九年級數(shù)學(xué)_動點型問題

1、1.所謂“動點型問題”是指：題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.2.一般方法是：第一、抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變，首先根據(jù)題意理清題目中變量的變化情況并找出相關(guān)常量。第二、按照圖形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用含自變量的式子表達出來，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)數(shù)學(xué)知識解出。3.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想。（以靜制動，靜中找等）鞏固練習(xí)：1.如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8c

2、m，BC=26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；動點Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts（1）當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當t為何值時，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當t為何值時，四邊形PQCD為直角梯形？2. 如圖，ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的外角平分線CF于點F，交ACB內(nèi)角平分線CE于E（1）試說明EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點O，使

3、四邊形AECF是正方形，猜想ABC的形狀并證明你的結(jié)論。附答案：內(nèi)容再現(xiàn)答案1.題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.2.“不變量”；相關(guān)的量用一個自變量的表達式； 自變量的取值范圍。3. 分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想鞏固練習(xí)答案：解析：（1）四邊形PQCD為平行四邊形時PD=CQ（2）四邊形PQCD為等腰梯形時QC-PD=2CE（3）四邊形PQCD為直角梯形時QC-PD=EC所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個方程即可解：（1）四邊形PQCD平行為四邊形

4、PD=CQ24-t=3t解得：t=6即當t=6時，四邊形PQCD平行為四邊形（2）過D作DEBC于E則四邊形ABED為矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四邊形PQCD為等腰梯形QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即當t=7（s）時，四邊形PQCD為等腰梯形（3）由題意知：QC-PD=EC時，四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即當t=6.5（s）時，四邊形PQCD為直角梯形2. 解析：（1）根據(jù)CE平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO（2）利用

5、矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答解：（1）CE平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF（2）當點O運動到AC中點處時，四邊形AECF是矩形如圖AO=CO，EO=FO，四邊形AECF為平行四邊形，CE平分ACB，ACE= ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=×180°=90°，四邊形AECF是矩形（3）ABC是直角三角形四邊形AECF是正方形，ACEN，故AOM=90°，MNBC，BCA=AOM

6、，BCA=90°，ABC是直角三角形三、知識點梳理注重對幾何圖形運動變化能力的考查從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。四、講練結(jié)合1.建立動點問題的函數(shù)解析

7、式函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析。（1）運用勾股定理建立函數(shù)解析式【同步練習(xí)】1. 如圖2，在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設(shè)BD=CE=. (1)如果BAC=30°，DAE=105°，試確定與之間的函數(shù)解析式；AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為，DAE的度數(shù)為，當，滿足怎樣的關(guān)系式時，(1)中與之間的函數(shù)解

8、析式還成立？試說明理由。（2）運用求圖形面積的方法建立函數(shù)解析式ABCO圖3H【例2】如圖3,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半徑為1.若點O在BC邊上運動(與點B、C不重合),設(shè)BO=,AOC的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域；(2)以點O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當O與A相切時,AOC的面積。【同步練習(xí)】2. 如圖4所示，直線與坐標軸分別交于兩點，動點同時從點出發(fā)，到達點，同時運動停止點沿線段運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線運動（1）直接寫出兩點的坐標；（2）設(shè)點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當時，求出點的坐標

9、，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標。xAOQPBy圖 42.動態(tài)幾何題目動態(tài)幾何特點-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。以動態(tài)幾何為主線的題目【例3】如圖5，中，點在邊上，且，以點為頂點作，分別交邊于點，交射線于點（1）當時，求的長； （2）當以點為圓心長為半徑的和以點為圓心長為半徑的相切時，求的長；（3）當以邊為直徑的

10、與線段相切時，求的長。 圖 5【同步練習(xí)】3.如圖6所示，在矩形ABCD中，AB3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E.(1)若直線l過點B，把ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長；(2)若直線l與AB相交于點F，且AOAC，設(shè)AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；ABCDEOlA探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。 圖 6【例5】如圖9，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點E和點F分別在邊AB、AC上滑動并保持

11、AE=CF,但點F不與A、C重合，點E不與B、A重合。（1）判斷OEF的形狀，并加以證明。（2）判斷四邊形AEOF的面積是否隨點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值. AEF的面積是否隨著點E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值?！就骄毩?xí)】5. 已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，ACB為直角，P是AB邊上的動點（與點A、B不重合），Q是BC邊上動點（與點B、C不重合）（1）如圖10，當PQAC，且Q為BC的中點，求線段CP的長。（2）當PQ與AC不平行時， CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說

12、明理由?！就骄毩?xí)】6.如圖12所示，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和（1）求此二次函數(shù)的表達式； yCxBA圖12（2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由； （3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍。五、家庭作業(yè)1. 如圖13,在ABC中,AB=AC=1，點D,E在直線BC上運動.設(shè)BD=，CE=。 (1)如果BAC=3

13、0°，DAE=105°，試確定與之間的函數(shù)解析式；AEDCB圖13 (2)如果BAC的度數(shù)為，DAE的度數(shù)為，當,滿足怎樣的關(guān)系式時(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由。2. 如圖14，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0)，AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).（1）求A、B兩點的坐標；（2）設(shè)OMN的面積為S，直線l運動時間為t秒(0t6)，試求S與t的函數(shù)表達式； （3）在題(2)的條件下，t為何值時，S的面積

14、最大？最大面積是多少？ 圖 14附答案例題答案：1. 解:(1)當點P在弧AB上運動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,且符合題意.GP=GH時, ,解得. 經(jīng)檢驗, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.2. 解:(1)過點A作AHBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=, BC

15、=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當O與A外切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.當O與A內(nèi)切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.綜上所述,當O與A相切時,AOC的面積為或.3. 解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的方法， 相切時分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當和相切時，的長為或（3）當以邊為直徑的與線段相切時，4. 解析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點C作CDAB于點D，連結(jié)CO，由于CDCO

16、，當O與D重合，CD=CO，因此，當CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點時，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點C為半圓弧的中點時，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個位置C1（不與C重合），證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形 ABC1的面積=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,則三角形 ABC1的面積=AB×C1D<AB×C1O=三角形 ABC的面積,因此,對于除點C外的任意點C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點C為半圓中點時,三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形AB

17、C的周長何時最大的問題。5. 分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當點E與A無限接近時，點F與點C無限接近，此時EOF無限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個三角形全等嗎？（1）：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，則OEAOFC，則OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，則EOF為直

18、角，故EOF為等腰直角三角形。 （2）可以建立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=，而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會隨點E、F的變化而變化，是一個定值，且為2. （3）解法一：可以通過建立函數(shù)關(guān)系求得, AEF的面積=,又x的變化范圍為,由二次函數(shù)知識得AEF的面積的范圍為:0<AEF的面積1解法二：根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍:不難證明AEF的面積OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點H，顯然

19、由于OEF為等腰直角三角形，則OHEF，作AGEF，顯然AGAH=AG（=），所以AEF的面積OEF的面積，而它們的和為2，因此0<AEF的面積1。6. 解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點的坐標為，則，要使，則有，即解之得，當時，即為點，所以得要使，則有，即解之得，當時，即為點，當時，所以得故存在兩個點使得與相似點的坐標為（3）在中，因為所以當點的坐標為時，所以因此，都是直角三角形又在中，因為所以即有所以，又因為，所以同步練習(xí)答案1. 解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD=ACE=1

20、05°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當時,函數(shù)解析式成立.2. 解（1）A（8，0）B（0，6）（2）點由到的時間是（秒）點的速度是（單位/秒）當在線段上運動（或0）時，當在線段上運動（或）時，,如圖，作于點，由，得， （自變量取值范圍寫對給1分，否則不給分）（3）3. (1)A是矩形ABCD的對稱中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)，

21、 ()若圓A與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切4. 解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則AOB=600，即AOB的大小不會隨點A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EHOE=，當ABCD時，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為5. 解析：（1）很易得出P為AB中點，則CP=（2）如果CPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，則Q不可能為

22、直角又點P不與A重合，則PCQ也不可能為直角，只能是CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點，設(shè)CQ=2x，CQ的中點D到AB的距離DM不大于CD，即，所以，由，即，而，故，亦即時， CPQ可能為直角三角形。6.解析：（1）二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點和，由解得此二次函數(shù)的表達式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似yxBEAOCD在中，令，則由，解得令，得設(shè)過點的直線交于點，過點作軸于點點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函

23、數(shù)表達式為或求出直線的函數(shù)表達式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達式為此時易知，再求出直線的函數(shù)表達式為聯(lián)立求得點的坐標為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）點的坐標為將點的坐標代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達式為存在直線或與線段交于點（不與點重合），使得以為頂點的三角形與相似，且點的坐標分別為或（3）設(shè)過點的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點將點的坐標代入中，求得此直線的函數(shù)表達式為設(shè)點的坐標為，并代入，得xBEAOCP·解得（不合題意，舍去）點的坐標為此時，銳角又二次函數(shù)的對稱軸為，點關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標為當時，銳角；當時，銳角；當時，銳角家庭作業(yè)答案：1. 解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD=ACE=105°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當時,函數(shù)解析式成立.2. （1）分析：由菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)易求A、B兩點的坐標. 解：四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0