誤差分析與處理基礎(chǔ)

1、第章 誤差分析與處理基礎(chǔ)測(cè)量：人們借助于檢測(cè)儀表通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法對(duì)客觀事物取得數(shù)量信息的過(guò)程。真值：在一定時(shí)間、空間條件下客觀存在的被測(cè)量的確定數(shù)值。測(cè)量值：檢測(cè)儀表指示或顯示被測(cè)參量的數(shù)值即儀表讀數(shù)或示值。測(cè)量誤差：測(cè)量值與真值的差。在科學(xué)研究及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，精度是首要的；在工程實(shí)際中，穩(wěn)定性是首要的，精度只要滿(mǎn)足工藝指標(biāo)范圍即可。3.1 誤差的概念與分類(lèi)測(cè)量誤差的概念及表達(dá)方式一、絕對(duì)誤差測(cè)量值與真值之差 X檢測(cè)儀表指示或顯示被測(cè)參量的數(shù)值即儀表讀數(shù)或示值（測(cè)量值） X0在一定時(shí)間、空間條件下客觀存在的被測(cè)量的真實(shí)數(shù)值（真值），一般情況下，理論真值是未知的，在工程上，通常用高一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)儀器的測(cè)量值

2、來(lái)代替真值。二、相對(duì)誤差（評(píng)定測(cè)量的精確度）1、實(shí)際相對(duì)誤差 2、示值相對(duì)誤差 為了減小測(cè)量中的示值誤差，當(dāng)選擇儀器、儀表量程時(shí)，應(yīng)使被測(cè)量的數(shù)值接近滿(mǎn)度值，一般使這類(lèi)儀器、儀表工作在不小于滿(mǎn)度值23以上的區(qū)域。三、引用誤差1、引用誤差示值絕對(duì)誤差x與儀表量程L之比值q 2、最大引用誤差儀表量程內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差與該儀器儀表量程L之比值，即 儀表在出廠檢驗(yàn)時(shí)，其示值的最大引用誤差qmax不能超過(guò)其允許誤差Q（以百分?jǐn)?shù)表示）即 3、精度等級(jí)工業(yè)檢測(cè)系統(tǒng)常以允許誤差Q作為判斷精度等級(jí)的尺度。規(guī)定：取允許誤差百分?jǐn)?shù)的分子作為精度等級(jí)的標(biāo)志，也即用最大引用誤差中去掉百分號(hào)（%）后的數(shù)字來(lái)表示精度等級(jí)

3、，其符號(hào)是G， 精度等級(jí)為G的儀表在規(guī)定的條件下使用時(shí)，它的絕對(duì)誤差的最大值的范圍是 例3-1-1 檢定一個(gè)滿(mǎn)度值為5A的1.5級(jí)電流表，若在2.0A刻度處的絕對(duì)誤差最大，xmax+0.1A，問(wèn)此電流表精度是否合格?解 按式(3-1-6)求此電流表的最大引用誤差 2.01.5即該表的基本誤差超出1.5級(jí)表的允許值。所以該表的精度不合格。但該表最大引用誤差小于2.5級(jí)表的允許值，若其它性能合格可降作2.5級(jí)表使用。例-1-2 測(cè)量一個(gè)約80 V的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表：一塊量程300 V、0.5級(jí)，另一塊量程l00 V、1.0級(jí)。問(wèn)選用哪一塊為好?解 如使用300 V、0. 5級(jí)表、按式(3-1-

4、4)、(3-1-9)求出其示值相對(duì)誤差為 如使用100V、1.0級(jí)表，其示值相對(duì)誤差為 測(cè)量誤差的分類(lèi)根據(jù)測(cè)量誤差的性質(zhì)及產(chǎn)生的原因，可分為三類(lèi)：一、隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值A(chǔ)之差。即 式中 隨機(jī)誤差是測(cè)量值與數(shù)學(xué)期望之差，它表明了測(cè)量結(jié)果的分散性，經(jīng)常用來(lái)表征測(cè)量精密度的高低。隨差越小，精密度越高。二、系統(tǒng)誤差在相同測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果的平均值A(chǔ)與被測(cè)量的真值A(chǔ)0之差。即系統(tǒng)誤差表明了測(cè)量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系統(tǒng)誤差越小，測(cè)量就越準(zhǔn)確。所以，系統(tǒng)誤差經(jīng)常用來(lái)表征測(cè)量準(zhǔn)確度的高低。三、粗大誤差在

5、相同的條件下，多次重復(fù)測(cè)量同一量時(shí)，明顯地歪曲了測(cè)量結(jié)果的誤差，稱(chēng)粗大誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不當(dāng)，或測(cè)量條件的超常變化而引起的。含有粗大誤差的測(cè)量值稱(chēng)為壞值，所有的壞值都應(yīng)去除，但不是主觀或隨便去除，必須科學(xué)地舍棄。正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不應(yīng)該包含有粗大誤差。四、準(zhǔn)確度、精密度和精確度測(cè)量中發(fā)現(xiàn)了粗大誤差，數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)將其剔除，這樣要估計(jì)的誤差就只有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類(lèi)。 由上式可見(jiàn)，各次測(cè)量值的絕對(duì)誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。精確度又稱(chēng)為精度，它反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合影響的程度；準(zhǔn)確度則是反映系統(tǒng)誤差影響的程度，精密度則是反映隨機(jī)誤差影響的程度。因此，精度高說(shuō)明準(zhǔn)確度

6、和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。3.2 隨機(jī)誤差的處理 隨機(jī)誤差的概率分布一 、隨機(jī)誤差的分布規(guī)律1 、正態(tài)分布正態(tài)分布的測(cè)量值的概率密度為（圖321（a）正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的概率密度為（圖321（b）正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)：1)對(duì)稱(chēng)性絕對(duì)值相同的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相同。2)抵償性： 3)單蜂性：在處，概率最大)有界性：隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限。隨機(jī)誤差在的區(qū)間內(nèi)取值的概率為1。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，正態(tài)分布曲線越陡，則小誤差出現(xiàn)的概率也越大，大誤差出現(xiàn)的概率就越小，這意味著測(cè)量值越集中。因此，的大小說(shuō)明了測(cè)量值的離散性，即測(cè)量值相對(duì)于真值的分散程度。2、均勻分布（圖）特點(diǎn)

7、是誤差均勻地分布在某一區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)誤差出現(xiàn)的概率密度處處相同。而在該區(qū)域以外誤差出現(xiàn)的概率為零。 被測(cè)量真值和測(cè)量方差的估計(jì)值理論上計(jì)算被測(cè)量的真值（即數(shù)學(xué)期望）與方差需要即有無(wú)限多個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)。但是在實(shí)際情況下，只能進(jìn)行有限次測(cè)量，得到有限多個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)。利用這有限多個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)我們可以求得被測(cè)量的真值（即數(shù)學(xué)期望）的估計(jì)值和方差的估計(jì)值。這里“”是表示估計(jì)值的符號(hào)。一 、被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值通常把測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值，即把測(cè)量值與算術(shù)平均值之差稱(chēng)為剩余誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)殘差，即二 、方差的估計(jì)值方差的估計(jì)值： 標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值： 三、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差及其估計(jì)值算術(shù)平均

8、值的標(biāo)準(zhǔn)偏差為 算術(shù)平均值的方差估計(jì)值 算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值 在實(shí)際測(cè)量中，一般取n次左右即可。例3-2-1 甲、乙二人分別用不同的方法對(duì)同一電感進(jìn)行多次測(cè)量結(jié)果如下（均無(wú)系統(tǒng)誤差及粗差）： 甲 (mH)：1.28，1.31，1.27，1.26 ，1.19 ，1.25 乙 (mH)：1.19，1.23，1.22 ，1.24， 1.25，1.20試根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)他們的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行粗略評(píng)價(jià) 解按式(3-2-9)分別計(jì)算兩組算術(shù)平均值得 按式(313)分別計(jì)算兩組測(cè)量數(shù)據(jù)的方差估計(jì)值(總體方差估計(jì)值) 按式（16）計(jì)算兩組測(cè)量數(shù)據(jù)算術(shù)平均值的方差估計(jì)值時(shí)，得到的結(jié)果是可見(jiàn)兩人測(cè)量次數(shù)雖相同、但

9、算術(shù)平均值方差估計(jì)值相差較大，表明乙所進(jìn)行的測(cè)量精密度高。 測(cè)量結(jié)果的置信度與表示方法一、 置信區(qū)間與置信概率1、置信度測(cè)量結(jié)果值得信賴(lài)的程度。隨機(jī)變量的“置信度”，通常用隨機(jī)變量落于某一區(qū)間（稱(chēng)“置信區(qū)間”）的概率（稱(chēng)“置信概率”）來(lái)表示。2、置信區(qū)間：測(cè)量數(shù)據(jù)的取值范圍即置信區(qū)間為隨機(jī)誤差的取值范圍即置信區(qū)間為3、置信概率：隨機(jī)變量落于 “置信區(qū)間”的概率。置信概率可用概率密度曲線 與置信區(qū)間橫坐標(biāo)包圍的面積表示（圖）。測(cè)量數(shù)據(jù)落入置信區(qū)間的概率等于隨機(jī)誤差落入置信區(qū)間的概率。4、超差概率：隨機(jī)變量落在置信區(qū)間以外的概率，又稱(chēng)為置信水平或顯著性水平。5、置信系數(shù)：置信區(qū)間極限與標(biāo)準(zhǔn)偏差的比

10、值。二、置信度的計(jì)算1 、正態(tài)分布之測(cè)量數(shù)據(jù)的置信度2、有限次測(cè)量情況下的置信度通常采用分布來(lái)計(jì)算置信概率。 隨機(jī)變量的概率密度服從分布。t分布的一個(gè)重要特點(diǎn)是其分布與無(wú)關(guān)。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布的差別較大，但當(dāng)時(shí)，分布趨于正態(tài)分布。置信概率： t落在區(qū)間（，）的概率 式中為置信系數(shù)。被測(cè)量真值以置信概率處在區(qū)間內(nèi)。 例3-2-2 對(duì)某電源電壓進(jìn)行8次獨(dú)立等精密度、無(wú)系統(tǒng)誤差的測(cè)量，所得數(shù)據(jù)(單位為V)為：12.38，12.40，12.50，12.4812.4312.4512.46，12.42。試按置信概率99.5估計(jì)電壓真值在何區(qū)間。解（） 求測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值（）由式(31

11、4)可計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值 （）由式（17）求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值（）由給定的置信概率及測(cè)量次數(shù)n8（用自由度n-1=7）查表2得(5)估計(jì)電壓真值即所處區(qū)間，以，代入得 12.38，12.50。故電壓真值三 、測(cè)量結(jié)果的數(shù)字表示方法、如果已知測(cè)量?jī)x器的標(biāo)準(zhǔn)偏差，作一次測(cè)量，測(cè)得值為X，則通常將被測(cè)量X的大小表示為 、當(dāng)用n次等精度測(cè)量的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果時(shí)，其表達(dá)式為 3.3 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的分類(lèi)一、恒定系差在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)固定不變。二、變化系差 是一種按照一定規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)變化的持點(diǎn)又可分為1、累積性系差2、周期性系差及3、復(fù)雜變化系差判斷系統(tǒng)

12、誤差的方法一、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法只適用于發(fā)現(xiàn)恒定系差。二、剩余誤差觀察法主要適用于發(fā)現(xiàn)變值系差三、馬利科夫判據(jù)用于發(fā)現(xiàn)累積性系差。四、阿卑赫梅特判據(jù)用以發(fā)現(xiàn)周期性系差。 系統(tǒng)誤差的消除方法一、消除產(chǎn)生誤差的根源二、對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正在測(cè)量之前，用上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)）對(duì)儀器儀表進(jìn)行檢定, 取得受檢儀器的修正值。在用受檢儀器測(cè)量時(shí)，將修正值C加入測(cè)量值x中，即可消除系統(tǒng)誤差，求出實(shí)際值 三、采用特殊測(cè)量法1、恒定系差消除法(1）零值法零值法（又稱(chēng)平衡法）是把被測(cè)量與作為計(jì)量單位的標(biāo)準(zhǔn)已知量進(jìn)行比較，使其效應(yīng)相互抵消，當(dāng)兩者的差值為零時(shí)，被測(cè)量就等于已知的標(biāo)準(zhǔn)量。(2)替代法替代法（又稱(chēng)置換法）是先將被測(cè)量

13、x接入測(cè)量裝置使之處于一定狀態(tài)，然后以已知量A代替x，并通過(guò)改變A的值使測(cè)量裝置恢復(fù)到x接入時(shí)的狀態(tài)，于是x=A。(3)交換法交換法又稱(chēng)對(duì)照法。在測(cè)量過(guò)程中，將測(cè)量中的某些條件（如被測(cè)物的位置等）相互交換，使產(chǎn)生系差的原因?qū)ο群髢纱螠y(cè)量結(jié)果起反作用。將這兩次測(cè)量結(jié)果加以適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理（通常取其算術(shù)平均值或幾何平均值），即可消除系統(tǒng)誤差或求出系統(tǒng)誤差的數(shù)值。(4)補(bǔ)償法補(bǔ)償法是替代法的一種特殊運(yùn)用形式，在兩次測(cè)量中，第一次令標(biāo)準(zhǔn)器的量值N與被測(cè)量x相加，在N+x的作用下，測(cè)量?jī)x器給出一個(gè)示值；然后去掉被測(cè)量x，改變標(biāo)準(zhǔn)器的量值為N，使儀器在N的作用下給出與第一次同樣的示值，則x=N-N（5）微差

14、法（虛零法）微差法只要求標(biāo)準(zhǔn)量與被測(cè)量相近，而用指示儀表測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)量與被測(cè)量的差值。這樣，指示值表的誤差對(duì)測(cè)量的影響會(huì)大大減弱。2、變值系差消除法(1)等時(shí)距對(duì)稱(chēng)觀測(cè)法可以有效地消除隨時(shí)間成比例變化的線性系統(tǒng)誤差。（2）半周期偶數(shù)觀測(cè)法可以消除周期性的系統(tǒng)誤差。3.4 粗大誤差的處理 粗大誤差的判別設(shè)為含有粗大誤差的異常測(cè)量值，為包含此異常值在內(nèi)的所有測(cè)量值的算術(shù)平均值，為包括此異常值在內(nèi)的所有測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值，為置信系數(shù)，則判斷在置信區(qū)間之外即屬于異常數(shù)據(jù)的依據(jù)是，其殘余誤差大于，即 （3-4-1）因此，凡大于K倍標(biāo)準(zhǔn)偏差的剩余誤差可認(rèn)為是粗差，它所對(duì)應(yīng)的測(cè)量值就是壞值，應(yīng)予以舍棄。拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則表達(dá)式為： 當(dāng)某個(gè)可疑數(shù)據(jù)Xb符合上式時(shí)，則認(rèn)為該數(shù)據(jù)是壞值，應(yīng)予剔除。拉依達(dá)準(zhǔn)則只適用于測(cè)量次數(shù)較多（例如以上），測(cè)量誤差分布接近正態(tài)分布的情況。格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯準(zhǔn)則表達(dá)式為： 式中的判別值是和測(cè)量次數(shù)、超差概率相關(guān)的數(shù)值，可通過(guò)查表獲得。例3-4-1 對(duì)某電源電壓進(jìn)行5次等精