例談幾何中的最短路線問(wèn)題

1、例談幾何中的最短路線問(wèn)題武安市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉保鋒幾何中的最短路線問(wèn)題是中考熱點(diǎn)之一，往往與兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、軸對(duì)稱(chēng)、勾股定理息息相關(guān)。現(xiàn)舉例分析如下：一、兩點(diǎn)之間，線段最短。如圖：一輛汽車(chē)在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車(chē)行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之和最短？析：連接MN，線段MN與直線AB的交點(diǎn)P4即為所求。二、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短。 一輛汽車(chē)在直線公路AB上由A向B行駛，M、N分別表示位于公路AB兩側(cè)的村莊，當(dāng)汽車(chē)行駛到什么位置時(shí)距村莊M最近？行駛到什么位置時(shí)距村莊N最近？析：分別過(guò)M、N兩點(diǎn)向直線AB

2、做垂線段，垂足分別是P1、P2，P1、P2即為所求。三、兩點(diǎn)之間，線段最短與軸對(duì)稱(chēng)相結(jié)合；一輛汽車(chē)在直線公路AB上由A向B行駛，若村莊M、N在公路AB的同側(cè)，當(dāng)汽車(chē)行駛到什么位置時(shí)，到村莊M、N的距離之和最短？析：過(guò)N點(diǎn)，做直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接MN，線段MN與直線AB的交點(diǎn)P5，P5即為所求。變式：如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷。請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。析：過(guò)A點(diǎn)做關(guān)于草地MN對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，過(guò)B點(diǎn)做關(guān)于河L對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接AB，與草地MN交于P1，與河L交于P2，順次連接A、P1、P2、B，即為所求。四、兩點(diǎn)之間，線段

3、最短與勾股定理相結(jié)合。（1）臺(tái)階問(wèn)題 如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=cm（2）圓柱問(wèn)題 有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少？析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=m變式1：有一圓柱形油罐，已知油罐周長(zhǎng)是12m，高AB是5m，要從點(diǎn)A處開(kāi)始繞油罐一周建造梯子，正好到達(dá)A點(diǎn)的正上方B處，問(wèn)梯子最短有多長(zhǎng)？ABABc析

4、：展開(kāi)圖如圖所示，AB=m變式2： 桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高為12厘米，底面周長(zhǎng)18厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從桌上爬至杯子外壁，當(dāng)它正好爬至蜜糖相對(duì)方向離桌面3厘米的B處時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問(wèn)小蟲(chóng)至少爬多少厘米才能到達(dá)蜜糖所在的位置。析：展開(kāi)圖如圖所示，做A點(diǎn)關(guān)于杯口的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A。則BA=厘米（3）正方體問(wèn)題 如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距離是（ ）. （A）3 （B） （C）2 （D）1析：展開(kāi)圖如圖所示，AB=（4）長(zhǎng)方體問(wèn)題 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？析：展