面積比求二面角

1、用“面積比”求二面角來賓市一中 覃衛(wèi)平求二面角是立體幾何計算題的常見問題，“一作、二證、三求”是立幾計算題的口訣，即利用定義、三垂線定理、線面垂直等方法先作出二面角的平面角，然后證明所作的角為所求二面角的平面角，最后利用三角形的有關(guān)性質(zhì)解出平面角從而得解。但很多時候“作”中就出現(xiàn)問題了，平面角的頂點不是棱上的特殊點，這樣就不容易求出相關(guān)直角三角形的邊長?！懊娣e比”是:若在二面角一個面內(nèi)面積為S的平面多邊形(多為三角形，三角形的一邊在棱上)在另一個面內(nèi)的射影的面積為，二面角大小為，則。利用“面積比”的方法往往可以避免了“作”不出或是“作”出了又不好求的尷尬局面。一、已知射影型：已知或通過已知條件

2、找出二面角的一個面內(nèi)的平面多邊形在另一個面內(nèi)的射影.PABCDEFO例1.如圖，在三棱錐中，是直角三角形，點D、E、F分別為AC、AB、BC的中點.(1) 求證：；(2) 求直線所成的角的正弦值；(3) 求二面角的正切值. (1)(2)解法略(3)設(shè)，連結(jié)易知上的射影，設(shè)二面角為則即二面角的正切值為已知射影型主要特征是，已知二面角的一個面內(nèi)平面多邊形不在棱上的頂點到另一個面的垂線，而且其中平面多邊形及其射影是便于計算面積的特殊多邊形形等腰、直角三角形，倘若“面” 及其射影不是便于計算面積的特殊多邊形則就選擇其它方法.例2.如圖，已知長方體與平面所成的角為，點F為的中點.(1)求異面直線AE與B

3、F所成的角的余弦值；(2)求平面BDF與平面所成的二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示).解：(1)(略)ABCDEFA1B1C1D1(2)易知，在平面上的射影，與平面所成的角為即，又，,設(shè)平面BDF與平面所成的二面角為則，故所求的二面角大小為.二、未知射影型：從已知條件中未有線面垂直，經(jīng)二面角一個面內(nèi)平面多邊形不在棱上的頂點作二面角另一個面的垂線從而得到其射影，化成已知型解決問題.例3如圖，在矩形中，E是BC的中點，把PABCDEFG分別沿、DE折起，使B、C重合于點P.(1)求證：；(2)求異面直線AD與PE的距離；(3)求二面角的大小.(1)(2)略(3)由(1)(2)可知(G為AD的中點) 為等腰直角三角形，作，則F為GE的中點，上的射影， ，設(shè)平面PAE與平面DAE所成的二面角為則，故所求的二面角大小為例4如圖，五面體中，底面ABC為正三角形，四邊形是矩形，D為AC的中點，二面角是直二面角.ABCDFB1C1(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.(1)證明：(略)(2)解：作