四川省郭志安—92多邊形的內(nèi)角和與外角和教案

1、9.2多邊形的內(nèi)角和與外角和教學(xué)目的 1使學(xué)生了解多邊形及多邊形的內(nèi)角、外角等概念. 2使學(xué)生通過不同方法探索多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會利用它們進行有關(guān)計算. 重點、難點1重點：多邊形的內(nèi)角和與外角和定理. 2難點：多邊形的內(nèi)角和，外角和定理的推導(dǎo). 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)提問1什么叫三角形? 2三角形的內(nèi)角和是多少? 3什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少? 二、新授 1多邊形的概念， 三角形有三個內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形(但習(xí)慣稱三角形).我們知道：不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫三角形. 你能說出什么叫四邊形、五邊形嗎?如圖(1)

2、它是由不在同一直線上的4條線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形ABCD.(按順時針或逆時針方向書寫) D D CA C E A B B 圖(2)是由不在同一直線上的5條線段首尾顧次連結(jié)組成的平面圖形，記為五邊形ABCDE. 一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為n邊形，又稱多邊形.與三角形類似如圖，A、D、C、ABC是四邊形ABCD的四個內(nèi)角，延長 AB、CB得四邊形ABCD的兩個外角CBE和ABF，這兩個外角是對頂角.一個n邊形有n個內(nèi)角，有2n個外角.如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，則稱為正多邊形，如正三角形、正四邊形(正方形)、正五邊形等等.連結(jié)

3、多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線，如圖1，線段AC是四邊形 ABCD的對角線，如圖2，線段AD、AC是四邊形ABCDE的對角線，如圖3中線段AC、AD、AE是六邊形ABCDEF的對角線.問：(1)四邊形有幾條對角線?(兩條AC、BD) (2)五邊形有幾條對角線? 以A為端點的對角線有兩條AC、AD，同樣以月為端點的對角線也有2條，以C為端點也有2條，但AC與CA是同一條線段，以D為端點的兩條DA、DB與AD、BD都分別表示同一條線段.所以只有5條. (3)六邊形有幾條對角線?n邊形呢? 六邊形有9條對角線. 從以上分析可知從n邊形的一個頂點引對角線，可以引(n-3)條， (除本身

4、這個點以及和這點相鄰的兩點外)，那么n個頂點，就有n(n- 3)條，但其中每一條都重復(fù)計算一次，如AB與BA，所以n邊形一共有條對角線. 大家可以加以驗證：當n=3時，沒有對角線，當n=4時，有2條；當n=5時，有5條：當n=6時，有9條 2多邊形的內(nèi)角和公式. 三角形是邊數(shù)最少的多邊形，它的內(nèi)角和等于180°，那么一般n邊形是否也有內(nèi)角和公式呢?讓我們先從四邊形，正邊形，六邊形開始. 從上面對角線的研究可知，一條對角線把四邊形分成2個三角形，這兩個三角形的內(nèi)角和的和就是四邊形的內(nèi)角和，五邊形的內(nèi)角和就是圖中3個三角表內(nèi)角和的和. 讓學(xué)生填寫教科書表8.3.1由此，你可以得到”邊形的

5、內(nèi)角和公式嗎?n邊形的內(nèi)角和(n-2)·180°知道一個多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)公式也可以求邊數(shù)n.例1一個多邊形的內(nèi)角和等于2340°，求它的邊數(shù). 問題：一個正多邊形的一個內(nèi)角為150°，你知道它是幾邊形?分析：正多邊形的每個內(nèi)角都相等. 多邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°，還可以用以下的劃分來說明，即在n邊形內(nèi)任取一點P，連結(jié)點P與多邊形的每個頂點，可得幾個三角形?這幾個三角形的各內(nèi)角與這個多邊的各內(nèi)角之間有什么關(guān)系?請你試一試. 對有困難的學(xué)生教師可以加以引導(dǎo). 如圖(教科書圖9.2.5)每一個三角形都有一條邊就是多邊形的邊，

6、因此n邊形就可劃分成n個三角形，這n個三角形的內(nèi)角和減去以 P為頂點的周角所得的差就是”邊形的內(nèi)角和.因此，n邊形的內(nèi)角和為： n·180°-360°n·180°-2·180°=(n-2)·180° 問：還有其他方法嗎?讓學(xué)生自主探索，對不同方法給予鼓勵. 3多邊形的外角和. 什么叫多邊形的外角和. 與三角形的外角和一樣，與多邊形的每個內(nèi)角相鄰的外角有兩個，這兩個角是對頂角，從與每個內(nèi)角相鄰的兩個外角中分別取一個相加， 得到的和稱為多邊形的外角和，如教科書圖9.2.6，1+2+3+4就是四邊形的外角和.

7、多邊形的外角和是否也可以用公式表示呢?下面我們也來探討. 因為n邊形的一個內(nèi)角與它的相鄰的外角互為補角，所以可先求出多邊形的內(nèi)角與外角的總和，再減去內(nèi)角和，就可得到外角和. 讓學(xué)生填寫填教科寫表9.2.2 n邊形的內(nèi)角與外角的總和為n·180° n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180° 那么n邊形的外角和為n·180°(n2)·180°=n·180°-n·180°+360°=360° 這就是說多邊形的9L角和與邊數(shù)無關(guān)，都等于360°. 例2一個正多

8、邊形的一個內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6°，求這個正多邊形的邊數(shù). 分析：正多邊形的各個內(nèi)角都相等，那么各個外角也都相等，而多邊形的外角和是360°，因此只要求出每個外角度數(shù)，就可知是幾邊形了. 點撥；多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)無關(guān)，故常把多邊形內(nèi)角的問題轉(zhuǎn)化為外角和來處理. 三、鞏固練習(xí) 1教科書第70頁練習(xí)1、2. 第2題引導(dǎo)學(xué)生從外角考慮，多邊形的內(nèi)角是銳角，那么和這個內(nèi)角相鄰的外角是什么樣的角?鈍角 多邊形的外角和是360°，那么在這些外角中鈍角的個數(shù)最多可以是幾個?3個可以嗎?4個呢?讓學(xué)生動手算一算，由他們自己得出結(jié)論 從而得到最多可以有3個外角是鈍角，即多邊形的內(nèi)角中最多可以有3個是銳角. 四、小結(jié) 本節(jié)課我們通過把多邊形劃分成若干個三角形，用三角形內(nèi)角和去求多邊形的內(nèi)角和，從而得到多邊