定積分習(xí)題及答案

1、第五章 定積分(A層次)1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9；10； 11； 12；13； 14； 15；16； 17； 18；19； 20； 21；22； 23； 24；25。(B層次)1求由所決定的隱函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)。2當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)有極值？3。4設(shè)，求。5。6設(shè)，求。7設(shè)，求。8。9求。10設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。11若，求。12證明：。13已知，求常數(shù)。14設(shè)，求。15設(shè)有一個(gè)原函數(shù)為，求。16設(shè)，在上，求出常數(shù)，使最小。17已知，求。18設(shè)，求。19。20設(shè)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，試求。(C層次)1設(shè)是任意的二次多項(xiàng)式，是某個(gè)二次多項(xiàng)式，已知，求。2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的

2、二階導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)存在，使得。3在上二次可微，且，。試證。4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上存在且可積，試證()。5設(shè)在上連續(xù)，求證存在一點(diǎn)，使。6設(shè)可微，求。7設(shè)在上連續(xù)可微，若，則。8設(shè)在上連續(xù)，求證 。9設(shè)為奇函數(shù)，在內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加，證明：(1)為奇函數(shù)；(2)在上單調(diào)減少。10設(shè)可微且積分的結(jié)果與無(wú)關(guān)，試求。11若在連續(xù)，證明：。12求曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程。13設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有，求證。14設(shè)方程，求。15設(shè)在上連續(xù)，求證：()16當(dāng)時(shí)，連續(xù)，且滿足，求。17設(shè)在連續(xù)且遞減，證明，其中。18設(shè)連續(xù)，試證：。19設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試證在內(nèi)方程至少有一個(gè)根。20設(shè)在連續(xù)，且，又，證明

3、：(1) (2)在內(nèi)有且僅有一個(gè)根。21設(shè)在上連續(xù)，則。22設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：。23設(shè)在上正值，連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。24證明。25設(shè)在上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，則。26設(shè)在上可導(dǎo)，且，則。27設(shè)處處二階可導(dǎo)，且，又為任一連續(xù)函數(shù)，則，。28設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，則。29設(shè)在上連續(xù)，且，證明在上必有。30在上連續(xù)，且對(duì)任何區(qū)間有不等式(，為正常數(shù))，試證在上。第五章 定積分(A)1解：原式2解：令，則 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) 原式 3解：令，則 當(dāng)，時(shí)分別為， 原式 4解：令，則， 當(dāng)，1時(shí)， 原式5解：令， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 原式 6解：令，則， 當(dāng)時(shí) 原式7解：原式 8解：原式 9解：原式

4、 10解：為奇函數(shù)11解：原式 12解：為奇函數(shù)13解：原式 14解：原式 15解：原式 16解：原式 故17解：原式 18解：原式 故19解：原式 20解：原式 21解：令，則原式 22解：原式 23解：原式 24解：原式 故25解：令，則原式 故 (B)1求由所決定的隱函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù)。解：將兩邊對(duì)求導(dǎo)得 2當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)有極值？解：，令得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值。3。解：原式 4設(shè)，求。解： 5。解： 6設(shè)，求。解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故。7設(shè)，求。解： 8。解：原式 9求。解：原式 10設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，求。解：令，則，從而即，11若，求。解：令，則， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 從

5、而12證明：。證：考慮上的函數(shù)，則 ，令得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 在處取最大值，且在處取最小值 故 即。13已知，求常數(shù)。解：左端 右端 解之或。14設(shè)，求。解：令，則 15設(shè)有一個(gè)原函數(shù)為，求。解：令，且 16設(shè)，在上，求出常數(shù)，使最小。解：當(dāng)最小，即最小，由知，在的上方，其間所夾面積最小，則是的切線，而，設(shè)切點(diǎn)為，則切線，故，。于是 令得從而，又，此時(shí)最小。17已知，求。解： 18設(shè)，求。解：設(shè)，則 解得：，于是19。解：原式 20設(shè)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)與是等價(jià)無(wú)窮小，試求。解： 故(C)1設(shè)是任意的二次多項(xiàng)式，是某個(gè)二次多項(xiàng)式，已知，求。解：設(shè)，則 令 于是， 由已知得2設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)

6、數(shù)，則在內(nèi)存在，使得。證：由泰勒公式 其中，位于與之間。 兩邊積分得： 令，則 ，。3在上二次可微，且，。試證。證明：當(dāng)時(shí)，由，知是嚴(yán)格增及嚴(yán)格凹的，從而及故 4設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上存在且可積，試證 ()。證明：因?yàn)樵谏峡煞e，故有 而， 于是 5設(shè)在上連續(xù)，求證存在一點(diǎn)，使。證：假設(shè)， 由已知，得 故 從而因?yàn)樵谶B續(xù)，則或。從而或，這與矛盾。故。6設(shè)可微，求。解：令，則，顯然 于是。7設(shè)在上連續(xù)可微，若，則。證：因在上連續(xù)可微，則在和上均滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，設(shè)，則有 故。8設(shè)在上連續(xù)，求證 。證： 令，則 于是 故 9設(shè)為奇函數(shù)，在內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加，證明：(1)為奇函數(shù)；(2)在上單調(diào)減少。

7、證：(1) 為奇函數(shù)。 (2) 由于是奇函數(shù)且單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)， ，故，即在上單調(diào)減少。10設(shè)可微且積分的結(jié)果與無(wú)關(guān)，試求。解：記，則 由可微，于是 解之（為任意常數(shù)）11若在連續(xù)，證明：。解：因 所以。12求曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程。解：，則，故切線方程為：， 即。13設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)有，求證。證：兩邊對(duì)求導(dǎo) 即 令，即得。14設(shè)方程，求。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 從而 15設(shè)在上連續(xù)，求證： ()證：設(shè)為的原函數(shù)，則 左邊 右邊。16當(dāng)時(shí)，連續(xù)，且滿足，求。解：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 令得 將代入得： 故。17設(shè)在連續(xù)且遞減，證明，其中。證： 則 ， 由于遞減， 故 即。18設(shè)連續(xù)，

8、試證：。證： 在第一個(gè)積分中，令，則 而 故19設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，試證在內(nèi)方程至少有一個(gè)根。證：由積分中值定理，存在使 即 故是方程的一個(gè)根。20設(shè)在連續(xù)，且，又，證明：(1) (2)在內(nèi)有且僅有一個(gè)根。證：(1) (2)， 又在連續(xù)，由介值定理知在內(nèi)至少有一根。 又，則單增，從而在內(nèi)至多有一根。 故在內(nèi)有且僅有一個(gè)根。21設(shè)在上連續(xù)，則。證： 令，則 故22設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：。證： 令，則 (以為周期) 故23設(shè)在上正值，連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。證：令 由于時(shí)，故 故由零點(diǎn)定理知，存在一點(diǎn)，使得 即 又 故。24證明。證：設(shè)，則 令，則 故25設(shè)在上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，則。證：令 則 ，在嚴(yán)格單增則，從而即故26設(shè)在上可導(dǎo)，且，則。證：由假設(shè)對(duì)，可知在上滿足微分中值定理，則有 ， 又因， 故于是。27設(shè)處處二階可導(dǎo)，且，又為任一連續(xù)函數(shù)，則，。證：由泰勒公式，有 其中在與之間 又因，故 即 令， 則 即。28設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，則