統(tǒng)稱為傅里葉分析。傅里葉分析方法相當(dāng)于三棱鏡，信號即是那束白光。傅里葉的兩個最主要的貢獻：1、周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和；

4、2、非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示。傅里葉變換源自對傅里葉級數(shù)的研究。在對傅里葉級數(shù)的研究中，復(fù)雜的周期函數(shù)可以用一系列簡單的正弦、余弦波之和表示。傅里葉變換是對傅里葉級數(shù)的擴展，由它表示的函數(shù)的周期趨近于無窮。 根據(jù)信號的周期性、連續(xù)性，可以劃分為四種重要的傅里葉變換。周期信號（不管離散與否）都可以用傅里葉級數(shù)（Fourier Series）表示：如果輸入信號為周期連續(xù)時間信號，則有連續(xù)時間傅里葉級數(shù)（continuous-time Fourier series, CTFS），如果輸入信號為周期離散時間信號，則有離散時間傅里葉級數(shù)（discrete-time Fourier seri

5、es，DTFS）。非周期信號（不管離散與否）都可以用傅里葉變換（Fourier transform）表示：連續(xù)非周期的輸入信號則有連續(xù)時間傅里葉變換（continuous-time Fourier transform, CTFT），離散非周期輸入信號則有離散時間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform，DTFT）?；A(chǔ)知識一、周期函數(shù)先從周期函數(shù)開始討論。設(shè)一個函數(shù)ft是周期性的，周期為T，如果有一個T>0，ft=ft+nT, n=0,±1,±2,()使等式成立，則稱T=20，T為的最小正周期。二、三角函數(shù)時間周期的經(jīng)典例子是諧振蕩器

6、，先從該系統(tǒng)的狀態(tài)是由一個單一的正弦波的形式說起：xat=Asin(2ft+)()在這個表達式中，參數(shù)A是振幅，頻率是f，相位是。如果將上式采樣，即：xn=xanTs=Asin2fTsn+=AsinTsn+()f為模擬頻率，單位Hz，Ts為采樣周期，單位秒s，=2f，為模擬角頻率。關(guān)系表達式如下：=2fTs=2f/fs=Ts=/fs()三、復(fù)指數(shù)函數(shù)歐拉公式，因為：ej=cosx+jsinx ()所以正弦信號的復(fù)數(shù)形式數(shù)學(xué)定義如下：xt=ejk0t=cos(k0t)+jsin(k0t)()3.2 傅里葉級數(shù)CFS3.2.1傅里葉級數(shù)CFS定義傅里葉的思想是，所有的周期函數(shù)都可以表示為正弦信號的

7、加權(quán)和8，即：xt=a0+k=0ancosk0t+bnsin(k0t)()a0是常量，通常叫做直流分量（DC）。上式用復(fù)指數(shù)的形式可表示為：xt=k=-Xkejk0t()兩邊同時乘以e-jn0t，并從0到T積分，得到80Txte-jn0tdt=0Tk=-Xkej(k-n)0tdt=k=-Xk0Tej(k-n)0tdt ()再看：0Te-j(n-k)0tdt=0Tcosn-k0t-jsinn-k0tdt()這是一個周期為|Tn-k|的函數(shù)9，當(dāng)n=k時，結(jié)果為1,，因此式（10）可以寫成：0Txte-jn0tdt=XkTX(k)=1T0Txte-jk0tdt當(dāng)nk時等式（10）的結(jié)果為0。因此傅

8、里葉系數(shù)Fourier coefficients可以寫成：X(k)=1T0Txte-jk0tdt()故，其傅里葉變換對可以寫為10Xk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdt ()xt=k=-+Xkej2kft()正交基和向量理解為了便于對傅里葉變換的理解，就要借用向量。首先復(fù)習(xí)幾個概念。內(nèi)積：對于兩個向量，他們的內(nèi)積就是各個分量相乘再求和。正交是內(nèi)積為0的情況，在二維空間上可以理解為垂直。例如，在三角函數(shù)系中1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .，任意兩個不同元素的內(nèi)積都為零，因此這個集合成為正交集合。空間：如果該空間的任意元素進行加法和乘法計算后的結(jié)果仍然

9、屬于該空間，那就組成一個向量空間。如果空間內(nèi)有一個子集合，子集合的元素兩兩正交，那該子集合就是向量空間的基。上面用于展開傅里葉級數(shù)的e-jk0可以看成是一組正交的基。所以對于傅里葉展開來說，任何正交的空間，都可以作為展開的基函數(shù)，三角函數(shù)和復(fù)指數(shù)只是其中一類基函數(shù)。簡單地說傅里葉變換就是把信號投影到基上。對于任意的實信號，我們都可以看做是一些不同頻率的正弦波和余弦波的疊加。這時候，我們求這個信號和傅里葉基內(nèi)積4：<xt，e-jk0t>=0Txte-jk0tdt()就得到了傅里葉變換的定義。頻域的圖像表達以矩形波的傅里葉變換來描述信號在頻域上的圖像表示方法：縱坐標(biāo) Xk為復(fù)諧波函數(shù)e

10、j2kFt幅度，橫坐標(biāo)k為諧波序號10。復(fù)諧波函數(shù)之和即形成原函數(shù)。 【例3.2.1】圖3.2.1是一周期矩形信號，周期為T；顯然，它滿足狄利克雷條件。由(3.2.3)式可知，其傅里葉系數(shù)是一離散sinc函數(shù)，其中=0.2T，T=1，A=5，0=2PI/T。圖3.2.1 周期方波信號及其傅里葉系數(shù)Figure 3.2.1 Periodic square wave signal and its Fourier coefficients3.2.2傅里葉級數(shù)CFS性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FSXk+Yk()2. 時移：xt-t0FSe-j2kf0t0Xk()3. 時間反轉(zhuǎn): x-tFSX-k()

11、4. 時間尺度變換：zt=x(at)()a. TF=T0a()Zk=Xk()zt=xat=k=-Zkej2akf0t()b. TF=T0()Zk=Xka ka是整數(shù) 0 其他()zt=xat=k=-Zkej2kf0t5. 時域微分：ddtxtFSj2kf0Xk0()6. 時域積分：-tx()dFSj2kf0Xk()7. 乘積-卷積對偶性: xtytFSXk*Yk ()8. x(t)周期卷積ytFST0XkYk()9. 共軛：x*tFSX*-k()10. 帕塞瓦爾定理: 1T0T0x(t)2dt=k=-X(k)2()3.3 傅里葉變換CFT3.3.1傅里葉變換CFT定義上節(jié)討論了周期信號的傅里葉

12、級數(shù)，接下來我們要從傅立葉級數(shù)過渡到傅立葉變換。我們可以將非周期信號看成周期為無窮大的周期信號。首先建立一個簡單的、特殊的并且很重要的信號矩形波，并且讓這個信號為周期信號，周期為T：TT2T1xt=1, &|t|<T10, &T1<|t|<T2我們可以算出此信號的傅里葉系數(shù)X(k)=1T-T2T2e-jk0t 1 dt=1nsin(2kTT)在T時，建立函數(shù)9xt=xt, &|t|<T20, &t>T2X(k)=1T-T2T2e-jk0t xt dtX(k)=1T-e-jk0t xtdtTX(k)=-e-jk0t xtdt根據(jù)上面傅

13、里葉變換對的公式可以得到xt=k=-+1T-e-jk0t xtdtejk0t因為T=20，上式可以寫成xt=12k=-+-e-jk0t xtdtejk0t0當(dāng)T,00，則limTx(t)=xt=12-e-jk0t XdX=-e-jk0t xtdt其傅里葉變換對為：Xf=-+x(t)e-j2ftdt ()xt=12-+X(f)ej2ftdw ()特別強調(diào)的是信號還需滿足如下的狄利克雷(Dirichlet)條件：1、 信號絕對可積。2、 在同一個周期內(nèi)，間斷點的個數(shù)有限；3、 極大值和極小值的數(shù)目有限；3.3.2傅里葉變換CFT的性質(zhì)1. 線性：xt+y(t)FX(f)+Y(f) xt+y(t)F

14、X(j)+Y(j)2. 時移：xt-t0Fe-j2ft0X(f) xt-t0Fe-jt0X(j)3. 頻移：x(t)ej2f0tFX(f-f0) x(t)ej0tFX(j(-0)4. 時間尺度變換： x(at)F1aX(fa) x(at)F1aX(ja)5. 頻率尺度變換： 1ax(ta)FX(af) 1ax(ta)FX(ja)6. 共軛變換：x*tFX*(-f) x*tFX*(-j)7. 乘積 - 卷積對偶性： x(t)*y(t)FX(f)Y(f) x(t)*y(t)FX(j)Y(j) x(t)y(t)FX(f)*Y(f) x(t)y(t)FX(j)*Y(j)8. 微分性質(zhì)：ddtxtFj2

15、fX(f) ddtxtFjX(j)9. 調(diào)制： xtcos2f0tF12Xf-f0+Xf+f0 xtcos0tF12X(j-0)+X(j+0) 10. 周期信號變換：xt=k=-Xke-j2kfFtFXf=k=-Xk(f-kf0) xt=k=-Xke-jkFtFXf=2k=-Xk(-k0)11. 帕塞瓦爾定理：-x(t)2dt=-X(f)2df -x(t)2dt=12-X(j)2df12. 沖擊函數(shù)的定義：-e-2xydy=(x) 13. 對偶性： X(t)Fx(-f) X(-t)Fx(f) X(jt)F2x(-) X(-jt)F2x()14. 利用傅里葉變換得到總面積: X0=-xtdt x

16、0=-X(f)df15. 積分：-tx()dFX(f)j2f+12X(0)(f) -tx()dFX(j)j+X(0)()3.4 離散時間信號傅里葉變換DTFT3.4.1離散時間信號傅里葉變換DTFT定義在第二章討論過序列的傅里葉變換對5，即Xejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw離散時間信號指在離散時間變量時有定義的信號。如果把序列看成模擬信號的抽樣，抽樣時間間隔為T，抽樣頻率為fs=1T，s=2T,則離散信號可以表示為xn=xanTs=xaT|t=nTs()表明離散信號僅在t=nTs有值，在其他時刻沒有。3.4.2離散時間信號傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)討論DTFT的一

17、些性質(zhì)，xn和yn是兩個離散時間信號，其離散傅里葉變換是X(F)和Y(F)，那么一下的性質(zhì)成立。一、 線性令的DTFT分別是，并令則()xt+ytFXj+Y(j)()二、 時移令，則，即 x(t-t0)FX(j)e-jt0()三、 奇、偶、虛、實對稱性質(zhì)設(shè)x(n)為一復(fù)信號，將x(n),都分別寫成實部和虛部的形式即()由DTFT正，反定義的定義可得()如果x(n)是實信號，即=0，由于，分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)，可得下述結(jié)論。1) 的實部是的偶函數(shù)，即()2) 的虛部是的奇函數(shù)，即()把上面兩式結(jié)合起來，可得實信號DTFT的Hermitian對稱性，即3) 的幅頻響應(yīng)是的偶函數(shù)，即()式中，。4

18、) 的相頻響應(yīng)是的奇函數(shù)，即()5) 由于，都是的偶函數(shù)，且，有()即積分只要從0到即可。6) 若x(n)再是偶函數(shù)，那么 ()以上三式說明，若x(n)是以n=0為對稱的實偶信號，那么其頻譜為實值，其相頻響應(yīng)恒為0，因此，x(n)可有上式的簡單形式來恢復(fù)，當(dāng)然，如果x(n)不是以n=0為對稱，那么將具有一線性相位。7) 若x(n)是實的奇函數(shù)，則 ()四、 時域卷積定理若，則()證明：因為所以。五、 頻域卷積定理若，則()證明：因為變換積分與求和的次序，有所以。六、 時域相關(guān)定理若y(n)是x(n)和h(n)的相關(guān)函數(shù)，即，則()證明：因為所以七、 Parseval(巴塞伐)定理(3.4.20

19、)()八、 Wiener-Khinchin(維納-辛欽)定理若x(n)是功率信號，其傅里葉變換()若上式右邊極限存在，則稱該極限為功率信號x(n)的功率譜，即()此式稱為確定信號的維納-辛欽定理，它說明功率信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一堆傅里葉變換?！纠?.4.1】 求下面離散時間傅里葉變換的逆變換。XF=rect50F-14+rect50F+14*comb(F)【解】：先查表Fsincn= rect(F)*comb(F)F150sincn50=rect(50F)*comb(F)對應(yīng)上式的頻移性質(zhì)，F(xiàn)ej2F0nxn=X(F-F0)Fejnn150sincn50=rect(50(F-1

20、4)*comb(F)Fe-jnn150sincn50=rect(50(F+14)*comb(F)最后將上面的兩個式子合并并簡化：原式子的反傅里葉變換是sinc(n50)cos(n2)25【例3.7.3】根據(jù)累加性質(zhì)和沖激函數(shù)的離散時間傅里葉變換，求xn=rectNn的傅里葉變換?！窘狻浚簒n的一階后向差分是xn-xn-1=n+N-n-(N+1)因為Fn+N-n-N+1=ej2FN-e-j2F(N+1)根據(jù)離散時間傅里葉變換的積分性質(zhì)和矩形脈沖信號的一階差分序列的和為零的事實，有Fxn=ej2FN-e-j2F(N+1)1-e-j2F=e-j2Fe-j2FejF(2N+1)-e-jF(2N+1)F

21、xn=sin(F(2N+1)sin(F)=2N+1drcl(F,2N+1)【例3.7.4】求如下離散時間余弦函數(shù)的傅里葉變換。xn=Acos(n2)【解】：根據(jù)定義XF=n=-xne-j2Fn=n=-Acosn2e-j2Fn=A2n=-(ejn2+e-j(n2)e-j2FnXF=A2n=-(ej2(14-F)n+ej2(-14-F)n)或Xj=An=-(ej(2-)n+ej(-2-)n)根據(jù)n=-ej2xn=comb(x)并考慮到梳狀函數(shù)是偶函數(shù)，有XF=A2combF-14+combF+14或者根據(jù)梳狀函數(shù)尺度變換的性質(zhì)，Xj=Acomb-2+comb(+2)因為xn是周期性的，所以可以得到

22、它的離散時間傅里葉級數(shù)的諧波函數(shù)Xk=1N0n=<N0>xne-j2(kF0)n=A4n=<N0>cos(n2)e-j(kn2)Xk=A21-e-jk=A4e-jk2(ejk2-e-jk2)Xk=jA4e-jk2sin(k2)當(dāng)k是偶數(shù)時，表達式為0，當(dāng)k是奇數(shù)時表達式值為A4，這些值剛好是沖擊函數(shù)XF在-34,-14,14,34時的沖激強度。這個結(jié)果顯示了離散時間傅里葉級數(shù)其實只是離散時間傅里葉變換的特例，就像連續(xù)時間的傅里葉級數(shù)是連續(xù)時間傅里葉變換的特例一樣。如果一個離散時間信號時周期性的，他的傅里葉就相當(dāng)于由一些沖激組成，這些沖激的強度等于它的離散時間傅里葉變換諧

23、波函數(shù)在諧波頻率上的值。3.5 周期序列的離散傅里葉級數(shù) (DFS)當(dāng)用數(shù)字計算機對信號進行頻譜分析時，要求信號必須以離散值作為輸入，而計算機輸出所得到的頻譜值也是離散的。計算機無法處理周期信號，而上面介紹的幾種傅里葉變換形式中，或者信號的時域是連續(xù)的，或者信號的頻譜是連續(xù)的，均不適合計算機進行計算。若要使用這幾種形式計算機進行計算，必須針對每種情況，或者在頻域取樣，或者在時域取樣。其最后結(jié)果都將使原時間函數(shù)和頻率函數(shù)二者都成為周期離散的函數(shù)。因此，他們都可以變成一種形式離散傅里葉級數(shù)1。3.5.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)的定義回顧一下，對于周期信號，通常都可以用傅里葉級數(shù)來描述，可用指數(shù)形式

24、的傅里葉級數(shù)來表示，即xn=k=-+X(k)ejkt (51)可以看成信號被分解成不同次諧波的疊加，每個諧波都有一個幅值，表示該諧波分量所占的比重。其中K任意整數(shù)k=0k；0基頻角頻率，0=2/T；X(k)傅里葉系數(shù)。我們在x(n)上加以表示周期性的上標(biāo)，周期為N的周期序列，其有如下性質(zhì)：=（r為任意整數(shù)） (52)用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示應(yīng)該為= (53)其中0=2/N，是基頻分量的角頻率，基頻序列為。下面來分析一下第(K+rN)次諧波和第(k)次諧波之間的關(guān)系。將0=2/N，代入表達式中，得到=（r為任意整數(shù)） (54)這說明第(K+rN)次諧波能夠被第(k)次諧波表示，也就是說，在所有

25、的諧波成分中，只有N個是獨立的，用N個諧波就可完全的表示出.因此，對于離散傅里葉級數(shù)，我們只取K=0到k=N-1的N個獨立諧波分量，即= (55)式中是一個常用的常數(shù)，選取它是為下面表達式的成立的需要，是K次諧波的系數(shù)。下面我們根據(jù)來求解，這需要用到一下的性質(zhì)，即復(fù)指數(shù)的正交性： (56)注意該表達式是對n求和，而表達式的結(jié)果取決于(k-r)的值。在=兩邊都乘以，并且從n=0到n=N-1求和，得到 (57) 交換求和順序，再根據(jù)前面證明的正交性結(jié)論可以得出： (58)將變量r換成k，則有= (59)從的表達式可以看出也是周期為N的周期序列，即= (60)則有周期序列的傅里葉級數(shù)對， (61)在

26、上面的傅里葉級數(shù)對中，n和k的范圍是從(- )。為了表示的方便，一般書上常采用一下符號（N表示周期） (62)則(62)可以表示成正變換 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk (63)反變換 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk (64) DFS表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS表示離散傅里葉級數(shù)反變換。針對上面的級數(shù)對，討論如下內(nèi)容：1) ，以N為周期。，；2) 只對序列的一個周期的值進行求和，但求出的或卻是無限長的；3) 由以N為周期推導(dǎo)出以N為周期；4) 對于周期序列=，因為Z變換不收斂，所以不能用Z變

27、換，但若取的一個周期，則Z變換是收斂的。，當(dāng)取時，而，當(dāng)時，=，這相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，在N個等間隔的頻率上以2/N為間隔對傅里葉變換進行采樣。5) 引入主值序列的概念，即序列在0N-1區(qū)間的序列稱為主值序列?！纠?.5.1】 求的DFS系數(shù)。【解】：設(shè)為周期沖激串=，對于0nN-1，=，可以求出=1，即對于所有的k值，均相同。表示成級數(shù)形式為=。(65)又設(shè)的周期為N=10，在主值區(qū)間內(nèi)，0n4時，=1，在5n9時，=0。畫出的圖形，則=，畫出的幅值圖。(0)=5，(±1)=3.23，(±2)=0，(±3)=1.24，(±4)=0，(±

28、5)=1，(±6)=0，(±7)=1.24，(±8)=0，(±9)=3.23，這是一個周期內(nèi)的值。設(shè)n取514，即不是取主值周期，隨便取一個周期(在主值周期外隨便取一周期)，計算傅里葉級數(shù)，得到的結(jié)果和在主值周期中的結(jié)果一樣。下面計算有限長序列=的傅里葉變換。=， (66)如果將=2k/10代入上式，則結(jié)果和一樣。的幅度一個周期圖如下所示：圖3.5.1幅度的周期圖Figure 3.5.1 Period graph of the amplitude可以看出相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，以2/10的頻率間隔在10個等間隔的頻率上對傅里葉變換進行采樣?！纠?.5

29、.2】 從例題3.5.1中得到這樣一個結(jié)論，對于以N為周期的周期序列，任取一個周期求得的傅里葉系數(shù)與在主值區(qū)間(n=0N-1)中求得的傅里葉系數(shù)相同?，F(xiàn)在已知的周期為N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0n1N-1，證明=。證明：=(令n-m=rN或m=n-rN)=(后一個分量作變量m-N=n)=?！纠?.5.3】設(shè)一序列的周期為N，其DFS系數(shù)為。也是周期為N的周期序列，試?yán)们蟮腄FS系數(shù)。解：= =，所以=。用k替換上式中的r，即Xk=Nx(-k)3.5.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)的性質(zhì)離散傅里葉級數(shù)很多性質(zhì)和Z變換的性質(zhì)相似，而DFS是和周期性序列聯(lián)系在一起，所以它

30、們存在一些重要差別。另外，在DFS表達式中時域和頻域之間存在著完全的對偶性，而在序列的傅里葉變換和Z變換的表示式中這一點不存在?？紤]兩個周期序列、，其周期均為N，若，(1) 線性a+ba+b，周期也為N。由定義式證明。(2) 序列的移位 ，那么。證明： = (3) 調(diào)制特性因為周期序列的傅里葉級數(shù)的系數(shù)序列也是一個周期序列，所以有類似的結(jié)果，為整數(shù)，有。證明：。(4) 對稱性給出幾個定義：1) 共扼對稱序列滿足的序列。2) 共扼反對稱序列滿足=的序列。3) 偶對稱序列、奇對稱序列若和為實序列，且滿足=和=，則被稱作偶對稱序列和奇對稱序列。4) 任何一個序列都可表示成一個共扼對稱序列和一個共扼反

31、對稱序列之和(對實序列，就是偶對稱序列和奇對稱序列之和)。即有=+，其中=(+)/2，=(-)/2 下面為對稱性： ；=(+)/2 證明：=(任意一個周期的DFS系數(shù)和主值區(qū)間中的DFS系數(shù)是一樣的)=；=， (67)+=，(68)(5) 周期卷積如果=·，則=， (69)這是一個卷積和公式，但與線性卷積有所不同，首先在有限區(qū)間0mN-1上求和，即在一個周期內(nèi)進行求和；對于在區(qū)間0mN-1以外的m值，的值在該區(qū)間上周期地重復(fù)。周期卷積與線性卷積的區(qū)別為：（1） 周期卷積中參與運算的兩個序列都是周期為N的周期序列；（2） 周期卷積只限于一個周期內(nèi)求和，即m=0,1,N-1；（3） 周期

32、卷積的計算結(jié)果也是一個周期為N的周期序列。3.6 離散傅里葉變換(DFT)3.6.1離散傅里葉變換(DFT)離散傅里葉級數(shù)變換是周期序列，但是在計算機上實現(xiàn)信號的頻譜分析及其他方面的處理工作時，對信號的要求是：在時域和頻域都應(yīng)是離散的，且都應(yīng)是有限長。離散傅里葉級數(shù)雖然是周期序列卻只有N個獨立的復(fù)值，只要知道它一個周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也就知道了。即把長度為N的有限序列x(n)看成周期為N的周期序列的一個周期，這樣利用離散傅里葉級數(shù)計算周期序列的一個周期，也就是計算了有限長序列2。設(shè)為有限長序列，長度為N，即只在n=0,1,N-1時有值，其他n時，=0。我們把它看做是周期為N的周期序列的一個周

33、期，而把看成是以N為周期的周期延拓，表達式為 xn=xn (0nN-1)0 (n為其他值)或 xn=xnRN(n)式中RNn=1 (0nN-1)0 (n為其他值)為矩形截斷序列，而=(-<n<+) (70)也可寫成=或 (71)(n)N稱為余數(shù)運算表達式，或稱為取模運算(mod)，如果(n)N=n1，則表示n、n1和N之間的關(guān)系為n=n1+rN(其中r為任意整數(shù))。我們用表示xn以N為周期的周期延拓序列?！纠渴侵芷跒镹=9的序列，求n=25對N的余數(shù)。解 因為 n=25=29+7故 (25)9=7x25=x(25)9=x(7)通常把的第一個周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”

34、，相應(yīng)的稱xn是的“主值序列”。同理，對頻域的周期序列也可以看做是有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k)看做是周期序列的主值序列，即=，= (72)從DFS和IDFS的表達式看出，求和只限定在n=0到N-1及k=0到N-1的主值區(qū)間進行，故完全適用于主值序列xn和X(k)?；仡橠FS和IDFS的表達式正變換 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk反變換 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk從而得出新的定義，即有限長序列的離散傅里葉變換為正變換 X(k)=DFTxn=n=0N-1xnWNnk (73)

35、反變換 xn=IDFTX(k)=1Nn=0N-1X(k)WN-nk (74)DFT表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFT表示離散傅里葉級數(shù)反變換。由此看出有限長序列的離散傅里葉變換及周期序列的離散傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系：它們僅僅是n、k的取值不同，DFT只取主值區(qū)間的值。注意：對于有限長序列時域和頻域的關(guān)系式中蘊含有周期性，從關(guān)系式=，=可以看出其實有限長序列都是作為周期序列的一個周期來表示，隱含有周期性意義。當(dāng)利用=式子來計算時，如去掉后綴，那么對于0nN-1之外的n，并不等于零，而是的周期延拓。只是我們感興趣的的值只是在0nN-1區(qū)間內(nèi)，因為在該區(qū)間之外的確為零，并且認(rèn)為所感興趣的值也只是在區(qū)間

36、0kN-1內(nèi)，因為在式子=中只需要這些值。隱含周期性：假設(shè)長為N的序列是由對x(t)取樣得來的，則頻域上已經(jīng)意味著以為周期作周期延拓。現(xiàn)對頻域作等間隔取樣，則時間序列按周期N延拓為，因此利用DFT對的時間序列展開，相當(dāng)于對此序列作周期性處理。DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似且便于計算機計算 離散傅里葉變換可以看成是連續(xù)數(shù)在時域、頻域取樣構(gòu)成的變換。只要取出的一個周期，乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)就可以恢復(fù)原連續(xù)函數(shù)。對頻域也可以取出的一個周期，乘以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)就可以恢復(fù)原連續(xù)頻域函數(shù)。DFT變換對可以唯一的確定的一個周期及的一個周期。及都是長度為N的序列，都有N個獨立復(fù)值，因而具有的信息是等量的，給他們乘

37、以相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)后，復(fù)原的連續(xù)函數(shù)也就確定了，因而離散傅里葉變換可以看做是連續(xù)傅里葉變換的近似。及都是有限長序列，便于計算機計算，這樣對連續(xù)函數(shù)的處理就可以代之以離散取樣的處理。這就是為什么要采用離散傅里葉變換的原因?！纠?.6.1】 為了說明有限長序列的DFT，考慮有限長序列=1，0n4，=0，n為其它值時。在確定DFT時，我們可以將看作是一個長度5的任意有限長序列(如長度為6或10等等)。設(shè)想為長度N=5的序列，周期序列在所有n上取值都為1。根據(jù)公式，可以得到：=， (3.6.5)即只有在k=0和k=N的整數(shù)倍處才有非零的DFS系數(shù)。畫出圖3.6.1。在上面的圖中畫出對應(yīng)的采樣值。的5點D

38、FT對應(yīng)于抽取的一個周期而得到的有限長序列。畫出圖形。只有在k=0時，有一個值為5，其它點上為0。如果考慮將換成長度N=10的序列，則基本的周期序列情況為：的一個周期中，0n4時，=1，5n9時，=0，然后開始下一個周期。這時得到的上圖中02中進行等間隔采樣的10個點。圖3.6.1周期序列的DFTFigure 3.6.1 DFT of the periodic sequence Matlab實現(xiàn)： 如圖是對于離散序列xn=cos(2n/5)的20點的離散傅里葉變換的幅值譜，調(diào)用的matlab函數(shù)是fft：3.6.2離散傅里葉變換的性質(zhì)由于DFT是從DFS中得來的，所以很相像，都是根據(jù)有限長序列

39、DFT的隱含周期性得出。(1) 線性注意特殊情況下如何定線性組合后序列的長度。以長度大的為周期。(2) 序列的圓周/循環(huán)移位定義：1) 與線性移位、周期移位作比較2) 理解：l 將拓成，將右移m位得=，取主值；l 一端出另一端進，因為是有限長；l 均勻分布在一個圓上，順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)(3) 圓周/循環(huán)移位定理若DFTx(n)=X(k), ，則DFTy(n)=X(k)形式與DFS的周期移位相同，表明序列圓周移位后的DFT為乘上相移因子，即時域中圓周移m位，僅使頻域信號產(chǎn)生的相移，而幅度頻譜不發(fā)生改變，即|=|。(4) 對稱性和DFS中討論的相似，都是按照DFS來解，然后取主值區(qū)間值即可。讀者請

40、對著書把這些性質(zhì)自己推導(dǎo)一遍。(5) 圓周卷積和/循環(huán)卷積定理和的長度都為N，如果Y(k)=，則， (75)根據(jù)定理可以求出圓周卷積，當(dāng)然求圓周卷積，可以借助DFT來計算，即IDFTY(k)=y(n)。可見圓周卷積與周期卷積的關(guān)系，在主值區(qū)的結(jié)果相同，所以求圓周卷積是可以把序列延拓成周期序列，進行周期卷積，然后取主值的方法來求。也可以根據(jù)圓周移位的理解來做，見下面例題：【例3.6.2】令為長度是N的有限長序列，且=，則可以看作為一個長度為N的有限長序列，定義為=，如果=，則=，即是在0nN-1內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)n0個取樣間隔得到的序列。將放在一個內(nèi)圓周上，將放在外圓周上，零點重合，然后進行順時針旋轉(zhuǎn)

41、，看結(jié)果。與上面分析一樣的結(jié)果?！纠?.6.3】 =，若N=L，則N點DFT為，如果將X1(k)和X2(k)直接相乘，得 =，由此可得=N，0nN-1。也可以畫圖旋轉(zhuǎn)來解答。以上兩個例題都是根據(jù)DFT來計算圓周卷積，用定義式無疑較難，用圖形旋轉(zhuǎn)功能也有限?？紤]上面的例2，我們可以把和看作是2L點序列，只要增補L個零即可?，F(xiàn)在來計算增長序列的2L點圓周卷積。計算出結(jié)果。然后計算一下和的線性卷積，看結(jié)果與前面2L點圓周卷積結(jié)果關(guān)系。假設(shè)L=4，則2L=8，則線性卷積和根據(jù)定義式有y(n)=，0m3,0n-m3,得出0n6。當(dāng)0n3時,0mn，y(n)=n+1；當(dāng)4n6時，n-3m3，y(n)=7-

42、n。計算8點圓周卷積，結(jié)果和線性卷積一樣。后面我們會證明一般情況下的結(jié)論。 3.7 CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的區(qū)別與聯(lián)系CFS：傅立葉級數(shù)展開 ,用于分析連續(xù)周期信號 ,時域上任意連續(xù)的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續(xù)周期對應(yīng)頻域離散非周期的特點 。CFT：傅立葉變換，用于分析連續(xù)非周期信號，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號，所以具有時域連續(xù)非周期對應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點。 DTFT：離散時間傅立葉變換 ，它用于離散非周期序列分析，由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號，所以對離散非周期信號變換后的頻譜為連

43、續(xù)的，即有時域離散非周期對應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點。 DFS：離散時間傅立葉級數(shù) ，離散周期序列信號，取主值序列 ，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。DFT：離散時間傅里葉變換，離散周期序列信號DFS的主值序列。連續(xù)時間傅里葉級數(shù)把一個連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換成了一個離散諧波數(shù)列Xk，而連續(xù)時間傅里葉變換把一個連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換成了一個連續(xù)頻率函數(shù)。他們都把原信號從時域信號變成另外一種形式，但是所包含的信息不變，傅里葉級數(shù)的一個顯著缺點就是它只能描述無限時間的周期信號。傅里葉變換就是為了使其能夠描述所有周期和非周期的無限信號而導(dǎo)出的，因而是對傅里葉級數(shù)的一種拓展。表一：幾種

44、傅里葉信號對比圖變換對時域頻域CFSXk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdtxt=k=-+Xkej2kft連續(xù)周期非周期離散CFTXf=-+x(t)e-j2ftdtxt=12-+X(f)ej2ftdw連續(xù)非周期非周期連續(xù)DTFTXejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw離散非周期周期連續(xù)DFSXk=n=0N-1xne-j2Nnkxn=1Nn=0N-1Xkej2Nnk離散周期周期離散DFTX(k)=n=0N-1xnWNnk xn=1Nn=0N-1X(k)WN-nk離散非周期非周期離散在下圖中我們可以更好的理解上述區(qū)別及聯(lián)系可以看出，時域的連續(xù)函數(shù)照成頻

45、域是非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)相對應(yīng)；時域的連續(xù)造成頻域是非周期的譜，而時域的非周期性造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)；時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)11。3.8 有限長序列的線性卷積和圓周卷積周期卷積與線性卷積的區(qū)別為：（4） 周期卷積中參與運算的兩個序列都是周期為N的周期序列；（5） 周期卷積只限于一個周期內(nèi)求和，即m=0,1,N-1；（6） 周期卷積的計算結(jié)果也是一個周期為N的周期序列。已知N，M，作線性卷積y(n)=x1(n)*x2(n)= ，其中0mN-1，0n-mM-1，得出0nM+N-2，即y(n)長度最大為M+N-1。對、

46、分別補零，使之長度為L，然后進行L點周期卷積(圓周卷積等于周期卷積的主值區(qū)間)。這樣有：=，=，則進行周期為L的周期卷積得= = =(求和之在一個周期，所以x1(m+qL)中只能取q=0) =， (3.7.1)上式說明了有限長序列、的線性卷積的周期延拓構(gòu)成了周期序列、的周期卷積，其中和分別是由有限長序列、形成的。這要L滿足一定條件，線性卷積就等于周期卷積的主值周期，而這也正好是圓周卷積的結(jié)果。也就是說，只要LN+M-1，線性卷積就等于圓周卷積。寫出線性卷積和圓周卷積的定義式。因為在實際情況中，處理的多半是信號通過一個線性時不變系統(tǒng)，求輸出的信號形式。即實際情況中常常要求線性卷積，而知道圓周卷積

47、可以在某種條件下代替線性卷積，并且圓周卷積有快速算法，所以常利用圓周卷積來計算線性卷積。3.9 用DFT計算模擬信號的傅里葉分析DFT的主要應(yīng)用之一就是分析連續(xù)時間信號的頻率成分，如在語音的分析和處理中語音信號的頻率分析有助于音腔諧振的辨識與建模。那么要求我們知道在DFT中代表的頻率成分有哪些。有一模擬信號(可以是非周期信號，也可以是周期信號)，我們要用DFT來分析它的頻率成分。先對該信號作等間隔采樣(如果是非周期信號，則進行截斷，取有限長；周期信號，則取一個周期進行采樣)，采樣周期為T，采樣率fs=1/T，得到x(nT)。時域離散對應(yīng)頻域的周期延拓，周期為，其實這時的頻域曲線就是序列的傅里葉

48、變換X(ejw)。s是模擬域角頻率，對應(yīng)的數(shù)字域角頻率為w=s，T=2。頻率是連續(xù)的、周期的，為得到X(k)，只需對頻率進行等間隔采樣即可。取出一個周期，對一個周期進行N點采樣。讓w=(2/N)k就可以得到X(k)。這樣兩個離散點間間隔用頻率表示為：w0=t，這是數(shù)字基頻3。圖3.9.1利用DFT對連續(xù)時間傅里葉變換逼近的全過程Figure 3.9.1 Process of approaching to the continuous time Fourier Transform using DFT 頻域的離散對應(yīng)時域的周期延拓，周期為。x(n)d(n)是一個有限長序列，令為x(n)，則周期延拓

49、后得到的序列(周期為N)有關(guān)系：=，將與時間有關(guān)的量換為nT或NT，則周期為NT=N/fs=T0。利用DFT計算連續(xù)時間信號時可能出現(xiàn)的幾個問題:1) 頻率響應(yīng)的混疊失真抽樣定理要求，一般取。如不滿足該條件，則會產(chǎn)生頻域響應(yīng)的周期延拓分量重疊現(xiàn)象，即頻率響應(yīng)的混疊失真。根據(jù)=fs/N，若增加fs，而N固定時，則fo要增加，導(dǎo)致分辨率下降。反之，要提高分辨率，即fo減小，當(dāng)N給定時，則導(dǎo)致fs的減小。若想不發(fā)生混疊，則要減小fh。這樣要想兼顧fh和fo，只有增加N。得到，這是實現(xiàn)DFT算法必須滿足的最低條件。2) 頻譜泄漏實際情況下，我們?nèi)〉男盘柖际怯邢揲L的，要把信號x(n) 采取截斷數(shù)據(jù)的過程

50、，即對原始序列作加窗處理(見上面的圖)使成為有限長。時域的截斷在數(shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時間信號乘上一個窗函數(shù)。時域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積。信號的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象，造成頻譜泄漏。減小泄露的方法，可以取更長的數(shù)據(jù)，這樣與原始數(shù)據(jù)就越相近，缺點運算量加大；可以選擇窗的形狀，從而使窗譜的旁瓣能量更小。后面我們會學(xué)到。3) 柵欄效應(yīng)DFT上看到的譜線都是離散的，而從序列的傅里葉變換知道譜線是連續(xù)的，所以相當(dāng)于是看到譜的一些離散點，而不是全部。感覺像是透過柵欄看到的情景，稱為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)的一個方法就是要是頻域抽樣更密，即增加頻域的抽樣點數(shù)N，在不改變時域數(shù)據(jù)的情況下，必

51、須在時域數(shù)據(jù)的末端添加一些零點。4) 頻率分辨率增加分辨率只有通過加大取樣點N，但不是補零的方式來增加N，因為補零不是原始信號的有效信號。此處，增加采樣點數(shù)不是指通過增加采樣頻率來增加，而是通過延長采樣時間來增加采樣點數(shù)。如果不延長采樣時間，僅僅增加采樣頻率并不能增加其物理的頻域分辨率。吉布斯現(xiàn)象 Gibbs phenomenon若用x(t)表示原始信號，xN(t)表示有限項傅立葉級數(shù)合成所得的信號，發(fā)現(xiàn)有趣的現(xiàn)象是方波的xN(t)在不連續(xù)點附近部分呈現(xiàn)起伏，這個起伏的峰值大小似乎不隨 N 增大而下降。吉布斯證明：情況確實是這樣，而且也應(yīng)該是這樣。隨著N 增加，部分和的起伏就向不連續(xù)點壓縮，但是對任何有限的 N 值，起伏的峰值大小保持不變 ，這就是吉布斯現(xiàn)象。3.10 實驗【例34】設(shè)x(n) = R5(n) ,將x(n) 以N = 10為周期作周期延拓，得到的周期信號如圖33所示，求的DFS12。圖33 周期序列【解】：由定義式(325)，得 = DFS = = = = = = = 其幅度特性如圖34所示。本例的MATLAB程序如下：圖34 周期序列的DFS變換幅度特性N = 10； %序列周期n = 0:N - 1; k = 0:N - 1;xn = ones(1,5),zeros(1,5); %由ones和ze