第九章 第8節(jié)

1、.第8節(jié)曲線與方程最新考綱1.理解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2.理解解析幾何的根本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；3.會(huì)根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程知 識(shí) 梳 理1曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C看作點(diǎn)的集合或合適某種條件的點(diǎn)的軌跡上點(diǎn)的坐標(biāo)與一個(gè)二元方程fx，y0的實(shí)數(shù)解滿足如下關(guān)系：1曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；2以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟1建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系2設(shè)點(diǎn)設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)Px，y3列式列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式4代換依條件式的特點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為

2、x，y的方程式，并化簡(jiǎn)5證明證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3兩曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為F1x，y0，曲線C2的方程為F2x，y0，那么C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的實(shí)數(shù)解假設(shè)此方程組無解，那么兩曲線無交點(diǎn)常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒求軌跡方程的常用方法1直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式兩點(diǎn)間隔 公式、點(diǎn)到直線間隔 公式、夾角公式等進(jìn)展整理、化簡(jiǎn)，即把這種關(guān)系“翻譯成含x，y的等式就得到曲線的軌跡方程2定義法：假設(shè)動(dòng)點(diǎn)軌跡滿足曲線的定義，可先設(shè)定方程，再確定其中的根本量，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程3相關(guān)點(diǎn)法：有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨

3、著另一動(dòng)點(diǎn)稱之為相關(guān)點(diǎn)而運(yùn)動(dòng)的，假如相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程診 斷 自 測(cè)1考慮辨析在括號(hào)內(nèi)打“或“×1fx0，y00是點(diǎn)Px0，y0在曲線fx，y0上的充要條件2方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線3動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的4方程y與xy2表示同一曲線解析對(duì)于2，由方程得xxy10，即x0或xy10，所以方程表示兩條直線，錯(cuò)誤；對(duì)于3，前者表示方程，后者表示曲線，錯(cuò)誤；對(duì)于4，曲線y是曲線xy2的一部分，錯(cuò)誤答案12×3×4×2命題“曲線C上

4、的點(diǎn)的坐標(biāo)是方程fx，y0的解是正確的，那么以下命題中正確的選項(xiàng)是A滿足方程fx，y0的點(diǎn)都在曲線C上B方程fx，y0是曲線C的方程C方程fx，y0所表示的曲線不一定是曲線CD以上說法都正確解析曲線C可能只是方程fx，y0所表示的曲線的一部分，因此答案C正確答案C3M1，0，N1，0，|PM|PN|2，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A雙曲線 B雙曲線左支C一條射線 D雙曲線右支解析由于|PM|PN|MN|，所以D不正確，應(yīng)為以N為端點(diǎn)，沿x軸正向的一條射線答案C4M2，0，N2，0，那么以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是_解析連接OP，那么|OP|2，P點(diǎn)軌跡是去掉M，N兩點(diǎn)的圓，方程為x2

5、y24x±2答案x2y24x±25選修21P35例1改編曲線C：xy2上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的間隔 之積為_解析曲線xy2上任取一點(diǎn)x0，y0，那么x0y02，該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的間隔 之積為|x0|y0|x0y0|2.答案262019·紹興一中適應(yīng)性檢測(cè)設(shè)定點(diǎn)F10，3，F(xiàn)20，3，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PF1|PF2|aa>0，1當(dāng)a3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是_；2當(dāng)a3時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是_解析a26a>01當(dāng)a3時(shí)，a6，此時(shí)|PF1|PF2|F1F2|，P點(diǎn)的軌跡為線段F1F2，2當(dāng)a3，a>0時(shí)，|PF1|PF2|>|F1F2|.由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡為

6、橢圓答案1線段F1F22橢圓考點(diǎn)一直接法求軌跡方程【例1】 2019·義烏模擬動(dòng)圓過定點(diǎn)A4，0，且在y軸上截得弦MN的長為8.1求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；2點(diǎn)B1，0，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，假設(shè)x軸是PBQ的角平分線，證明：直線l過定點(diǎn)1解如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1x，y，由題意，|O1A|O1M|，當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1HMN交MN于H，那么H是MN的中點(diǎn)|O1M|，又|O1A|，化簡(jiǎn)得y28xx0當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)0，0也滿足方程y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y28x.2證明由題意，設(shè)直線l的方程為ykxbk0，

7、Px1，y1，Qx2，y2，將ykxb代入y28x中，得k2x22bk8xb20.其中32kb64>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2，x1x2，因?yàn)閤軸是PBQ的角平分線，所以，即y1x21y2x110，kx1bx21kx2bx110，2kx1x2bkx1x22b0將，代入得2kb2kb82bk2k2b0，kb，此時(shí)>0，直線l的方程為ykx1，即直線l過定點(diǎn)1，0規(guī)律方法利用直接法求軌跡方程1利用直接法求解軌跡方程的關(guān)鍵是根據(jù)條件準(zhǔn)確列出方程，然后進(jìn)展化簡(jiǎn)2運(yùn)用直接法應(yīng)注意的問題在用直接法求軌跡方程時(shí)，在化簡(jiǎn)的過程中，有時(shí)破壞了方程的同解性，此時(shí)就要補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或刪除多余的點(diǎn)，這

8、是不能無視的假設(shè)方程的化簡(jiǎn)過程是恒等變形，那么最后的驗(yàn)證可以省略【訓(xùn)練1】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A1，1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_解析因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A1，1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為1，1設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，y，由題意得·，化簡(jiǎn)得x23y24x±1故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x23y24x±1答案x23y24x±1考點(diǎn)二定義法求軌跡方程【例2】 兩個(gè)定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|4，動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明軌

9、跡是何種曲線解如下圖，以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系由|O1O2|4，得O12，0，O22，0設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，那么由動(dòng)圓M與圓O1內(nèi)切，有|MO1|r1；由動(dòng)圓M與圓O2外切，有|MO2|r2.|MO2|MO1|3|O1O2|4.點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點(diǎn)M的軌跡方程為1.規(guī)律方法1求軌跡方程時(shí)，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，那么可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程2理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵3利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完好的

10、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，假如不是完好的曲線，那么應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)展限制【訓(xùn)練2】 圓M：x12y21，圓N：x12y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程解由得圓M的圓心為M1，0，半徑r11；圓N的圓心為N1，0，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為Px，y，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|Rr1r2Rr1r24|MN|2.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓左頂點(diǎn)除外，其方程為1x2考點(diǎn)三相關(guān)點(diǎn)法代入法求軌跡方程【例3】 如圖，動(dòng)圓C1：x2y2t2，1t3，與橢圓C2：y21相交于A，B

11、，C，D四點(diǎn)點(diǎn)A1，A2分別為C2的左、右頂點(diǎn)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程解由橢圓C2：y21，知A13，0，A23，0設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x0，y0；由曲線的對(duì)稱性，得Bx0，y0，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x，y，直線AA1的方程為yx3直線A2B的方程為yx3由相乘得y2x29又點(diǎn)Ax0，y0在橢圓C2上，故y1.將代入得y21x3，y0因此點(diǎn)M的軌跡方程為y21x3，y0規(guī)律方法“相關(guān)點(diǎn)法的根本步驟：1設(shè)點(diǎn)：設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為x0，y0；2求關(guān)系式：求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式3代換：將上述關(guān)系式代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的曲線方程，便可得到所求被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【訓(xùn)練3】 F1，F(xiàn)2分別

12、為橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，那么PF1F2的重心G的軌跡方程為A.1y0B.y21y0C.3y21y0Dx21y0解析依題意知F11，0，F(xiàn)21，0，設(shè)Px0，y0，Gx，y，那么由三角形重心坐標(biāo)關(guān)系可得即代入1，得重心G的軌跡方程為3y21y0答案C根底穩(wěn)固題組一、選擇題12019·嘉興一中質(zhì)檢假設(shè)方程x21a是常數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是A任意實(shí)數(shù)a方程表示橢圓B存在實(shí)數(shù)a方程表示橢圓C任意實(shí)數(shù)a方程表示雙曲線D存在實(shí)數(shù)a方程表示拋物線解析當(dāng)a>0且a1時(shí)，方程表示橢圓，應(yīng)選B.答案B2方程2x3y110表示的曲線是A兩條直線 B兩條射線C兩條線段 D

13、一條直線和一條射線解析原方程可化為或10，即2x3y10x3或x4，故原方程表示的曲線是一條直線和一條射線答案D3設(shè)點(diǎn)A為圓x12y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，那么點(diǎn)P的軌跡方程是Ay22x Bx12y24Cy22x Dx12y22解析如圖，設(shè)Px，y，圓心為M1，0，連接MA，那么MAPA，且|MA|1，又|PA|1，|PM|，即|PM|22，x12y22.答案D4設(shè)圓x12y225的圓心為C，A1，0是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，那么M的軌跡方程為A.1 B.1C.1 D.1解析M為AQ的垂直平分線上一點(diǎn)，那么|AM|MQ|，|MC

14、|MA|MC|MQ|CQ|5|AC|2，故M的軌跡是以定點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓a，c1，那么b2a2c2，M的軌跡方程為1.答案D5平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)A3，1，B1，3，假設(shè)點(diǎn)C滿足12O為原點(diǎn)，其中1，2R，且121，那么點(diǎn)C的軌跡是A直線 B橢圓C圓 D雙曲線解析設(shè)Cx，y，因?yàn)?2，所以x，y13，121，3，即解得又121，所以1，即x2y5 ，所以點(diǎn)C的軌跡為直線，應(yīng)選A.答案A二、填空題6點(diǎn)A1，0，直線l：y2x4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，假設(shè)，那么點(diǎn)P的軌跡方程為_解析設(shè)Px，y，Rx1，y1，由知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，即點(diǎn)Rx1，y1在直線y2x4上，y12x14，y22x

15、4，即y2x.答案y2x72019·臺(tái)州調(diào)考兩定點(diǎn)A2，0，B1，0，假如動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|2|PB|，那么點(diǎn)P的軌跡方程是_；軌跡所包圍的圖形的面積為_解析設(shè)Px，y，由|PA|2|PB|，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的軌跡為以2，0為圓心，半徑為2的圓即軌跡所包圍的面積等于4.答案x2y24x048在ABC中，|4，ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且|2，那么頂點(diǎn)A的軌跡方程為_解析以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，中垂線為y軸建立如下圖的坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個(gè)切點(diǎn)那么|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.|AB|AC|2|BC|4，點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲

16、線的右支y0且a，c2，b，軌跡方程為1x答案1x三、解答題9設(shè)0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1，1，點(diǎn)B在拋物線yx2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q滿足，經(jīng)過點(diǎn)Q與x軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的軌跡方程解由知Q，M，P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)Px，y，Qx，y0，Mx，x2，那么x2y0yx2，即y01x2y.再設(shè)Bx1，y1，由，即xx1，y0y11x，1y0，解得將式代入式，消去y0，得又點(diǎn)B在拋物線yx2上，所以y1x，再將式代入y1x，得12x21y1x2，即12x21y12x221x2，所以21x1y10.因0，兩邊同除以1，得2xy10.故所求點(diǎn)P的軌跡方程為y2x1.10201

17、9·全國卷拋物線C：y22x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)1假設(shè)F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：ARFQ；2假設(shè)PQF的面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程解由題設(shè)F，設(shè)l1：ya，l2：yb，那么ab0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點(diǎn)的直線為l，那么l的方程為2xabyab0.1證明由于F在線段AB上，故1ab0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，那么k1bk2.所以 ARFQ.2解設(shè)過AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Dx1，0，那么SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由題設(shè)可得|ba|，所以x

18、11，x10舍去設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為Ex，y當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kABkDE可得x1而y，所以y2x1x1當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合所以，所求軌跡方程為y2x1.才能提升題組11兩點(diǎn)M2，0，N2，0，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|·|·0，那么動(dòng)點(diǎn)Px，y的軌跡方程為Ay28x By28xCy24x Dy24x解析4，0，x2，y，x2，y|4，|，·4x2根據(jù)條件得442x整理得y28x.點(diǎn)P的軌跡方程為y28x.答案B12ABC的頂點(diǎn)A5，0，B5，0，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，那么頂點(diǎn)C的軌跡方程是A.1 B.1C.1x>3 D.1

19、x>4解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826<10|AB|，根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的右支y0，方程為1x>3答案C13如圖，P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_解析由于，又22，設(shè)Qx，y，那么，即P點(diǎn)坐標(biāo)為，又P在橢圓上，那么有1，即1.答案1142019·溫州十校模擬點(diǎn)C1，0，點(diǎn)A，B是O：x2y29上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足·0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)1求點(diǎn)P的軌跡T的方程；2試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線x1的間隔 恰好等于到點(diǎn)C的間隔 ？假設(shè)存在，求出這樣的點(diǎn)的