第六章BS模型

1、.第六章布萊克第六章布萊克- -舒爾斯舒爾斯期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 第一節(jié)證券價(jià)格的變化過(guò)程第一節(jié)證券價(jià)格的變化過(guò)程 一、有效市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫過(guò)程一、有效市場(chǎng)假說(shuō)與馬爾可夫過(guò)程 1965年，法瑪（年，法瑪（Fama）提出了著名的有效市場(chǎng)假）提出了著名的有效市場(chǎng)假說(shuō)說(shuō)(Efficient markets hypothesis )。l如果在一個(gè)證券市場(chǎng)中，價(jià)格完全反映了所有可如果在一個(gè)證券市場(chǎng)中，價(jià)格完全反映了所有可獲得的信息，那么就稱(chēng)這樣的市場(chǎng)為有效市場(chǎng)。獲得的信息，那么就稱(chēng)這樣的市場(chǎng)為有效市場(chǎng)。l衡量證券市場(chǎng)是否具有外在效率有兩個(gè)標(biāo)志衡量證券市場(chǎng)是否具有外在效率有兩個(gè)標(biāo)志: l價(jià)格是否能自

2、由地根據(jù)有關(guān)信息而變動(dòng)；價(jià)格是否能自由地根據(jù)有關(guān)信息而變動(dòng)；l證券的有關(guān)信息能否充分地披露和均勻地分布，證券的有關(guān)信息能否充分地披露和均勻地分布，使每個(gè)投資者在同一時(shí)間內(nèi)得到等量等質(zhì)的信息。使每個(gè)投資者在同一時(shí)間內(nèi)得到等量等質(zhì)的信息。l根據(jù)這一理論，股票的技術(shù)分析是無(wú)效的。根據(jù)這一理論，股票的技術(shù)分析是無(wú)效的。弱式有效市場(chǎng)假說(shuō)（弱式有效市場(chǎng)假說(shuō)（Weak Form Market Efficienty）該假說(shuō)認(rèn)為在弱式有效的情況下，市場(chǎng)價(jià)格已充該假說(shuō)認(rèn)為在弱式有效的情況下，市場(chǎng)價(jià)格已充分反映出所有過(guò)去歷史的證券價(jià)格信息，包括股票分反映出所有過(guò)去歷史的證券價(jià)格信息，包括股票的成交價(jià)、成交量，賣(mài)空金

3、額、融資金額等；的成交價(jià)、成交量，賣(mài)空金額、融資金額等；推論推論1:1:如果弱式有效市場(chǎng)假說(shuō)成立，則股票價(jià)格如果弱式有效市場(chǎng)假說(shuō)成立，則股票價(jià)格的技術(shù)分析失去作用，基本分析還可能幫助投資者的技術(shù)分析失去作用，基本分析還可能幫助投資者獲得超額利潤(rùn)。獲得超額利潤(rùn)。半強(qiáng)式有效市場(chǎng)假說(shuō)半強(qiáng)式有效市場(chǎng)假說(shuō)(Semi(SemiStrong Form Market Efficienty)Strong Form Market Efficienty)該假說(shuō)認(rèn)為價(jià)格已充分所映出所有已公開(kāi)的有關(guān)該假說(shuō)認(rèn)為價(jià)格已充分所映出所有已公開(kāi)的有關(guān)公司營(yíng)運(yùn)前景的信息。這些信息有成交價(jià)、成交量、公司營(yíng)運(yùn)前景的信息。這些信息有成交

4、價(jià)、成交量、盈利資料、盈利預(yù)測(cè)值、公司管理狀況及其它公開(kāi)盈利資料、盈利預(yù)測(cè)值、公司管理狀況及其它公開(kāi)披露的財(cái)務(wù)信息等。假如投資者能迅速獲得這些信披露的財(cái)務(wù)信息等。假如投資者能迅速獲得這些信息，股價(jià)應(yīng)迅速作出反應(yīng)。息，股價(jià)應(yīng)迅速作出反應(yīng)。推論推論2:2:如果半強(qiáng)式有效假說(shuō)成立，則在市場(chǎng)中利如果半強(qiáng)式有效假說(shuō)成立，則在市場(chǎng)中利用技術(shù)分析和基本分析都失去作用用技術(shù)分析和基本分析都失去作用, ,內(nèi)幕消息可能獲內(nèi)幕消息可能獲得超額利潤(rùn)。得超額利潤(rùn)。 強(qiáng)式有效市場(chǎng)假說(shuō)強(qiáng)式有效市場(chǎng)假說(shuō)(Strong-Form Market Efficioncy) 強(qiáng)式有效市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為價(jià)格已充分地反映了所強(qiáng)式有效市場(chǎng)假說(shuō)認(rèn)為

5、價(jià)格已充分地反映了所有關(guān)于公司營(yíng)運(yùn)的信息，這些信息包括已公開(kāi)的有關(guān)于公司營(yíng)運(yùn)的信息，這些信息包括已公開(kāi)的或內(nèi)部未公開(kāi)的信息?；騼?nèi)部未公開(kāi)的信息。 推論推論3:在強(qiáng)式有效市場(chǎng)中，沒(méi)有任何方法能幫助在強(qiáng)式有效市場(chǎng)中，沒(méi)有任何方法能幫助投資者獲得超額利潤(rùn)，即使基金和有內(nèi)幕消息者投資者獲得超額利潤(rùn)，即使基金和有內(nèi)幕消息者也一樣。也一樣。l弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)可用弱式效率市場(chǎng)假說(shuō)可用馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程（Markov Stochastic ProcessMarkov Stochastic Process）來(lái)表述。）來(lái)表述。l隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不確定的方式隨隨機(jī)過(guò)程是指某變量的值以某種不

6、確定的方式隨時(shí)間變化的過(guò)程。可分為離散型的和連續(xù)型的。時(shí)間變化的過(guò)程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。l馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類(lèi)型的隨機(jī)過(guò)程。變量馬爾可夫過(guò)程是一種特殊類(lèi)型的隨機(jī)過(guò)程。變量的當(dāng)前值與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和的當(dāng)前值與未來(lái)的預(yù)測(cè)有關(guān)，變量過(guò)去的歷史和變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。變量從過(guò)去到現(xiàn)在的演變方式與未來(lái)的預(yù)測(cè)無(wú)關(guān)。 l如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則其未來(lái)價(jià)格如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過(guò)程，則其未來(lái)價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。二、布朗運(yùn)動(dòng)二、布朗運(yùn)動(dòng) （一）（一）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（維納過(guò)程）

7、 設(shè)設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度，代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長(zhǎng)度， 代表代表變量變量z在時(shí)間在時(shí)間 內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征：具有兩種特征： 特征特征1： 和和 的關(guān)系滿(mǎn)足：的關(guān)系滿(mǎn)足： （1） 其中，其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布）中取的一的正態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。個(gè)隨機(jī)值。tztztztz標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(2) 特征特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔， 和和 的值相互獨(dú)的值相互獨(dú)立。立。 考察變量考察變量z在一段較長(zhǎng)時(shí)間在一段較長(zhǎng)時(shí)間T中的變

8、化情形，可得：中的變化情形，可得： （2） 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)，可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：時(shí)，可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： （3）tzttzTzNii1)()(dtdzt維納過(guò)程的性質(zhì)維納過(guò)程的性質(zhì)Z(T) Z(t) 也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布均值等于均值等于0方差等于方差等于T t方差可加性方差可加性為何使用布朗運(yùn)動(dòng)？正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布。利收益率近似地服從正態(tài)分布。數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征數(shù)學(xué)上可以證明，具備特征1 和特征和特征2 的維納的維納過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程，從而與弱式過(guò)程是一個(gè)馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程，

9、從而與弱式EMH 相符。相符。維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變維納過(guò)程在數(shù)學(xué)上對(duì)時(shí)間處處不可導(dǎo)和二次變分（分（ Quadratic Variation ）不為零的性質(zhì)，）不為零的性質(zhì)，與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也與股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)等性質(zhì)也是相符的。是相符的。（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)（二）普通布朗運(yùn)動(dòng) 變量變量x x的的普通布朗運(yùn)動(dòng)普通布朗運(yùn)動(dòng)： （4 4）或者x(t) = x0 + at + bz(t)adt 為確定項(xiàng)，為確定項(xiàng)，漂移率漂移率a 意味著每單位時(shí)間意味著每單位時(shí)間內(nèi)內(nèi)x 漂移漂移a ；bdz 是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì)是隨機(jī)項(xiàng)，代表著對(duì)x 的時(shí)間趨勢(shì)過(guò)程的時(shí)間

10、趨勢(shì)過(guò)程所添加的噪音，使變量所添加的噪音，使變量x 圍繞著確定趨勢(shì)上圍繞著確定趨勢(shì)上下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的下隨機(jī)波動(dòng)，且這種噪音是由維納過(guò)程的b 倍給出的，倍給出的， b2 稱(chēng)為方差率，稱(chēng)為方差率，b 稱(chēng)為波動(dòng)率稱(chēng)為波動(dòng)率。bdzadtdx三、伊藤過(guò)程與伊藤引理三、伊藤過(guò)程與伊藤引理 普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和和時(shí)間時(shí)間t的函數(shù)，可以從公式（的函數(shù)，可以從公式（4）得到）得到伊藤伊藤過(guò)程過(guò)程（Ito Process）：）： (5) 其中，其中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗

11、運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變是變量量x和和t的函數(shù)，變量的函數(shù)，變量x的漂移率為的漂移率為a，方差，方差率為率為b2。 dztxbdttxadx),(),( 若變量若變量x遵循伊藤過(guò)程，則變量遵循伊藤過(guò)程，則變量x和和t的函數(shù)的函數(shù) 也是伊藤過(guò)程也是伊藤過(guò)程* （6） -伊藤引理伊藤引理bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222),( txG三、伊藤過(guò)程與伊藤引理三、伊藤過(guò)程與伊藤引理 四、證券價(jià)格的變化過(guò)程四、證券價(jià)格的變化過(guò)程: :幾何布朗運(yùn)動(dòng)幾何布朗運(yùn)動(dòng) 證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為證券價(jià)格的變化過(guò)程可以用漂移率為SS、方差、方差率為率為 的伊藤過(guò)程來(lái)表示：的伊藤過(guò)程來(lái)

12、表示： （7 7） -幾何布朗運(yùn)動(dòng)幾何布朗運(yùn)動(dòng)兩邊同除以?xún)蛇呁許 S得：得： （8 8） 22SSdzSdtdSdzdtSdSl從（從（8）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變）可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：化值為： (9)l 也具有正態(tài)分布特征也具有正態(tài)分布特征* * * * ),(ttSSttSSSS （7） 根據(jù)伊藤引理，根據(jù)伊藤引理， （6 6）衍生證券的價(jià)格衍生證券的價(jià)格G應(yīng)遵循如下過(guò)程：應(yīng)遵循如下過(guò)程： (10)SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222例：證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過(guò)程例：證券價(jià)格自然

13、對(duì)數(shù)變化過(guò)程 令令 ，由于，由于代入式（代入式（10）: （11）* 證券價(jià)格對(duì)數(shù)證券價(jià)格對(duì)數(shù)G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，且符合正遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，且符合正態(tài)分布。態(tài)分布。* * * *SGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2),)(lnln22tTtTSST第二節(jié)第二節(jié) B-SB-S期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 布萊克布萊克- -舒爾斯微分方程的假設(shè)：舒爾斯微分方程的假設(shè)： l股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)；股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)；l允許賣(mài)空股票；允許賣(mài)空股票；l沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都可分；沒(méi)有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都可分；l在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的股票無(wú)現(xiàn)金收益；在衍生證券有效

14、期內(nèi)標(biāo)的股票無(wú)現(xiàn)金收益；l不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；l證券交易是連續(xù)的，證券價(jià)格變化也是連續(xù)的；證券交易是連續(xù)的，證券價(jià)格變化也是連續(xù)的；l在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利利率為常數(shù)。在衍生證券有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利利率為常數(shù)。 一、布萊克一、布萊克- -舒爾斯微分方程的推導(dǎo)舒爾斯微分方程的推導(dǎo) 假設(shè)證券價(jià)格假設(shè)證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)：則：則： （12） SdzSdtdSzStSS 假設(shè)假設(shè)f是依賴(lài)于是依賴(lài)于S的的衍生證券衍生證券的價(jià)格，則：的價(jià)格，則： （1313） （1414） 為了消除為了消除 ，構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證，構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證

15、券空頭和券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。令單位標(biāo)的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價(jià)值，則：代表該投資組合的價(jià)值，則： (15) (15) SdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222zSfSSff在在 時(shí)間后：時(shí)間后： （1616）將式（將式（1212）和（）和（1414）代入式（）代入式（1616），可得：），可得： （17）在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下：在沒(méi)有套利機(jī)會(huì)的條件下：把式（把式（1515）和（）和（1717）代入上式得：）代入上式得： tSSfftSSftf)21(2222trtSSffrtSSftf)()21(2222布萊克-

16、舒爾斯微分分程化簡(jiǎn)為：化簡(jiǎn)為： (18)(18) 這就是著名的布萊克這就是著名的布萊克舒爾斯微分分舒爾斯微分分程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)程，它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格格S的的所有衍生證券所有衍生證券的定價(jià)。的定價(jià)。 rfSfSSfrStf222221二、布萊克二、布萊克舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式l在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T T時(shí)刻）的期時(shí)刻）的期望值（望值（標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益）為：）為：l其現(xiàn)值為其現(xiàn)值為 （1919）l對(duì)數(shù)股票價(jià)格的分布為：對(duì)數(shù)股票價(jià)格的分布為： （2020） )0,max(XSET)0

17、 ,max()(XSEecTtTr),)(2(lnln2tTtTrSST對(duì)式（對(duì)式（19）求解：）求解：* * * * （2121） 其中，N（）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，其性質(zhì)： N（-x）=1- N（x）tTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln()()(2)(1dNXedSNctTr可以從三個(gè)角度來(lái)理解這個(gè)公式：可以從三個(gè)角度來(lái)理解這個(gè)公式：l首先，首先，N(dN(d2 2) )是在是在S ST T大于大于X X的概率，或者說(shuō)是的概率，或者說(shuō)是期權(quán)被執(zhí)行的概率，期權(quán)被執(zhí)行的概率， e e-r(T-t)-r(T-t)XN(dXN(d2

18、 2) )是是X X的風(fēng)的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 SN(dSN(d1 1)= e)= e-r(T-t)-r(T-t)S ST T N(dN(d1 1) )是是S ST T的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。l其次，其次， 是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，SNSN（d d1 1) )就是股票的市值就是股票的市值, -e, -e-r(T-t) -r(T-t) XN(dXN(d2 2) )則是則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。 )(1dNl最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)最后，從金融工程的角度來(lái)看，歐式看漲期權(quán)可以

19、分拆成或有資產(chǎn)看漲期權(quán)（可以分拆成或有資產(chǎn)看漲期權(quán)（Asset-or-noting call option）多頭和或有現(xiàn)金看漲期權(quán)）多頭和或有現(xiàn)金看漲期權(quán)（cash-or-nothing option）空頭，）空頭，SN(d1)是或是或有資產(chǎn)看漲期權(quán)的價(jià)值，有資產(chǎn)看漲期權(quán)的價(jià)值，-e-r(T-t)XN(d2)是是X份份或有現(xiàn)金看漲期權(quán)空頭的價(jià)值?；蛴鞋F(xiàn)金看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 例：假設(shè)某不支付紅利的股票的市價(jià)為例：假設(shè)某不支付紅利的股票的市價(jià)為50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為12%，該股票的年，該股票的年波動(dòng)率為波動(dòng)率為10%，求該股票的協(xié)議價(jià)格為，求該股票的協(xié)議價(jià)格為50元，期限元，期限1

20、年的歐式看漲期權(quán)和看跌年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格。期權(quán)的價(jià)格。1, 1 . 0,12. 0,50,50TrXS25. 1)(2/()/ln(21tTtTrXSd15. 112tTdd8749. 0)15. 1 ()2(8944. 0)25. 1 () 1(NdNNdN)- ()- () 1)() 1)(12)(2)(1)(dSNdNXedNXedNSSXecptTrtTrtTrC=50*0.8944-50*0.8749e-0.12=5.92SpXectTr)(P=50*(1-0.8749)-50*(1-0.8744)e-0.12=0.27習(xí)題1 1、假設(shè)某不付紅利股票價(jià)格遵循幾何布朗、假設(shè)某不付紅利股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其預(yù)期年收益率運(yùn)動(dòng)，其預(yù)期年收益率16%16%，年波動(dòng)率，年波動(dòng)率30%30%，該股票當(dāng)天收盤(pán)價(jià)為，該股票當(dāng)天收盤(pán)價(jià)為5050元，求：元，求：l 第二天收盤(pán)時(shí)的預(yù)期價(jià)格。第二天收盤(pán)時(shí)的預(yù)期價(jià)格。l 第二天收盤(pán)時(shí)股價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)差。第二天收盤(pán)時(shí)股價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)差。l 在置信度為在置信度為95%95%情況下，該股票第二天情況下，該股票第二天收盤(pán)時(shí)的價(jià)格范圍。收盤(pán)時(shí)的價(jià)格范圍。因?yàn)楣善眱r(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)因?yàn)楣善眱r(jià)