雙曲線簡單幾何性質(zhì)

1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 方正一中 馬云成 教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線等幾何性質(zhì)。用雙曲線的方程去研究其幾何性質(zhì)，進(jìn)一步反應(yīng)了解析幾何的特點(diǎn)，并用圖像幫助理解雙曲線的幾何性質(zhì)，解決一些相關(guān)問題。能力目標(biāo)：通過類比橢圓的簡單幾何性質(zhì)的方法來研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，在老師引導(dǎo)下讓學(xué)生積極討論、歸納，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、研究能力，增強(qiáng)他們的自信心。情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動的、變化的觀點(diǎn)分析理解事物。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：漸近線的求法及理解。教學(xué)流程：(一)創(chuàng)設(shè)情境我們知道，橢圓和雙曲線同屬于一類-都為圓錐曲線，那么研究

2、的方法方式應(yīng)該是大同小異的。類比橢圓，我們今天一起來研究一下雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。 T:為了能夠?qū)﹄p曲線的簡單幾何性質(zhì)有一個(gè)更為全面的認(rèn)識，首先來復(fù)習(xí)一下前面所學(xué)的只是和內(nèi)容。T:雙曲線有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程？T:分焦點(diǎn)在軸和焦點(diǎn)在軸上兩種情況。T:當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的大致圖像呈現(xiàn)為這樣一種趨勢吧！ T:再來回想一下，橢圓我們研究了它的哪些焦點(diǎn)幾何性質(zhì)?。?T, S)研究了范圍，對稱性，頂點(diǎn)以及離心率四個(gè)方面的性質(zhì)。T:類比橢圓，你認(rèn)為應(yīng)該研究雙曲線的哪些性質(zhì)？應(yīng)如何研究這些性質(zhì)？（二）新課講解T:在沒有辦法畫出雙曲線較為精確的圖像之前，我們只能夠利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及這個(gè)草圖來研究雙曲線的幾何性質(zhì)

3、T:不妨以焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程為例，。1范圍：T:由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即，所以或，不難發(fā)現(xiàn)：|Y|隨|x|的增大而增大。這說明雙曲線應(yīng)始終分居在直線x=a和x=-a的外側(cè)并無限伸展。而在（-a， a）之間沒有圖象，這與橢圓是封閉曲線有很大的差別。2.對稱性：T:請同學(xué)們觀察一下這個(gè)草圖，它具不具有對稱性啊 ？給我們直觀上的感覺它應(yīng)該是一個(gè)關(guān)于對稱軸和原點(diǎn)對稱的吧？T:那該怎樣來驗(yàn)證它呢T:要證明它關(guān)于對稱軸和原點(diǎn)對稱，只需要考察雙曲線上任意一點(diǎn)（x ，y）關(guān)于對稱軸和原點(diǎn)對稱對稱的點(diǎn)是否在標(biāo)準(zhǔn)方程上即可。T:因此，只需考察點(diǎn)（x，-y）（-x，y）（-x，-y）。T:請同學(xué)們自己驗(yàn)證這些點(diǎn)滿步

4、滿足標(biāo)準(zhǔn)方程？T:不難發(fā)現(xiàn)，它們都是滿足標(biāo)準(zhǔn)方程的，在根據(jù)點(diǎn)（x ，y）的任意性，進(jìn)而說明，雙曲線關(guān)于對稱軸和原點(diǎn)對稱。T:其中坐標(biāo)軸（軸、軸）是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對稱中心.雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心.3頂點(diǎn)T:觀察圖形，雙曲線和對稱軸x軸有 交點(diǎn)吧？設(shè)為A1 ,A2。.在橢圓里，我們把橢圓與對稱軸的交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)。在這里我們?nèi)匀话央p曲線與對稱軸x軸的交點(diǎn)A1 ,A2.叫做雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)。T:那么坐標(biāo)應(yīng)為多少？T:只需將標(biāo)準(zhǔn)方程中，令得 即可，故它與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，我們把雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段叫做雙曲線的實(shí)軸，把實(shí)軸在長度叫做雙曲線的實(shí)軸長，因此，實(shí)軸長是2.

5、而把實(shí)軸長的一半.叫做實(shí)半軸長。T:對于方程而言，令得，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，說明雙曲線和軸沒有交點(diǎn)。但我們?nèi)匀话严旅鎯蓚€(gè)特殊點(diǎn)做在y軸上，由于這兩個(gè)點(diǎn)并不是雙曲線與對稱軸y軸的交點(diǎn)，因此，我們不能把這兩個(gè)點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn)。但這兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛軸，虛軸長是，把虛軸長的一半b叫做雙曲線的虛半軸長。T:在這里值得注意的是，應(yīng)該與橢圓完全區(qū)分開來。雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有4個(gè)頂點(diǎn)，更不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆 T:以上三個(gè)性質(zhì)，橢圓和雙曲線都是具有的。對于橢圓來說，學(xué)了這三個(gè)性質(zhì)之后就可以畫出任意標(biāo)準(zhǔn)方程的草圖了，但雙曲線僅靠這三個(gè)性質(zhì)是不能夠較為

6、簡單，快捷的畫出他的草圖的。這是為什么呢？在性質(zhì)1里說了，|Y|隨|x|的增大而增大，這種變化趨勢有多快？有沒有個(gè)限制的條件？是|x|變化較大時(shí)，|y|才很大；還是|x|變化較小時(shí)，|y|就很大？知不知道??？為了尋求這個(gè)條件，我們一起來看一下雙曲線具有而橢圓不具有的一個(gè)幾何性質(zhì).漸近線4漸近線T:過雙曲線的兩頂點(diǎn)，作軸的平行線，經(jīng)過作軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形 矩形的兩條對角線所在直線方程是。T:下面我們就要來說明一個(gè)事實(shí)，那就是板書：隨著|x|的無限增大，雙曲線無限接近直線T:也就是要證明隨著雙曲線各支向外無限伸展，雙曲線逐漸接近直線。T:為了證明的方便。我們只證明第一象限的情況，其它

7、象限可以利用其對稱性加以說明。T:首先畫出第一象限的圖像T:對于第一象限而言“無限接近”包含了兩個(gè)方面的含義：第一，雙曲線始終在直線的下方；第二，在無窮遠(yuǎn)處，雙曲線上的點(diǎn)到直線的距離無限的接近于0.因此，證明也要從這么兩個(gè)方面入手。證明過程（首先來做一下交點(diǎn)的理論分析。在x軸的無窮遠(yuǎn)處任做一條直線平行于y軸T:這也意味著在第一象限雙曲線圖像永遠(yuǎn)在的圖像的下方隨著的增大而無限靠近，其它象限可以利用其對稱性加以說明。我們把這兩條直線稱為雙曲線的漸近線，這是圓錐曲線中雙曲線所特有的幾何性質(zhì).：漸近線的求法： T:或：等軸雙曲線：T:當(dāng)時(shí) 漸近線為：。實(shí)軸和虛軸等長，我們把這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線

8、（結(jié)合圖形說明：時(shí)，雙曲線方程變成(或，它的實(shí)軸和虛軸都等于2a(2b)，這時(shí)直線圍成正方形，漸近線方程為 它們互相垂直且平分雙曲線的實(shí)軸和虛軸所成的角)：漸近線的作用： T:（1）可以幫助我們掌握雙曲線的變化趨勢。（2）幫助我們做草圖（補(bǔ)充說明做法）。（三）例題講解：例1：求雙曲線的頂點(diǎn)，實(shí)半軸長，虛半軸長漸近線并作簡圖。（分析：此方程不是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式） 解：雙曲線方程為，所以a=4，b=3：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），（-3，0），實(shí)軸長為2a=8，虛軸長為2b=6，漸近線方程為。 (四)小結(jié)：1.本堂課的主要內(nèi)容為：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸時(shí)的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線方程、漸近