中考數(shù)學(xué)系列專題16直角三角形

1、聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解、直角三角形1.定義有一個(gè)角是直角的三角形叫作直角三角形2性質(zhì)(1 )直角三角形兩銳角互余專題16直角三角形(2)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;(3 )在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半3.判定(1 )兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形(2)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形二、勾股定理及逆定理1.勾股定理:直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊 c的平方，即：a2+b2=c2;2.勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形三、直角

2、三角形全等的判定:對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，除了有一般三角形全等的判定方法，還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊或“HL)四、互逆命題、互逆定理1.互逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，我們把風(fēng)這兩個(gè)命題叫做互逆命題.把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題2.互逆定理假設(shè)一個(gè)定理的逆命題是正確的，那么它就是這個(gè)定理的逆定理，稱這兩個(gè)定理為互逆定理名師點(diǎn)睛典例分類考點(diǎn)典例一、直角三角形的判定l上一點(diǎn)。當(dāng) APB為直角三角形時(shí)， AP=【解析】試題分析；分臥一下情況討論；(1) 在 RtAA

3、 中，/Zl=iaO* , 0.Z0 B P； P-B=3ry' . /.AP. =-AB= - X6=3；dW(2) 在 RtAA P：3 中, Z1=12Q4 3 0 Fi=QE? /.ZFi E Q =ZO F;E=6Q* ； =-AE=gcsZQ £ ?；><rr6- X 63j(3) P3B 為以 F 為切點(diǎn)的00 的切纟扎'/Zl=120o , OJWB, J.ZP=BO=ZOP3B=0O°上H0B=90“ f 枉 Kt A 0 P:B 中，二 EP, =tan Z P=O B X 3 二石 X 3=3 希；衽 Rt A A F中，A

4、PT尸廠JlG石嚴(yán)街苗(4) PR 為以衛(wèi)為切點(diǎn)的血的切線二 120" , OP-.=OA, /.ZF： AO=ZOP：A=SOs . /.ZKOA=0O° , 在 RtAO PA 中，/.AP. SanZPQ AX 3 二石 X 3二3 血.綜上，當(dāng)APE為直角三角形B寸，AP=3,或 亦,或Eijf.考點(diǎn)：分類討論思想【舉一反三】D. 1,、2, 3F列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是A. 4,5,6B. 1.5,2 , 2.5C. 2,3,4【答案】B.【解析】試題分析：由勾股主理的逆定理.只婪驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可：A.=不可"構(gòu)威直角三

5、角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；1.5-2-6.25=2.5可以枸成直角三甬形#故本選項(xiàng)正確；C、2-3-1? = 4不可以構(gòu)成直甬三甬冊(cè)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 D* 1：+J7 =3工3不可以構(gòu)咸直角三角刑，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.I應(yīng)選E考點(diǎn)：勾股定理的逆定理.考點(diǎn)典例二、直角三角形的性質(zhì)【例2】2021湖北隨州第13題如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , M N分別是AB AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BC111至點(diǎn)D,使CD虧BD,連接DM DN MN假設(shè)AB=6,貝U DN=.AXf打C1s【答案】3.【解析】試傾分析：連接CI|欄B三角砒中位纟蛙理得KN/JBC, y CDBD,可得 腑嘰 又由MN/；BC,23可得四

6、邊形加胭是平行四邊形所以DHM,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=1aB=3,即可得DW3.考點(diǎn)：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質(zhì).【舉一反三】1. 2021貴州銅仁第9題如圖，/ AOB30。，P是/ AOB平分線上一點(diǎn)， CP/ OB交OA于點(diǎn)C, PD丄OB垂足為點(diǎn) D,且PC=4 ,那么PD等于2【答案】B.C.4D.8【解析】試題分析：過(guò)點(diǎn) P作PE丄OA于點(diǎn)E, / OP是Z AOB的平分線，二PE=PD.1/ PC/ OB / PODZ OPC / PCEZ POCZ OPCZ POCZ PODZ AOB30°, / PE= PC=2 , /

7、 PD=2 .故 2選B.考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.考點(diǎn)典例三、直角三角形斜邊上的中線A. 4B 8C. 2 3 D 4 3【答案】D.【解析】試題分析：在RT扭F中ZAFB=90" , AD=DE, DF=47利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得AENDF="再由 AD=rBj AE=EC,可得DE/0C, Z/DE=ZABF30o ,所以AF=L/£=4,由勾股定理可得日口 石.應(yīng)選八考點(diǎn)：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.【舉一反三】202

8、1四川達(dá)州第 9題如圖，在 ABC中，BF平分/ ABC AF丄BF于點(diǎn)F, D為AB的中點(diǎn)，連接 DF延長(zhǎng)EF的長(zhǎng)為【答案】B.【解析】試題分析:AF丄眄磚10芮AB中庶根直竜三毎形斜邊上中線是斜邊的一半可得D* : AB=AD=BD=5 且ZABF=ZBFD,又因HF平分ZABC,可得ZCBfZDFB,即DE / BC,可判$AADEAABC,根將相似三角 形的對(duì)應(yīng)邊咸比例可求得唇巧由EF-DE-DF-S-5-3.故答秦選B 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線；平行線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì).考點(diǎn)典例四、命題【例4】2021年福建龍巖第4題以下命題是假命題的是A. 假設(shè) |a|=|b| ，

9、那么 a=bB. 兩直線平行，同位角相等C. 對(duì)頂角相等D. 假設(shè)b2- 4ac> 0，那么方程ax2+bx+c=0 a*0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根【答案】A.【解析】試題分析：選項(xiàng) A：假設(shè)a=1, b=-1，那么|a|=|b| ，但a* b,此命題為假命題；選項(xiàng)B：兩直線平行，同位角相等是真命題；選項(xiàng) C:對(duì)頂角相等是真命題；選項(xiàng)D：假設(shè)b2- 4ac > 0,那么方程ax2+bx+c=0 a* 0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根是真命題應(yīng)選A.考點(diǎn)：命題與定理【點(diǎn)睛】此題考查了命題與定理的有關(guān)問題，對(duì)于假命題舉出反例證明即可.【舉一反三】2021內(nèi)蒙古包頭第10題以下命題：假設(shè) a> b,

10、貝U a2> b2;假設(shè)a> 1,那么a- 1 0=1;兩個(gè)全 等的三角形的面積相等；四條邊相等的四邊形是菱形.其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是A. 4個(gè)B . 3個(gè)C . 2個(gè)D. 1個(gè)【答案】D.【解析】試題分析：當(dāng)a=0, b= - 1時(shí)，a2v b2,所以命題“假設(shè)a> b,那么a2> b2為假命題，其逆命題為假設(shè)a2> b2；,那么a>b "，此逆命題也是假命題，如a=- 2, b=- 1;假設(shè)a> 1,那么a- 1 0=1，此命題為真命題，它的逆命題為：假設(shè)a- 1 0=1，那么a> 1,此逆命題為假命題，因?yàn)閍- 1

11、0=1，那么a* 1;兩個(gè)全等的三角 形的面積相等，此命題為真命題，它的逆命題為面積相等的三角形全等，此逆命題為假命題；四條邊相等的四邊形是菱形， 這個(gè)命題為真命題，它的逆命題為菱形的四條邊相等，此逆命題為真命題.故答案選D.考點(diǎn)：命題與定理.課時(shí)作業(yè)能力提升一、選擇題1. 2021貴州銅仁第6題以下命題為真命題的是A.有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對(duì)頂角B.多項(xiàng)式x3 4x因式分解的結(jié)果是xx2 4C. a a a2D. 元二次方程x2 x 20無(wú)實(shí)數(shù)根【答案】D.【解析】試題分析；A,有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角不一走是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤5b.多項(xiàng)式壯園式分解的結(jié)果是汀+故此選項(xiàng)錯(cuò)誤孑C-訊=込故此選頂鉗睫

12、D. 一元二坎方程x:-r-b2 = 0, A = -4 = -7<D,故此方程無(wú)實(shí)數(shù)抿，正確.應(yīng)選D考點(diǎn)：命題與定理.2. 2021湖南岳陽(yáng)第7題以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A. 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等B. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半C. 菱形的對(duì)角線相等D. 平行四邊形是中心對(duì)稱圖形【答案】C.【解析】趣分析；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得角平分線上的點(diǎn)劃角的兩邊的距離相等，選項(xiàng)A正確j根據(jù)直角三 甬形斜邊上的中銭的性質(zhì)，可得直甬三角形斜邊上的中結(jié)等于斜邊的一半，選項(xiàng)E正確根18菱形的性質(zhì), 憂形的對(duì)甬線互相垂直，但是不一定相峯選頂f不iEffij根據(jù)中心對(duì)稱圖刑的性質(zhì)可得常

13、見的中心對(duì) 稱團(tuán)形育；平行四邊形、圓形.E方形，長(zhǎng)方形'選項(xiàng)D正確.故答累選c考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；角平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的性質(zhì).3. 2021黑龍江綏化第6題如圖，小雅家圖中點(diǎn) O處門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔圖中點(diǎn)A處在距她家北偏東 60°方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是A. 250 米B. 250 3 米C. 500 3 米D. 500 2 米3【答案】A【解析】1試題分析：由題意/ AOB90。- 60° =30°, O/=500,v AB丄OB 上 ABO90°,. AE=_A=25

14、0 米.應(yīng)選 2A.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用 -方向角問題.4. 2021四川南充第 7題如圖，在 Rt ABC中，/ A=30°, BC=1，點(diǎn)D, E分別是直角邊 BC AC的中點(diǎn),A. 1B. 2C. 3D. 1+ . 3【答案】A【解析】試題分析：如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°,Z A=30°,a AB=2BC=2.又點(diǎn) D E 分別是 AC. BC的中1點(diǎn)， DE> ACB的中位線， DE=AB=1 .應(yīng)選 A.2考點(diǎn)：三角形中位線定理；含30度角的直角三角形.5. 2021廣東廣州第 7題如圖2,三角形 ABC,AB=10,AC=8,B

15、C=6,DE是AC的垂直平分線， DE交AB于D,連接CD CD=A、3B 、4 C 、4.8D、5CB【答案】D.【解析】試題分析:已卻AB=10, 0 心豐鳩勾股定理的逆走理可労癥AdC為直角三角形又因DE為曲邊的_ 1中垂線，可得DE丄帆AE=CE=4;所以DE為三角形ABC的中位線即可得D2尹匚瑕再根據(jù)勾臉定理求 出CDF,故答秦選D.考點(diǎn)：勾股定理及逆定理；中位線定理；中垂線的性質(zhì)二、填空題6. 2021黑龍江哈爾濱第17題在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , AC=3點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn)， 連接AP,貝U AP的長(zhǎng)為.【答案】 J3或10 .【解析】試題分析：如圖 1

16、,vZ ACB=90 , AC=BC=3 / PBBC=1,二 CP=2,. AP JAC2 PC2 J133，如圖 2, / ACB=90 , AC=BC=3 ： PC=-BC=1, a AP 7ACPC2021 湖北武漢第16題如圖，在四邊形ABC中,Z ABG 90°,AB= 3,BC= 4, CD= 10,DA=5、5, "0 , AP的長(zhǎng)為 Ji3 或 .3考點(diǎn)：1分類思想；2等腰直角三角形.【答案】2 41.【解析】試題廿析：連接AC,過(guò)點(diǎn)®作比邊上的高交血延長(zhǎng)線于點(diǎn)風(fēng)在骯磁中，叱4見二心二購(gòu)二5,又&尸10a二用，可知片切為直角三角形，且三月

17、切二網(wǎng)，易證 ADCsAtw,那么DK=8,BD- J(4+E)： + A 二2航.考點(diǎn)：相似三角形判定及性質(zhì)；勾股定理8.在厶 ABC中，/ B=30°, AB=12, AG=6,貝U BO【答案】6,3 .【解析】 試題分析：/ B=30°, AB=12, AG6,.A ABC是直角三角形，二 BO . AB2 AC2 = -122 62 = 63 ,故答案為：6.3 .考點(diǎn)：1.含30度角的直角三角形；2.勾股定理.9.如圖，在 Rt ABC中，/ ABC=90 , AB=3, AC=5點(diǎn)E在BC上，將 ABC沿 AE折疊，使點(diǎn) B落在 AC邊上的點(diǎn)B'處，貝

18、U BE的長(zhǎng)為 3【答案】3 .2【解析】試題分析：T在 RtAAEC 中；ZAEC=90° ,.SC = -J.4C2 - AE1 =4 .由折益的性質(zhì)得：; AB=ABy ,設(shè) BE=x 那么 E=Xj CE=4-=AC-AB=2;在KtAB?旣中肝E：+B? C'=EC即J十才二(4-x) 解得：滬？.-"BE的長(zhǎng)為扌考點(diǎn)：1.折疊的性質(zhì)；2.勾股定理；3.方程思想的應(yīng)用.10. ( 2021福建莆田第16題) 魏朝時(shí)期，劉徽利用以下圖通過(guò)“以盈補(bǔ)虛，出入相補(bǔ)的方法，即“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，證明了勾股定理假設(shè)圖中BF= 1, CF

19、= 2,貝U AE的長(zhǎng)為【答案】3.10 【解析】試題分析:= CF=2f:.AABF£iECFr :.AB C£=3Z: FC, /3:C£=l：芬二停旺：DE=3+29,二衛(wèi)庚JAD)+DE：二+b二3頂故答秦拘：315考點(diǎn)：勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì).14題)如圖，在 Rt ABC中，E是斜邊 AB的中點(diǎn)，假設(shè) AB=10,貝U CE 【答案】5.【解析】試題分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CE=1 AB=5.2考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線.三、解答題12. (2021貴州貴陽(yáng)第18題)(10分)如圖，點(diǎn) E正方形ABCD外一點(diǎn)，點(diǎn)

20、F是線段AE上一點(diǎn)， EBF是 等腰直角三角形，其中/ EBf=90°,連接CE CF.(1) 求證： ABFA CBE(2) 判斷 CEF的形狀，并說(shuō)明理由.E【答案】(1)證明見解析；(2)A CEF是直角三角形.【解析】試題分析；1由四邊形裁e杲正方形可得出衛(wèi)能C3,厶,再由8F是等牘直角三角形可得 出冊(cè)二貯，通過(guò)角的計(jì)算可得出3QCBE,利用全等三甬形的判定赳里£45即可證出心J5F望厶晦;根據(jù)百旨F是等腰直角三角形可得出4陸岱E,通過(guò)角的計(jì)算可WdlZAlJ?0 ,再根據(jù)全等 三甬刑的性貢可得出公劉，通過(guò)角的計(jì)算即可得出，從而得出ACEF罡直角三 角形.試題解析：

21、證明：丁四邊形站是正方形,5畑, VAZ57是等腥直甬三角形其中停"丫、方?jīng)QH巴二乙NC-NC刃歸二厶4昭三仙匚在A4RF和中,乙摘莊ZdE, 0倍£匚 /.AACSS £!?.解；是直角三角形理由如下；'/A£5F是等膻直角三角形，.昭Z?齡4刖 打乙2府列昶"-Z5F=B5°，又TAF箜CBE, 上血*厶卩滬13丁 , /.ZCZC-ZBS* -45a =904丿二尸是直角三角形.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.13. 2021湖北襄陽(yáng)第19題本小題總分值6分如圖，在 ABC中.AD平分/ BAC且BD=CD DEL AB于點(diǎn)E, DF1 AC于點(diǎn)F.1求證：ABAC假設(shè) AD=2 .、3，/