高二立體幾何練習(xí)題(理科附答案)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高2013級(jí)理科立體幾何練習(xí)題答案1（重慶理19）如圖，在四面體中，平面平面，. （）若，求四面體的體積； () 若二面角為，求異面直線與所成角的余弦值. （I）解：如答（19）圖1，設(shè)F為AC的中點(diǎn)，由于AD=CD，所以DFAC.故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.在RtABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，由勾股定理易知故四面體ABCD的體積 （II）解法一：如答（19）圖1，設(shè)G，H分別為邊CD，BD的中點(diǎn)，則FG/AD，GH/BC，從

2、而FGH是異面直線AD與BC所成的角或其補(bǔ)角. 設(shè)E為邊AB的中點(diǎn)，則EF/BC，由ABBC，知EFAB.又由（I）有DF平面ABC， 故由三垂線定理知DEAB.所以DEF為二面角CABD的平面角，由題設(shè)知DEF=60°設(shè)在從而因RtADERtBDE，故BD=AD=a，從而，在RtBDF中，又從而在FGH中，因FG=FH，由余弦定理得因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為解法二：如答（19）圖2，過(guò)F作FMAC，交AB于M，已知AD=CD，平面ABC平面ACD，易知FC，F(xiàn)D，F(xiàn)M兩兩垂直，以F為原點(diǎn)，射線FM，F(xiàn)C，F(xiàn)D分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.

3、不妨設(shè)AD=2，由CD=AD，CAD=30°，易知點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)分別為顯然向量是平面ABC的法向量.已知二面角CABD為60°，故可取平面ABD的單位法向量，使得設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，有易知與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去.因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為所以從而故異面直線AD與BC所成的角的余弦值為2（北京理16）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng).解（）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60°，PA=PB=2

4、,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t>0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=3（天津理17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求線段的長(zhǎng)解：方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn). 依題意得 （I）解：易得， 于是 所以

5、異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為 （II）解：易知 設(shè)平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為 （III）解：由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得設(shè)M（a，b，0），則由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長(zhǎng)為方法二：（I）解：由于AC/A1C1，故是異面直線AC與A1B1所成的角.因?yàn)槠矫鍭A1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）解：連接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以，過(guò)點(diǎn)A

6、作于點(diǎn)R，連接B1R，于是，故為二面角AA1C1B1的平面角.在中，連接AB1，在中，從而所以二面角AA1C1B1的正弦值為（III）解：因?yàn)槠矫鍭1B1C1，所以取HB1中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B1C1中點(diǎn)，所以ND/C1H且.又平面AA1B1B，所以平面AA1B1B，故又所以平面MND，連接MD并延長(zhǎng)交A1B1于點(diǎn)E，則由得，延長(zhǎng)EM交AB于點(diǎn)F，可得連接NE.在中，所以可得連接BM，在中，4.（陜西理16） 如圖，在中，是上的高，沿把折起，使 。（）證明：平面  平面；（）設(shè)為的中點(diǎn)，求與夾角的余弦值。解（）折起前是邊上的高， 當(dāng) 折

7、起后，AD，AD，又DB，平面，AD 平面平面BDC平面ABD平面BDC。（）由 及（）知DA，DC兩兩垂直，不防設(shè)=1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），E（，0），=，=（1，0,0,），與夾角的余弦值為，=5（全國(guó)新課標(biāo)理18） 如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，底面ABCD（I）證明：；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值解：（）因?yàn)椋?由余弦定理得從而B(niǎo)D2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）

8、如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則，設(shè)平面PAB的法向量為n=（x，y，z），則 即 因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 6.（四川理19） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1平面BDA（I）求證：CD=C1D：（II）求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； （）求點(diǎn)C到平面B1DP的距離解：（1）連接交于,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，,D為的中點(diǎn)。（2）由題意,過(guò)B

9、 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,則（3）因?yàn)椋?在中，7.（福建理20） 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，四邊形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求證：平面PAB平面PAD；（II）設(shè)AB=AP （i）若直線PB與平面PCD所成的角為，求線段AB的長(zhǎng)； （ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說(shuō)明理由。解法一：（I）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中

10、，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，設(shè)G（0，m，0）（其中）則，由得，（2）由（1）、（2）消去t，化簡(jiǎn)得（3）由于方程（3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等。從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i

11、）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz（如圖）在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于E，則。在平面ABCD內(nèi)，作CE/AB交AD于點(diǎn)E，則在中，DE=，設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，由，得取，得平面PCD的一個(gè)法向量，又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得解得（舍去，因?yàn)锳D），所以（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GC=CD，得，從而，即設(shè)，在中，這與GB=GD矛盾。所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD

12、上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等。8.(湖北理18） 如圖，已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都是4，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合（）當(dāng)=1時(shí)，求證：；（）設(shè)二面角的大小為，求的最小值解法1：過(guò)E作于N，連結(jié)EF。 （I）如圖1，連結(jié)NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知， 底面ABC側(cè)面A1C。 又度面?zhèn)让鍭，C=AC，且底面ABC， 所以側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在中，=1，則由，得NF/AC1，又故。由三垂線定理知（II）如圖2，連結(jié)AF，過(guò)N作于M，連結(jié)ME。由（I）知側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得所以是二面角CAFE的平面角，即，設(shè)在中，在故又故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最

13、小值；，此時(shí)F與C1重合。解法2：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得于是則故（II）設(shè)，平面AEF的一個(gè)法向量為，則由（I）得F（0，4，），于是由可得取 又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC1的一個(gè)法向量為， 于是由為銳角可得， 所以， 由，得，即故當(dāng)，即點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí)，取得最小值9如圖，在三棱錐P-ABC中，ABBC，ABBCkPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP平面ABC當(dāng)k時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值； 當(dāng)k為何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？解:連OB，由ABBC得OAOB，又OP平面ABC，得OPOA，OPOB故以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA、

14、OB、OP分別為、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABa，OPh，則A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a， 0，0)，P(0，0，h)當(dāng)k時(shí)，P(0，0，a)，(a，0，a)可求得平面PBC的一個(gè)法向量為(1，1，)，cos<，>，即直線PA與平面PBC所成角的正弦值為； PBC的重心G(a，a，h)若O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心G，需OG平面PBC，即OGPB，且OGBC由(a，a，h)(0，a，h )0，解得ha從而(a，a，h)(0，a，a)a2ah0當(dāng)ha時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心G，此時(shí)PAa故k1時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為P

15、BC的重心（此時(shí)三棱錐O-PBC為正三棱錐）BVADC10如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，且ACBCa，VDC（0）求證：平面VABVCD； 當(dāng)角變化時(shí)，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍解:以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，0)，V(0，0，tan)，即，即又，平面設(shè)直線BC與平面所成的角為，平面VAB的一個(gè)法向量為則由，得，可取又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為11.（本小題12分）如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平

16、面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)?，所以?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面所?如右圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系則所以因?yàn)樗裕?）由（1）得，所以設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則 所以又因?yàn)闉槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以所以二面角的余弦值為.（3）由（1）（2）可得，為平面的一個(gè)法向量.所以點(diǎn)到平面的距離12.（浙江理20） 如圖，在三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。方法一： （I）證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射