高三專題：直線與圓的知識點及經(jīng)典例題(含答案)

1、專題：圓的方程、直線和圓的位置關(guān)系【知識要點】圓的定義：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓(一)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形如：(xa)2+(yb)2 =r2這個方程叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 。-說明：1、若圓心在坐標(biāo)原點上，這時 a = b = 0,則圓的方程就是 x2+y2=r2。2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個基本要素：圓心坐標(biāo)和半徑；圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要 a,b,r三個量確定了且r>0,圓的方程就給定了。就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件-確定a,b,r,可以根據(jù)3個條件，利用 待定系數(shù)法 來解決。(二)圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x -a)2 +(y

2、-b)2 =r2，展開可得x2 + y2 -2ax -2by +a2 +b2 -r2 = 0?？梢姡魏我粋€圓 的方程都可以寫成 ：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0。問題：形如x2 +y2 +Dx+Ey +F = 0的方程的曲線是不是圓？_ 2 _ 2_22-D 2 E 2. D2 E2 -4F 2將方程 x +y +Dx+Ey + F =0左邊配方得：(x -)+(y)=()222._ 2_ 222_D E(1)當(dāng)D +E 4F >0時，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，方程x +y + Dx + Ey + F = 0表示以(,一)為圓22D2 E2 -4F, j心，以 上D

3、E4F為半徑的圓。22222 DE(2)當(dāng)D +E 4F=0時，方程x +y + Dx + Ey + F = 0只有實數(shù)解，解為 x = , y =,所以表示一個22上 D E、點(-,-) .22(3)當(dāng)D2+E24F<0時，方程x2 +y2+Dx + Ey+ F =0沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形。圓的一般方程的定義：當(dāng) D2 +E2 -4F >0時，方程x2 +y2 +Dx + Ey+ F =0稱為圓的一般方程.22 圓的一般萬程的特點：(I) x和y的系數(shù)相同，不等于零；(ii)沒有xy這樣的二次項。(三)直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓位置關(guān)系的種類(1)相離-求距離；(

4、2)相切-求切線；(3)相交-求焦點弦長。2、直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：幾何方法主要步驟：(1)把直線方程化為一般式，利用圓的方程求出圓心和半徑(2)利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離(3)作判斷：當(dāng)d>r時，直線與圓相離；當(dāng) d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d<r時，直線與圓相交。代數(shù)方法主要步驟：(1)把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組(2)利用消元法，得到關(guān)于另一個元的一元二次方程(3)求出其A的值，比較A與0的大小：(4)當(dāng)A<0時，直線與圓相離；當(dāng) A=。時，直線與圓相切 ；當(dāng)A>0時，直線與圓相交。判斷方法直線,與c的位置關(guān)系T Ax + Bi+ + C =

5、 0 (x-a)2+(j-6)：=r2比較圓心到宜線/ 的距離d與圓的半 徑r的大小相交兩組不同的實數(shù)解d <r相切有一組相同實數(shù)解d - r相離沒有解d > r圓的切線方程總結(jié)：當(dāng)點(Xo, y°)在圓x2 +y2 =r2上時，切線方程為：x + y0y = r2 ；當(dāng)點(Xo, yo)在圓(x -a)2 +(y b)2 =r2上時，切線方程為：(x0 a)(x a) + (y° b)(y b) = r2。 【典型例題】類型一：圓的方程例1求過兩點A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y =0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點 P(2,4)與圓的關(guān)系.變式1:求過兩點

6、A(1,4)、B(3,2)且被直線y = 0平分的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式2：求過兩點 A(1,4)、B(3,2)且圓上所有的點均關(guān)于直線y=0對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關(guān)系，只須看點 P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑， 則點在圓內(nèi).解法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2+(y b)2 =r2. 圓心在y=0上，故b = 0 .，圓的方程為(x a)2 + y2 = r2.22 .2、一一 (1-a) +16 = r2又該圓過 A(1,4)、B(

7、3,2)兩點.八 12解之得：a = 1, r =20.J3 -a) +4=r所以所求圓的方程為(x +1)2 + y2 = 20 .解法二：(直接求出圓心坐標(biāo)和半徑)4 2因為圓過A(1,4)、B(3,2)兩點，所以圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又因為kAB=f = -1,故l 1-3的斜率為1,又AB的中點為(2,3),故AB的垂直平分線l的方程為：y 3 = x2即xy + 1 = 0 .又知圓心在直線 y =0上，故圓心坐標(biāo)為 C(1,0)半徑r = |AC =J(1+1)2+42 =v'20 . 故所求圓的方程為(x+1)2+y2 =20 .又點P(2,4)到圓心C(一

8、1,0)的距離為d =|PC =V(2 + 1)2 +42 =/25>r .，點 P在圓外.例2:求過三點O (0, 0), M (1, 1), N (4, 2)的圓的方程，并求出這個圓的圓心和半徑。解：設(shè)圓的方程為：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,將三個點的坐標(biāo)代入方程F =0<D +E +F +2=04D +2E + F +20 =0 匚 c c o i- 2回七壬口以22_l.f F = 0,D=-8,E=6 二圓方程為：x + y -8x + 6y = 0配方：(x -4)2+(y+3)2=25 =圓心：(4,4 ),半徑 r = 5例3：求經(jīng)過點A(0

9、,5),且與直線x2y =0和2x+ y = 0都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點 A ,故只需確定圓心坐標(biāo).又圓與兩已知 直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：圓和直線x-2y = 0與2x + y=0相切，圓心 C在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線 x2y =0和2x+y = 0的距離相等.巴2y = 匕型.，兩直線交角的平分線方程是,5、5x+3y =0或3x y =0 .又.圓過點 A(0,5), 圓心C只能在直線3x y = 0上.|2t+3tl2設(shè)圓心C(t,3t) C到直線2x + y =0的距離等于 AC , . J曰

10、 =占2 + (3t 5)2 .V5化簡整理得t2 -6t+5 =0.解得：t =1或t =5圓心是(1,3),半徑為J5或圓心是(5,15),半徑為5V5 .，所求圓的方程為(x1)2 +(y3)2 =5 或(x5)2 +(y 15)2 =125 .說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是 過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法.類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例4、已知圓O： x2 +y2 =4 ,求過點P(2,4)與圓O相切的切線.解：點P(2,4不在圓O上，切線PT的直線方程可設(shè)為y=k(x 2)+4-2k 433根

11、據(jù) d =r =2.解得 k =3 所以 y=9(x 2計4 即 3x4y + 10 = 0由+k24,4,因為過圓外一點作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在.易求另一條切線為x = 2.說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決(也要注意漏解).還可以運用2x0x+y°y=r，求出切點坐標(biāo)x。、y0的值來解決，此時沒有漏解.例5、自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓 x2 + y2-4x 4y+7 =0相切, 求光線所在直線方程。例 6、兩圓

12、 Ci： x2 +y2+D#+Ey + Fi =0 與 C2： x2 + y2 + D2X + E?y + F2 =0 相交于 A、B 兩點，求它們的 公共弦AB所在直線的方程.分析：首先求A、B兩點的坐標(biāo)，再用兩點式求直線AB的方程，但是求兩圓交點坐標(biāo)的過程太繁.為了避免求交點，可以采用 設(shè)而不求”的技巧.解：設(shè)兩圓Ci、C2的任一交點坐標(biāo)為（xo,yo）,則有：22Xo +y0 +Di%+Eyo+F =022_Xo yyo + D2X0 +E2y°+F2=0得：（Di D2）xo +（Ei E2）yo +Fi F2 =o.,A、B 的坐標(biāo)滿足方程（D1 D2）x + （E1 E2

13、）y+ F1 F2 =。.方程（Di D2）x+（Ei E2）y+Fi F2 =o是過A、B兩點的直線方程.又過 A、B兩點的直線是唯一的.兩圓CC2的公共弦 AB所在直線的方程為（DiD2）x + （EiE2）y + Fi F2=o.說明：上述解法中，巧妙地避開了求 A、B兩點的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標(biāo).從解題的角度上說，這是一種設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識.它的應(yīng)用很廣泛.例7、求過點M （3,i）,且與圓（x1）2+y2 =4相切的直線l的方程.解：設(shè)切

14、線方程為yi =k（x3）,即kxy3k+i=o , 圓心（i,o）到切線l的距離等于半徑2,Ik -3k il33 |,| =2 ,解得 k = , 切線方程為 y-i = (x-3),即 3x + 4y-i3 = o ,k2-i244當(dāng)過點M的直線的斜率不存在時，其方程為x=3,圓心（i,o）到此直線的距離等于半徑 2,故直線x=3也適合題意。所以，所求的直線l的方程是3x + 4y i3 = o或x = 3.補充：圓x2 +y2+Dx+Ey+F =。的切點弦方程:證明；設(shè)尸（今。圓C： /十二+二y + F = 0外一點，過點尸作的C的的兩條切線切點是工、，則直線AB的方程是二/工十比丁

15、 +三。+2三£；+產(chǎn)=0. 二謖E機由平面幾何知識易知一弦且H是圜。馬次憶C為直徑端點的的相交弦.DE以巴C1為直徑逐點的圓的方程是：a4-x0） +（V + -）（y - Vp） = 0 n tUKJ即/+/+（甌萬4（3一打）¥ 彳7 =0義工小分工+Ey + F = Q-將：+ =類型三：弦長、弧問題 例8、求直線l :3xy6=。被圓C : x2十y22x4y=o截得白勺弦AB的長.例9、直線，3x+y2/3 =0截圓x2 +y2 =4得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距d =<3,故弦長AB =2,2 d2 =2 ,從而oab是等邊三角形，故截得的

16、劣弧所對的圓心角為.AOB =.3例 10、圓 C： (x -1)2 +(y -2)2 =25,直線(2m +1) x+(m+1)y-7m-4 = 0(m= R),(I)證明：不論 m取何值時，l與C恒有兩個交點；(n)求最短弦長所在直線方程。分析：本題最關(guān)鍵的是直線交點系方程的轉(zhuǎn)化，挖掘出直線恒過定點。再探究定點在圓內(nèi)，下一步只需要去探究 點到直線的距離最大時，直線方程是什么。類型四：直線與圓的位置關(guān)系例11、已知直線J3x +y -2第=0和圓x2 +y2 =4,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系例12、若直線y=x+m與曲線y=q'4-x2有且只有一個公共點，求實數(shù) m的取值范圍.解：

17、曲線y =，4 _x2表示半圓x2+y2 =4(y之0) , .利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍是-2 Em<2 或 m=2V2.例13、圓(x3)2+(y 3)2 =9上到直線3x+4y11 =0的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解.或先求出直線11、12的方程，從代數(shù)計算中尋找解答.解法一：圓(x3)2+(y 3)2 =9的圓心為01(3, 3),半徑r =3 .設(shè)圓心01到3M3+4父3111直線3x+4y 11 =0的距離為d ,則d =- = 2 <3,如圖，在圓心017327同側(cè)，與直線3x+4y -11 =0平行且距離為1的直線11與圓有兩個交點，這兩個交

18、點符合題意.又rd =32=1 .，與直線3x+4y11 = 0平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.，符合題意的點共有3個.解法二：符合題意的點是平行于直線3x + 4y -11 = 0 ,且與之距離為 1的直線和圓的交點.設(shè)所求直線為3x +4y + m = 0 ,則 d =m 11,3242=1,m+U=5,即 m=一6,或 m=_16,也即 l1:3x + 4y_6 = 0,或22l2：3x+4y16=0.設(shè)圓 Q:(x3) +(y3) =9的圓心到直線1i、l2的距離為d1、d2,門" 3x3+4x3-6貝 U d1 = 1-_,丁3242=3, d23x3+4x

19、3-16 13242，11與O1相切，與圓O1有一個公共點;l2與圓O1相交，與圓O1有兩個公共點.即符合題意的點共3個.類型五：圓中的最值問題例14、圓x2 + y2 -4x -4y -10 = 0上的點到直線x十y 14 = 0的最大距離與最小距離的差是解：圓(x 2)2 +(y 2)2 =18 的圓心為(2, 2),半徑 r =3后,10圓心到直線的距離 d5 2 r ,，直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是(d r) -(d -r) = 2r =6.2 .例 15、(1)已知圓 O1：(x3)2 +(y 4)2 =1P(x , y)為圓。上的動點，求d = x2 +

20、y2的最大、最小值.值.(2)已知圓22y - 2O2：(x+2) +y =1 , P(x, y)為圓上任一點.求 -一的最大、最小值，求 x 2y的最大、最小 x 7分析：、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.本題類比于2017年高考理科全國二卷12題，這類型題目的處理方法就是通過幾何意義用線性規(guī)劃的思路來處理，或者用圓的參數(shù)方程,分別把x,y表示出來，通過研究三角函數(shù)的最值研究。解：(1)圓上點到原點距離的最大值d1等于圓心到原點的距離 d1加上半徑1,圓上點到原點距離的最小值于圓心到原點的距離d；減去半徑1 .所以d1=%'32+42+1=6.d

21、2=。32 +42-1 = 4.所以 dmax =36 . dmin =16.(2)設(shè)YZnk ,則kx-y-k +2=0.由于P(x, y)是圓上點，當(dāng)直 x -1線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值.2k k+21k2.口 3-3 y-233=1,得k =.所以的取大值為 ,4x -143-3最小彳1為34令x -2y =t ,同理兩條切線在 x軸上的截距分別是最大、最小值.由 d2 - m.5=1 ,得m = -2 ±<5 .所以x-2y的最大值為-2 +v'5 ,最小值為2 J5 .例16、已知A(2,0), B(2,0),點P在圓(x3)

22、2+(y 4)2 =4上運動，則PA 2十| PB 2的最小值是_-22解：設(shè) P(x, y),則 PA + PB =(x+2)CCCCCC22 +y2 +(x-2)2 +y2 =2(x2 +y2)+8 = 2OP +8.設(shè)圓心為 C(3,4),則 OPmin =OC r=52=3, |PA2 +PB2 的最小值為 2M32 +8 = 26.類型六：直線與圓的綜合例17、在平面直角坐標(biāo)系x0y中，經(jīng)過點(0,3)且斜率為k的直線l與圓x2+ y2 =4有兩個不同的交點P、Q。(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)A(2,0),B(0,1)若向量 OP+OQ與AB共線，求k的值。贈送以下資料英語萬能作文

23、（模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that.隨著社會的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了越來越多的問題，其中之一便是 As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，對于此類問題，人們持不同的看法。（Hold different attitudes持不同的看；Come up with differen

24、t attitudes 有不同的看法）As society develops, people are attaching much importance to.隨著社會的發(fā)展，人們開始關(guān)注People are attaching more and more importance to the interview during job hunting求職的過程中，人們慢慢意識到面試的重要性。As to whether it is worthwhile .,there is a long-running controversial debate. It is quite natural that

25、people from different backgrounds may have divergent attitudes towards it.關(guān)于是否值得的問題，一直以來爭論不休。當(dāng)然，不同的人對此可能持不同的觀點。In the process of modern urban development, we often find ourselves in a dilemma.在都市的發(fā)展中，我們往往會陷入困境。Recently the phenomenon has aroused wide concern, some people are in alarm that.最近，這種現(xiàn)象引起了

26、人們的廣泛關(guān)注，有人開始擔(dān)心 OThe human race has entered a completely new stage in its history, with the increasingly rapid economic globalization and urbanization, more problems are brought to our attention.人類進入了一個歷史的嶄新的階段，經(jīng)濟全球化、都市化的速度不斷加快，隨之 給我們帶來了很多問題。plays such an important role that it undeniably becomes the

27、 biggest concern of the present world, there comes a question, is it a blessing or a curse?"顯得非常重要而成為當(dāng)今世界所關(guān)注的最大的問題，這是無可厚非的。不過，問題是："我們該如何抉擇？"Now we are entering a new era, full of opportunities and challenges,現(xiàn)在我們正在進入一個充滿機會和挑戰(zhàn)的新時代。People from different backgrounds would put different i

28、nterpretations on the same case.不同行業(yè)的人對同一種問題的解釋不盡相同。The controversial issue is often brought into public focus. People from different backgrounds hold different attitudes towards the issue.這中極具爭議性的話題往往很受社會的關(guān)注。不同的人對此問題的看法也不盡相 同。When asked ., some people think.while some prefer.說到,有人認(rèn)為,而另一些人則認(rèn)為 。Just

29、as the saying goes: "so many people, so many minds". It is quite understandable that views on this issue vary from person to person.俗話說，""。不同的人對此有不同的看法是可以理解的。To this issue, different people come up with various attitudes.對于這個問題，不同的人持不同的觀點。There is a good side and a bad side to ev

30、erything, it goes without saying that.萬事萬物都有其兩面性，所以，勿庸置疑， When it comes to ，most people believe that ., but other people regard .as .提到問題，很多人認(rèn)為 ,不過，一些人則認(rèn)為 是.When faced with., quite a few people claim that ., but other people think as.提到問題，僅少數(shù)人認(rèn)為 ,但另一些人則認(rèn)為 。There is a public controversy nowadays over

31、 the issue of . There who criticize .argue that ., they believe that .,but people who favor ., on the other hand, argue that.目前，問題爭議較大。批判 的人認(rèn)為,他們認(rèn)為,不過，另 一方面，贊同 的人則認(rèn)為。Some people are of the opinion that.有些人認(rèn)為 oMany people claim that.很多人認(rèn)為。A majority of絕大多數(shù)A large number of 很多人Some people contend that

32、 . has proved to bring many advantages (disadvantages)有些人認(rèn)為有很多有利之處(不利之處)。Those who argue for . say that .economic development of the cities.覺得 的人認(rèn)為，城市的經(jīng)濟發(fā)展。Some people advocate that .有些人在堅持認(rèn)為。They hold that .他們認(rèn)為People, who advocate that ，have their sound reasons (grounds)堅持認(rèn)為的人也有其說法(依據(jù))。Those who h

33、ave already benefited from practicing it sing high praise of it.刃 B 些從中受益的人對此大家褒獎。Those who strongly approve of . have cogent reasons for it.強烈認(rèn)同的人有很多原因。Many people would claim that. 有人會認(rèn)為People who support . give some or all of the following reasons.那些支持觀點的人列出了如下原因：。But others hold the view that .但

34、是，另外一些人則認(rèn)為 。觀點的用詞：Attitude, opinion,與其搭配的動詞以及詞組：Take, have, come up with set forth, put forward 等。But on the other hand, there are also quite a few people who strongly advocate that.,.不過，另一方面，也有少部分人堅持認(rèn)為 OBut people who are ., on the other hand , maintain that.不過，另一方面，的人認(rèn)為。However, there are a large

35、number of people who hold a different view concerning this case.然而，很多人對此有不同的看法。問題用詞：Issue, phenomenon 后接介詞，on, over等。However, some others argue that.然而，另一些人貝U認(rèn)為 。However, there are also some others who contend that.然而，也有人認(rèn)為 oBut other people set forth completely totally different argument concerning

36、 this case.不過，對于此，另一些人則持完全不同的觀點。Some people examine this issue from another angle.有的人用另一角度來看這一問題。On the other hand, there are also many opponents who strongly .另一方面，也有很多反對的人，他們認(rèn)為 OAccording to my personality and fondness, I would prefer . rather than.根據(jù)我的個性以及興趣，我選擇 而不會選擇?Personally, I side with the

37、latter (former) opinion.就我個人而言，我支持后者(前者)?Personally, I am in favor of the former point of view.就我個人而言，我較同意前一種看法。To my point of view 我認(rèn)為To my mind, the advantages far overweigh the drawbacks(disadvantages, shortcomings)我認(rèn)為，優(yōu)點勝過缺點。For my part, I stand on side of the latter opinion that.就我而言，我較贊同后一種觀點A

38、s far as I am concerned, I am inclined to be on the side of the latter view.在我看來，我較同意后一種觀點。After a thorough consideration, for my part, I am in favor of the latter view that.經(jīng)過深思熟慮，我較支持后一種看法，亦即 ?If asked to make a decision, I would prefer.如果真的需要作出選擇，我寧愿 展現(xiàn)問題篇問題的常用詞： question, problem, issueRecently,

39、 the issue ofhas been brought into public focus.近來，的問題引起了社會的廣泛關(guān)注。Now we are entering a brand new era full of opportunities and innovations, and great changes have taken place in people ' s attitude towards some traditional practice.現(xiàn)在我們進入了一個充滿機遇和創(chuàng)新的嶄新時代，很多人對某些傳統(tǒng)的看法也發(fā) 生了很大改變。Recently the issue of whether or not . has been in the limelight a