第2章 2.1 隨機變量及其概率分布

1、.2.1隨機變量及其概率分布1理解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，理解分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要性，會求某些簡單離散型隨機變量的分布列重點、難點2掌握離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，掌握兩點分布的特征重點根底·初探教材整理1隨機變量閱讀教材P49“例1以上部分，完成以下問題假如隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量通常用大寫拉丁字母X，Y，Z或小寫希臘字母，等表示判斷正確的打“，錯誤的打“×1隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個2在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)為隨機變量3隨機變量是用來表示不同試驗結(jié)果的量4在擲一枚質(zhì)地均勻

2、的骰子試驗中，“出現(xiàn)的點數(shù)是一個隨機變量，它有6個取值【解析】1因為隨機變量的每一個取值，均代表一個試驗結(jié)果，試驗結(jié)果有限個，隨機變量的取值就有有限個，試驗結(jié)果有無限個，隨機變量的取值就有無限個2因為擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果是正面向上或反面向上，以一個標準如正面向上的次數(shù)來描繪這一隨機試驗，那么正面向上的次數(shù)就是隨機變量，的取值是0,1.3因為由隨機變量的定義可知，該說法正確4因為擲一枚質(zhì)地均勻的骰子試驗中，所有可能結(jié)果有6個，故“出現(xiàn)的點數(shù)這一隨機變量的取值為6個【答案】1234教材整理2概率分布列閱讀教材P50P51“例2以上部分，完成以下問題假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是x

3、1，x2，xn，且PXxipi，i1,2，n，那么稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列稱表Xx1x2xnPp1p2pn為隨機變量X的概率分布表，它和都叫做隨機變量X的概率分布顯然，這里的pii1,2，n滿足條件：pi0i1,2，n；p1p2pn1.判斷正確的打“，錯誤的打“×1在概率分布列中，每一個可能值對應(yīng)的概率可以為任意的實數(shù)2概率分布列中每個隨機變量的取值對應(yīng)的概率都相等3在概率分布列中，所有概率之和為1.【解析】1×因為在概率分布列中每一個可能值對應(yīng)隨機事件的概率均在0,1范圍內(nèi)2×因為分布列中的每個隨機變量能代表的隨機事件，并非都是等可能發(fā)生的事

4、件3由分布列的性質(zhì)可知，該說法正確【答案】1×2×3教材整理3兩點分布閱讀教材P51，完成以下問題假如隨機變量X的分布表為X10Ppq其中0<p<1，q1p，這一類分布稱為0­1分布或兩點分布，并記為X0­1分布或X兩點分布設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X描繪一次試驗成功與否記X0為試驗失敗，記X1為試驗成功，那么PX0等于_【解析】設(shè)試驗失敗的概率為p，那么2pp1，p.【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型隨機變量的概

5、念 判斷以下各個量，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由1北京國際機場候機廳中2018年5月1日的旅客數(shù)量；22018年5月1日至10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；32018年6月1日濟南到北京的某次列車到北京站的時間；4體積為1 000 cm3的球的半徑長【精彩點撥】利用隨機變量的定義判斷【自主解答】1旅客人數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨機變量2所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2，出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的，因此是隨機變量3列車到達的時間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值，是隨機的，因此是隨機變量4球的體積為1 000 cm3時，球的半徑為定值，不是隨機變量隨機變量的辨析方法1隨機試驗

6、的結(jié)果具有可變性，即每次試驗對應(yīng)的結(jié)果不盡一樣2隨機試驗的結(jié)果具有確定性，即每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果假如一個隨機試驗的結(jié)果對應(yīng)的變量具有以上兩點，那么該變量即為隨機變量再練一題11以下變量中，是隨機變量的是_填上所有正確的序號某人擲硬幣1次，正面向上的次數(shù)；某音樂網(wǎng)站歌曲?小蘋果?每天被點播的次數(shù)；標準大氣壓下冰水混合物的溫度；你每天早晨起床的時間2一個口袋中裝有10個紅球，5個白球，從中任取4個球，其中所含紅球的個數(shù)為X，那么X的可能取值構(gòu)成集合_事件Xk表示取出_個紅球，_個白球，k0,1,2,3,4.【解析】1中每個事件的發(fā)

7、生是隨機的，具有可變性，故是隨機變量；標準大氣壓下冰水混合物的溫度為0 ，是必然的，不具有隨機性2由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,4.Xk表示取出的4個球中含k個紅球，4k個白球【答案】120,1,2,3,4k4k隨機變量的分布列及應(yīng)用一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5，在袋中同時取3只，以表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量的概率分布【精彩點撥】由本例中的取球方式可知，隨機變量與球的順序無關(guān)，其中球上的最大號碼只有可能是3,4,5，可以利用組合的方法計算其概率【自主解答】隨機變量的可能取值為3,4,5.當(dāng)3時，即取出的三只球中最大號碼為3，那么其他兩只球的編號只能是1

8、,2，故有P3；當(dāng)4時，即取出的三只球中最大號碼為4，那么其他兩只球只能在編號為1,2,3的3只球中取2只，故有P4；當(dāng)5時，即取出的三只球中最大號碼為5，那么其他兩只球只能在編號為1,2,3,4的4只球中取2只，故有P5.因此，的分布列為345P利用分布列及其性質(zhì)解題時要注意以下兩個問題：(1)X的各個取值表示的事件是互斥的.(2)不僅要注意1，而且要注意pi0，i1，2，n.再練一題2設(shè)隨機變量的概率分布為Pakk1,2,3,4,5求：1常數(shù)a的值；2P；3P.【解】題目所給的的概率分布表為Pa2a3a4a5a1由a2a3a4a5a1，得a.2PPPP或P1P1.3因為<<，所

9、以，.故PPPPa2a3a6a6×.探究共研型隨機變量的可能取值及試驗結(jié)果探究1拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種結(jié)果這種試驗結(jié)果能用數(shù)字表示嗎？【提示】可以用數(shù)字1和0分別表示正面向上和反面向上探究2在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗數(shù)為X，那么X可取哪些數(shù)字？【提示】X0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.探究3拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)向上的點數(shù)為，那么“4表示的隨機事件是什么？【提示】“4表示出現(xiàn)的點數(shù)為4點，5點，6點寫出以下隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值和所表示的隨機試驗的結(jié)果1袋中有大小一樣的紅球10個，白球5個，從袋中每次任

10、取1個球，直到取出的球是白球為止，所需要的取球次數(shù)；2從標有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和【精彩點撥】【自主解答】1設(shè)所需的取球次數(shù)為X，那么X1,2,3,4，10,11，Xi表示前i1次取到紅球，第i次取到白球，這里i1,2，11.2設(shè)所取卡片上的數(shù)字和為X，那么X3,4,5，11.X3，表示“取出標有1,2的兩張卡片；X4，表示“取出標有1,3的兩張卡片；X5，表示“取出標有2,3或標有1,4的兩張卡片；X6，表示“取出標有2,4或1,5的兩張卡片；X7，表示“取出標有3,4或2,5或1,6的兩張卡片；X8，表示“取出標有2,6或3,5的兩張卡片；X9，表

11、示“取出標有3,6或4,5的兩張卡片；X10，表示“取出標有4,6的兩張卡片；X11，表示“取出標有5,6的兩張卡片用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果問題的關(guān)鍵點和注意點1關(guān)鍵點：解決此類問題的關(guān)鍵是明確隨機變量的所有可能取值，以及取每一個值時對應(yīng)的意義，即一個隨機變量的取值可能對應(yīng)一個或多個隨機試驗的結(jié)果2注意點：解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果再練一題3寫出以下各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果1在2019年北京大學(xué)的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數(shù)X；2射手對目的進展射擊，擊中目的得1分，未擊中目的得0分，該射手在一次射擊中的得分用表示【解】1X

12、可能取值0,1,2,3,4,5，Xi表示面試通過的有i人，其中i0,1,2,3,4,5.2可能取值為0,1，當(dāng)0時，說明該射手在本次射擊中沒有擊中目的；當(dāng)1時，說明該射手在本次射擊中擊中目的構(gòu)建·體系1袋中有大小一樣的5個球，分別標有1,2,3,4,5五個號碼，如今在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量X，那么X所有可能取值的個數(shù)是_. 【導(dǎo)學(xué)號：29440035】【解析】由于抽球是在有放回條件下進展的，所以每次抽取的球號均可能是1,2,3,4,5中某個故兩次抽取球號碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9種【答案】92甲進展3次射擊，甲擊中目的的概率為，記甲擊中目的的次數(shù)為，那么的可能取值為_【解析】甲可能在3次射擊中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次【答案】0,1,2,33隨機變量的分布列如下：123456P0.2x0.350.10.150.2那么x_，P3_.【解析】由分布列的性質(zhì)得02x0.350.10.150.21，解得x0.故P3P1P2P30.20.350.55.【答案】00.554一盒中有12個乒乓球，其中9個新的，3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，那么PX4的