第1章 §1 平面直角坐標(biāo)系

1、.1平面直角坐標(biāo)系1.1平面直角坐標(biāo)系與曲線方程1.2平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換1.理解平面直角坐標(biāo)系的作用.重點(diǎn)2.理解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.重點(diǎn)3.理解平面直角坐標(biāo)系中直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等各種圖形的代數(shù)表示.易混點(diǎn)根底初探教材整理1平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一點(diǎn)，都有唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y與之對(duì)應(yīng)；反之，對(duì)于任意的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，都有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的.判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“1在平面直角坐標(biāo)系中，x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是0.2在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的

2、.3坐標(biāo)3,0和0,3表示同一個(gè)點(diǎn).【解析】123因?yàn)?,0在x軸上，而0,3在y軸上.【答案】123教材整理2平面直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系曲線可看作是滿足某些條件的點(diǎn)的集合或軌跡，在平面直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程fx，y0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程fx，y0的解；2以方程fx，y0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.那么，方程fx，y0叫作曲線C的方程，曲線C叫作方程fx，y0的曲線.填空：1x軸的直線方程為_(kāi).2以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的方程為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12990000】3方程2x2y21表示的曲線是_.【答案】1y02x2y213 橢

3、圓教材整理3平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)展伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，將會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響.判斷正確的打“，錯(cuò)誤的打“1假如x軸的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，圓x2y24的圖形變?yōu)闄E圓.2平移變換既不改變形狀，也不改變位置.3在伸縮變換下，直線仍然是直線.【解析】1因?yàn)閤2y24的圓的形狀變?yōu)榉匠蘺21表示的橢圓.2平移變換只改變位置，不改變形狀.3直線在平移和伸縮下仍然為直線，但方程發(fā)生了變化.【答案】123質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解惑： 小組合作型利用平面直角坐標(biāo)

4、系確定位置由甲導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對(duì)商船進(jìn)展護(hù)航.某日，甲艦在乙艦正東6千米處，丙艦在乙艦北偏西30，相距4千米.某時(shí)刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的某種求救信號(hào).由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠(yuǎn)，因此4 s后乙、丙兩艦才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km/s.假設(shè)甲艦趕赴救援，行進(jìn)的方位角應(yīng)是多少？【精彩點(diǎn)撥】此題求解的關(guān)鍵在于確定商船相對(duì)于甲艦的相對(duì)位置，因此不妨用點(diǎn)A，B，C表示甲艦、乙艦、丙艦，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出商船與甲艦的坐標(biāo)，問(wèn)題可解.【自主解答】設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船.如下圖，以直線AB為x軸，線段AB的垂直

5、平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，那么A3,0，B3,0，C5,2.|PB|PC|，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上.kBC，線段BC的中點(diǎn)D4，直線PD的方程為yx4.又|PB|PA|4，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，雙曲線方程為1x2.聯(lián)立，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為8,5.kPA.因此甲艦行進(jìn)的方位角為北偏東30.1.由于A，B，C的相對(duì)位置一定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是如何建系，將幾何位置量化，根據(jù)直線與雙曲線方程求解.2.運(yùn)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：建系設(shè)點(diǎn)列關(guān)系式或方程求解數(shù)學(xué)結(jié)果答復(fù)實(shí)際問(wèn)題.再練一題1.某荒漠上有兩個(gè)定點(diǎn)A，B，它們相距2 km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開(kāi)墾一片以AB為一條對(duì)角線的平行四邊形

6、區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長(zhǎng)為8 km.1問(wèn)農(nóng)藝園的最大面積能到達(dá)多少？2該荒漠上有一條水溝l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與AB成30的角，現(xiàn)要對(duì)整條水溝進(jìn)展加固改造，但考慮到今后農(nóng)藝園的水溝要重新改造，所以對(duì)水溝可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分暫不加固，問(wèn)：暫不加固的部分有多長(zhǎng)？【解】1設(shè)平行四邊形的另兩個(gè)頂點(diǎn)為C，D，由圍墻總長(zhǎng)為8 km，得|CA|CB|4|AB|2，由橢圓的定義知，點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a4，焦距2c2的橢圓去除落在直線AB上的兩點(diǎn).以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，那么點(diǎn)C的軌跡方程為1y0.易知點(diǎn)D也在此橢圓上，要使平行四邊形ABCD的面積

7、最大，那么C，D為此橢圓短軸的端點(diǎn)，此時(shí)，面積S2km2.2因?yàn)樾藿ㄞr(nóng)藝園的可能范圍在橢圓1y0內(nèi)，故暫不需要加固水溝的長(zhǎng)就是直線l：yx1被橢圓截得的弦長(zhǎng)，如圖.因此，由13x28x320，那么弦長(zhǎng)|x1x2|，故暫不加固的部分長(zhǎng) km.平面直角坐標(biāo)系中曲線方程確實(shí)定1橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的間隔 之和為12，求橢圓G的方程；2在邊長(zhǎng)為2的正ABC中，假設(shè)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且|PA|2|PB|2|PC|2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并畫(huà)出方程所表示的曲線.【精彩點(diǎn)撥】此題是曲線方程確實(shí)定與應(yīng)用問(wèn)題，考察建立平面直角坐標(biāo)系、數(shù)形結(jié)合思想、曲線方程的求法

8、及分析推理、計(jì)算化簡(jiǎn)技能、技巧等.解答此題中1需要根據(jù)條件用待定系數(shù)法求解；2需要先建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，用直接法求解，再根據(jù)方程斷定曲線類(lèi)型畫(huà)出其表示的曲線.【自主解答】1由設(shè)橢圓方程為1ab0，那么2a12，知a6.又離心率e，故c3.b2a2c236279.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.2以BC所在直線為x軸，BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)Px，y是軌跡上任意一點(diǎn)，又|BC|2，B1,0，C1,0，那么A0，.|PA|2|PB|2|PC|2，x2y2x12y2x12y2，化簡(jiǎn)得x2x24.又P在ABC內(nèi)，y0.P點(diǎn)的軌跡方程為x2y24y0.其曲線如下圖為

9、以0，為圓心，半徑為2的圓在x軸上半部分圓弧.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程常用的方法有：1直接法：假如題目中的條件有明顯的等量關(guān)系或者可以推出某個(gè)等量關(guān)系，即可直接求曲線的方程，步驟如下：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并用x，y表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；寫(xiě)出合適條件P的點(diǎn)M的集合PM|PM；用坐標(biāo)表示條件PM，寫(xiě)出方程fx，y0；化簡(jiǎn)方程fx，y0；檢驗(yàn)或證明中以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，假設(shè)方程的變形過(guò)程是等價(jià)的，那么可以省略.2定義法：假如動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種曲線的定義，那么可依定義寫(xiě)出軌跡方程.3代入法相關(guān)點(diǎn)法：假如動(dòng)點(diǎn)Px，y依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Qx1，y1，而Qx1，y1又在某曲線上，那么可先列出關(guān)于x

10、，y，x1，y1的方程組，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入曲線方程即為所求.再練一題2.如圖111，四邊形MNPQ是圓C的內(nèi)接等腰梯形，向量與的夾角為120，2.圖1111求圓C的方程；2求以M，N為焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P，Q的橢圓方程.【解】1建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，由題意得，CQM為正三角形.r2cos 602，圓C的半徑為2.又圓心為0,0，圓C的方程為：x2y24.2由1知M2,0，N2,0，Q1，2a|QN|QM|22，a1，c2，b2a2c22，橢圓方程為：1.探究共研型平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換探究1在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，直線變?yōu)槭裁磮D形？圓、橢圓、雙曲線和拋物

11、線呢？【提示】在平面經(jīng)過(guò)伸縮變換，直線伸縮后仍為直線；圓伸縮后可能是圓或橢圓；橢圓伸縮后可能是橢圓或圓；雙曲線伸縮后仍為雙曲線；拋物線伸縮后仍為拋物線.探究2平移變換與伸縮變換的區(qū)別是什么？【提示】平移變換區(qū)別于伸縮變換的地方就是：圖形經(jīng)過(guò)平移后只改變了位置，不會(huì)改變它的形狀.探究3在伸縮變換中，假設(shè)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍后，變換后的坐標(biāo)x，y與原坐標(biāo)x，y有什么關(guān)系？【提示】一般地，在平面直角坐標(biāo)系xOy中：使x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍k0，那么當(dāng)k1時(shí)，x軸與y軸具有一樣的單位長(zhǎng)度；即為的伸縮變換，當(dāng)k1時(shí)，相當(dāng)于x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為

12、原來(lái)的，即為的伸縮變換，當(dāng)0k1時(shí)，相當(dāng)于y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的k倍，即為的伸縮變換.在以下平面直角坐標(biāo)系中，分別作出1的圖形：1x軸與y軸具有一樣的單位長(zhǎng)度；2x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的2倍；3x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的倍.【精彩點(diǎn)撥】先按要求改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，再在新坐標(biāo)系中作出圖形.【自主解答】1建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與y軸具有一樣的單位長(zhǎng)度，那么1的圖形如圖.2假如x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，那么1的圖形如圖.3假如y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，那么1的圖

13、形如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響，此題(2)中即為的伸縮變換，此題(3)中即為的伸縮變換.再練一題3.本例中，1不變，試在以下平面直角坐標(biāo)系中，分別作出其圖形：1x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的倍；2x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的倍.【解】1假如x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，那么1的圖形如圖.2假如y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，那么1的圖形如圖.構(gòu)建體系1.曲線C的方程為yx1x5，那么以下四點(diǎn)中在曲線C上的是A.0,0B.C.1,5D.4,4【解析】將答案代入驗(yàn)證知D正確.【答案】D2.直角坐標(biāo)系中到兩坐標(biāo)軸間隔 之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是A.|x|y|1B.|xy|1C.|x|y|1D.|xy|1【解析】由題知C正確.【答案】C3.一橢圓的方程為1，假如x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的，那么該橢圓的形狀為【解析】假如y軸上單位長(zhǎng)度不變，x軸的單位長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的倍，那么方程變?yōu)閤2y24，應(yīng)