高等數(shù)學(xué)D2導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題

1、習(xí)題課一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法二、導(dǎo)數(shù)和微分的求法 導(dǎo)數(shù)與微分 第二章 一、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) :xxfxxfxfx)()(lim)(0當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 關(guān)系關(guān)系 : 可導(dǎo)可微( 思考 P125 題1 ) 應(yīng)用應(yīng)用 :(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問題 (3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限1) 推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出;

2、2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , 及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.例例1.1.設(shè))(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 例例3.3.設(shè))(xf在2x處連續(xù),且, 32)(lim2xxfx求. )2(f 解解:)2(f)(lim2xfx)2()()2(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx3思考思考 : 書P125 題2 ; 3)(xf設(shè)0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()

3、(lim0例例5.所以 )(xf0 x在處連續(xù). 即)(xf0 x在處可導(dǎo) .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導(dǎo)性. xxxx120sinlim0)0( f例例4.4.設(shè)1eelim)() 1() 1(2xnxnnbaxxxf,試確定常數(shù)a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時(shí)x;)(axf時(shí)，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得處可導(dǎo)，在利用1)(xxf即ba1) 1(21ba2a使 f (x) 處處可導(dǎo),并求, 1,2ba2)

4、 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否為連續(xù)函數(shù) ?判別判別:,1時(shí)x,)(axf時(shí)，1xxxf2)(ba1) 1(21ba2a存在) 1 (f二、二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法導(dǎo)數(shù)和微分的求法1. 正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意討論界點(diǎn)界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等(2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)微分法(3) 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)(4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(可利用微分形式不變性)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)歸納; 間接求導(dǎo)法;利用萊布尼茨公式.導(dǎo)出導(dǎo)出例例6.6.設(shè), )(arctansinee1sinxxxfy其中)(xf可

5、微 ,.y求解解:yd)d(esinesin xx)d(sineesinxx)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinesinesinxxx)d(ecoseesinxxx)d(11)(arctan1112xxxfxxxxd )sine(cosesinxfxxd)(arctan1112xyyddxxcosee例例7.7.，有定義時(shí)設(shè))(0 xgx 且)(xg 存在, 問怎樣選擇cba,可使下述函數(shù)在0 x處有二階導(dǎo)數(shù))(xf解解: 由題設(shè))0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x連續(xù), 即, )0()0()0(fff得)0(gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(l

6、im)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg)0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg作業(yè)作業(yè) P125 5 ; 6(1) ; 9 (2) ; 12 (2) ; 編輯ppt例例2.2.若0) 1 (f且) 1 (f 存在 , 求.tan) 1(e)cos(sinlim20 xxxfxx解解: 1)cos(sinlim20 xxx原式 =220)cos(sinlimx