誤差分析與處理基礎

1、第章 誤差分析與處理基礎測量：人們借助于檢測儀表通過實驗方法對客觀事物取得數(shù)量信息的過程。真值：在一定時間、空間條件下客觀存在的被測量的確定數(shù)值。測量值：檢測儀表指示或顯示被測參量的數(shù)值即儀表讀數(shù)或示值。測量誤差：測量值與真值的差。在科學研究及科學實驗中，精度是首要的；在工程實際中，穩(wěn)定性是首要的，精度只要滿足工藝指標范圍即可。3.1 誤差的概念與分類測量誤差的概念及表達方式一、絕對誤差測量值與真值之差 X檢測儀表指示或顯示被測參量的數(shù)值即儀表讀數(shù)或示值（測量值） X0在一定時間、空間條件下客觀存在的被測量的真實數(shù)值（真值），一般情況下，理論真值是未知的，在工程上，通常用高一級標準儀器的測量值

2、來代替真值。二、相對誤差（評定測量的精確度）1、實際相對誤差 2、示值相對誤差 為了減小測量中的示值誤差，當選擇儀器、儀表量程時，應使被測量的數(shù)值接近滿度值，一般使這類儀器、儀表工作在不小于滿度值23以上的區(qū)域。三、引用誤差1、引用誤差示值絕對誤差x與儀表量程L之比值q 2、最大引用誤差儀表量程內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該儀器儀表量程L之比值，即 儀表在出廠檢驗時，其示值的最大引用誤差qmax不能超過其允許誤差Q（以百分數(shù)表示）即 3、精度等級工業(yè)檢測系統(tǒng)常以允許誤差Q作為判斷精度等級的尺度。規(guī)定：取允許誤差百分數(shù)的分子作為精度等級的標志，也即用最大引用誤差中去掉百分號（%）后的數(shù)字來表示精度等級

3、，其符號是G， 精度等級為G的儀表在規(guī)定的條件下使用時，它的絕對誤差的最大值的范圍是 例3-1-1 檢定一個滿度值為5A的1.5級電流表，若在2.0A刻度處的絕對誤差最大，xmax+0.1A，問此電流表精度是否合格?解 按式(3-1-6)求此電流表的最大引用誤差 2.01.5即該表的基本誤差超出1.5級表的允許值。所以該表的精度不合格。但該表最大引用誤差小于2.5級表的允許值，若其它性能合格可降作2.5級表使用。例-1-2 測量一個約80 V的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表：一塊量程300 V、0.5級，另一塊量程l00 V、1.0級。問選用哪一塊為好?解 如使用300 V、0. 5級表、按式(3-1-

4、4)、(3-1-9)求出其示值相對誤差為 如使用100V、1.0級表，其示值相對誤差為 測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質及產(chǎn)生的原因，可分為三類：一、隨機誤差隨機誤差是測量結果與在重復條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值A之差。即 式中 隨機誤差是測量值與數(shù)學期望之差，它表明了測量結果的分散性，經(jīng)常用來表征測量精密度的高低。隨差越小，精密度越高。二、系統(tǒng)誤差在相同測量條件下，對同一被測量進行無限多次重復測量所得結果的平均值A與被測量的真值A0之差。即系統(tǒng)誤差表明了測量結果偏離真值或實際值的程度。系統(tǒng)誤差越小，測量就越準確。所以，系統(tǒng)誤差經(jīng)常用來表征測量準確度的高低。三、粗大誤差在

5、相同的條件下，多次重復測量同一量時，明顯地歪曲了測量結果的誤差，稱粗大誤差，簡稱粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不當，或測量條件的超常變化而引起的。含有粗大誤差的測量值稱為壞值，所有的壞值都應去除，但不是主觀或隨便去除，必須科學地舍棄。正確的實驗結果不應該包含有粗大誤差。四、準確度、精密度和精確度測量中發(fā)現(xiàn)了粗大誤差，數(shù)據(jù)處理時應將其剔除，這樣要估計的誤差就只有系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。 由上式可見，各次測量值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。精確度又稱為精度，它反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合影響的程度；準確度則是反映系統(tǒng)誤差影響的程度，精密度則是反映隨機誤差影響的程度。因此，精度高說明準確度

6、和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。3.2 隨機誤差的處理 隨機誤差的概率分布一 、隨機誤差的分布規(guī)律1 、正態(tài)分布正態(tài)分布的測量值的概率密度為（圖321（a）正態(tài)分布的隨機誤差的概率密度為（圖321（b）正態(tài)分布的隨機誤差的統(tǒng)計特點：1)對稱性絕對值相同的正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相同。2)抵償性： 3)單蜂性：在處，概率最大)有界性：隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。隨機誤差在的區(qū)間內(nèi)取值的概率為1。標準偏差越小，正態(tài)分布曲線越陡，則小誤差出現(xiàn)的概率也越大，大誤差出現(xiàn)的概率就越小，這意味著測量值越集中。因此，的大小說明了測量值的離散性，即測量值相對于真值的分散程度。2、均勻分布（圖）特點

7、是誤差均勻地分布在某一區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)誤差出現(xiàn)的概率密度處處相同。而在該區(qū)域以外誤差出現(xiàn)的概率為零。 被測量真值和測量方差的估計值理論上計算被測量的真值（即數(shù)學期望）與方差需要即有無限多個測量數(shù)據(jù)。但是在實際情況下，只能進行有限次測量，得到有限多個測量數(shù)據(jù)。利用這有限多個測量數(shù)據(jù)我們可以求得被測量的真值（即數(shù)學期望）的估計值和方差的估計值。這里“”是表示估計值的符號。一 、被測量真值的最佳估計值通常把測量數(shù)據(jù)的算術平均值作為被測量真值的最佳估計值，即把測量值與算術平均值之差稱為剩余誤差，簡稱殘差，即二 、方差的估計值方差的估計值： 標準偏差的估計值： 三、算術平均值的標準偏差及其估計值算術平均

8、值的標準偏差為 算術平均值的方差估計值 算術平均值的標準偏差估計值 在實際測量中，一般取n次左右即可。例3-2-1 甲、乙二人分別用不同的方法對同一電感進行多次測量結果如下（均無系統(tǒng)誤差及粗差）： 甲 (mH)：1.28，1.31，1.27，1.26 ，1.19 ，1.25 乙 (mH)：1.19，1.23，1.22 ，1.24， 1.25，1.20試根據(jù)測量數(shù)據(jù)對他們的測量結果進行粗略評價 解按式(3-2-9)分別計算兩組算術平均值得 按式(313)分別計算兩組測量數(shù)據(jù)的方差估計值(總體方差估計值) 按式（16）計算兩組測量數(shù)據(jù)算術平均值的方差估計值時，得到的結果是可見兩人測量次數(shù)雖相同、但

9、算術平均值方差估計值相差較大，表明乙所進行的測量精密度高。 測量結果的置信度與表示方法一、 置信區(qū)間與置信概率1、置信度測量結果值得信賴的程度。隨機變量的“置信度”，通常用隨機變量落于某一區(qū)間（稱“置信區(qū)間”）的概率（稱“置信概率”）來表示。2、置信區(qū)間：測量數(shù)據(jù)的取值范圍即置信區(qū)間為隨機誤差的取值范圍即置信區(qū)間為3、置信概率：隨機變量落于 “置信區(qū)間”的概率。置信概率可用概率密度曲線 與置信區(qū)間橫坐標包圍的面積表示（圖）。測量數(shù)據(jù)落入置信區(qū)間的概率等于隨機誤差落入置信區(qū)間的概率。4、超差概率：隨機變量落在置信區(qū)間以外的概率，又稱為置信水平或顯著性水平。5、置信系數(shù)：置信區(qū)間極限與標準偏差的比

10、值。二、置信度的計算1 、正態(tài)分布之測量數(shù)據(jù)的置信度2、有限次測量情況下的置信度通常采用分布來計算置信概率。 隨機變量的概率密度服從分布。t分布的一個重要特點是其分布與無關。當測量次數(shù)n較小時，t分布與正態(tài)分布的差別較大，但當時，分布趨于正態(tài)分布。置信概率： t落在區(qū)間（，）的概率 式中為置信系數(shù)。被測量真值以置信概率處在區(qū)間內(nèi)。 例3-2-2 對某電源電壓進行8次獨立等精密度、無系統(tǒng)誤差的測量，所得數(shù)據(jù)(單位為V)為：12.38，12.40，12.50，12.4812.4312.4512.46，12.42。試按置信概率99.5估計電壓真值在何區(qū)間。解（） 求測量數(shù)據(jù)的算術平均值（）由式(31

11、4)可計算出標準偏差估計值 （）由式（17）求算術平均值的標準偏差估計值（）由給定的置信概率及測量次數(shù)n8（用自由度n-1=7）查表2得(5)估計電壓真值即所處區(qū)間，以，代入得 12.38，12.50。故電壓真值三 、測量結果的數(shù)字表示方法、如果已知測量儀器的標準偏差，作一次測量，測得值為X，則通常將被測量X的大小表示為 、當用n次等精度測量的算術平均值作為測量結果時，其表達式為 3.3 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的分類一、恒定系差在整個測量過程中，誤差的大小和符號固定不變。二、變化系差 是一種按照一定規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)變化的持點又可分為1、累積性系差2、周期性系差及3、復雜變化系差判斷系統(tǒng)

12、誤差的方法一、實驗對比法只適用于發(fā)現(xiàn)恒定系差。二、剩余誤差觀察法主要適用于發(fā)現(xiàn)變值系差三、馬利科夫判據(jù)用于發(fā)現(xiàn)累積性系差。四、阿卑赫梅特判據(jù)用以發(fā)現(xiàn)周期性系差。 系統(tǒng)誤差的消除方法一、消除產(chǎn)生誤差的根源二、對測量結果進行修正在測量之前，用上一級標準（或基準）對儀器儀表進行檢定, 取得受檢儀器的修正值。在用受檢儀器測量時，將修正值C加入測量值x中，即可消除系統(tǒng)誤差，求出實際值 三、采用特殊測量法1、恒定系差消除法(1）零值法零值法（又稱平衡法）是把被測量與作為計量單位的標準已知量進行比較，使其效應相互抵消，當兩者的差值為零時，被測量就等于已知的標準量。(2)替代法替代法（又稱置換法）是先將被測量

13、x接入測量裝置使之處于一定狀態(tài)，然后以已知量A代替x，并通過改變A的值使測量裝置恢復到x接入時的狀態(tài)，于是x=A。(3)交換法交換法又稱對照法。在測量過程中，將測量中的某些條件（如被測物的位置等）相互交換，使產(chǎn)生系差的原因對先后兩次測量結果起反作用。將這兩次測量結果加以適當?shù)臄?shù)學處理（通常取其算術平均值或幾何平均值），即可消除系統(tǒng)誤差或求出系統(tǒng)誤差的數(shù)值。(4)補償法補償法是替代法的一種特殊運用形式，在兩次測量中，第一次令標準器的量值N與被測量x相加，在N+x的作用下，測量儀器給出一個示值；然后去掉被測量x，改變標準器的量值為N，使儀器在N的作用下給出與第一次同樣的示值，則x=N-N（5）微差

14、法（虛零法）微差法只要求標準量與被測量相近，而用指示儀表測量標準量與被測量的差值。這樣，指示值表的誤差對測量的影響會大大減弱。2、變值系差消除法(1)等時距對稱觀測法可以有效地消除隨時間成比例變化的線性系統(tǒng)誤差。（2）半周期偶數(shù)觀測法可以消除周期性的系統(tǒng)誤差。3.4 粗大誤差的處理 粗大誤差的判別設為含有粗大誤差的異常測量值，為包含此異常值在內(nèi)的所有測量值的算術平均值，為包括此異常值在內(nèi)的所有測量值的標準誤差的估計值，為置信系數(shù)，則判斷在置信區(qū)間之外即屬于異常數(shù)據(jù)的依據(jù)是，其殘余誤差大于，即 （3-4-1）因此，凡大于K倍標準偏差的剩余誤差可認為是粗差，它所對應的測量值就是壞值，應予以舍棄。拉依達準則拉依達準則表達式為： 當某個可疑數(shù)據(jù)Xb符合上式時，則認為該數(shù)據(jù)是壞值，應予剔除。拉依達準則只適用于測量次數(shù)較多（例如以上），測量誤差分布接近正態(tài)分布的情況。格拉布斯準則格拉布斯準則表達式為： 式中的判別值是和測量次數(shù)、超差概率相關的數(shù)值，可通過查表獲得。例3-4-1 對某電源電壓進行5次等精