2015年全國高考數(shù)學卷文科卷1及解析

1、2015年全國高考數(shù)學卷文科卷1 一、選擇題1已知集合，則集合中的元素個數(shù)為( )（A） 5 （B）4 （C）3 （D）22已知點，向量，則向量( )（A） （B） （C） （D） 3已知復數(shù)滿足，則（ ） （A） （B） （C） （D） 4如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為（ ）（A） （B） （C） （D）5已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則 ( )（A） （B） （C） （D）6九章算術是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題

2、：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛7已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項和，若，則（ ）（A） （B） （C） （D）8函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）（A） （B）（C）（D）9執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）（A） （B） （C） （D）10已知函數(shù) ，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）

3、11圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則( ) （A） （B） （C） （D）12設函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，且，則( )（A） （B） （C） （D）二、填空題13數(shù)列中為的前n項和，若，則 .14已知函數(shù)的圖像在點的處的切線過點，則 .15若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為 16已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點， ，當周長最小時，該三角形的面積為 三、解答題17（本小題滿分12分）已知分別是內(nèi)角的對邊，.（）若，求 （）若，且 求的面積.18（本小題滿分12分）如圖四邊形AB

4、CD為菱形，G為AC與BD交點，（）證明：平面平面；（）若， 三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.19（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（）根據(jù)散點圖判斷，與，哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（）根據(jù)（）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（III）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x

5、，y的關系為 ，根據(jù)（）的結果回答下列問題：（）當年宣傳費時，年銷售量及年利潤的預報值時多少？（）當年宣傳費為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù),，,其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，20（本小題滿分12分）已知過點且斜率為k的直線l與圓C：交于M，N兩點.（）求k的取值范圍；（），其中O為坐標原點，求.21（本小題滿分12分）設函數(shù).（）討論的導函數(shù)的零點的個數(shù)；（）證明：當時.22（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖AB是直徑，AC是切線，BC交與點E.（）若D為AC中點，求證：DE是切線；（）若 ，求的大小.23（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)

6、方程在直角坐標系 中，直線，圓，以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系.（）求的極坐標方程.（）若直線的極坐標方程為，設的交點為，求 的面積.24（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù) .（）當 時求不等式 的解集；（）若 圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍.試卷第5頁，總5頁參考答案1D【解析】試題分析：由條件知，當n=2時，3n+2=8，當n=4時，3n+2=14，故AB=8,14,故選D.考點：集合運算2A【解析】試題分析：=（3,1），=(-7,-4)，故選A.考點：向量運算3C【解析】試題分析：，z=，故選C.考點：復數(shù)運算4C【解析】試題分析：從1

7、,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點：古典概型5B【解析】試題分析：拋物線的焦點為（2,0），準線方程為，橢圓E的右焦點為（2,0），橢圓E的焦點在x軸上，設方程為，c=2，橢圓E方程為，將代入橢圓E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故選B.考點：拋物線性質；橢圓標準方程與性質6B【解析】試題分析：設圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為1.6222，故選B.考點：圓錐的性質與圓錐的體積公式7B【解析】試題分析：公差，解得=，故選B.考

8、點：等差數(shù)列通項公式及前n項和公式8D【解析】試題分析：由五點作圖知，解得，所以，令，解得，故單調(diào)減區(qū)間為（，），故選D.考點：三角函數(shù)圖像與性質9C【解析】試題分析：執(zhí)行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=0.5,S=S-m=0.5,=0.25,n=1,S=0.5t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第2次，S=S-m =0.25,=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第3次，S=S-m =0.125,=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第4次，S=S-m=0.0625,=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第

9、5次，S=S-m =0.03125,=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第6次，S=S-m=0.015625,=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循環(huán)，執(zhí)行第7次，S=S-m=0.0078125,=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，輸出n=7，故選C.考點：程序框圖10A【解析】試題分析：，當時，則，此等式顯然不成立，當時，解得，=，故選A.考點：分段函數(shù)求值；指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像與性質11B【解析】試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為

10、r，圓柱的高為2r，其表面積為=16 + 20，解得r=2，故選B.考點：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測面積公式12C【解析】試題分析：設是函數(shù)的圖像上任意一點，它關于直線對稱為（），由已知知（）在函數(shù)的圖像上，解得，即，解得，故選C.考點：函數(shù)對稱；對數(shù)的定義與運算136【解析】試題分析：，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，n=6.考點：等比數(shù)列定義與前n項和公式141【解析】試題分析：，即切線斜率，又，切點為（1，），切線過（2,7），解得1.考點：利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見函數(shù)的導數(shù)；154【解析】試題分析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線：，平移直線，當

11、直線:z=3x+y過點A時，z取最大值，由解得A（1,1），z=3x+y的最大值為4.考點：簡單線性規(guī)劃解法16【解析】試題分析：設雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周長最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，（3,0），直線的方程為，即代入整理得，解得或(舍)，所以P點的縱坐標為，=.考點：雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關系；最值問題17（）（）1【解析】試題分析：（）先由正弦定理將化為變得關系，結合條件，用其中一邊把另外兩邊表示出來，再用余弦定理即可求出角B的余弦值；（）由（）知

12、，根據(jù)勾股定理和即可求出c，從而求出的面積.試題解析：（）由題設及正弦定理可得.又，可得,由余弦定理可得.（）由(1)知.因為90，由勾股定理得.故，得.所以ABC的面積為1.考點：正弦定理；余弦定理；運算求解能力18（）見解析（）【解析】試題分析：（）由四邊形ABCD為菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由線面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（）設AB=，通過解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐的體積為求出x，即可求出三棱錐的側面積.試題解析：（）因為四邊形ABCD為菱形，

13、所以ACBD，因為BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）設AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=,GB=GD=.因為AEEC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱錐E-ACD的體積.故=2從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E-ACD的側面積為.考點：線面垂直的判定與性質；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計算；邏輯推理能力；運算求解能力19（）適合作為年銷售關于年宣傳費用的回歸方程類型（）（）46

14、.24【解析】試題分析：（）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（）令，先求出建立關于的線性回歸方程，即可關于的回歸方程；（）()利用關于的回歸方程先求出年銷售量的預報值，再根據(jù)年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x即可年利潤z的預報值；（）根據(jù)（）的結果知，年利潤z的預報值，列出關于的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.試題解析：（）由散點圖可以判斷，適合作為年銷售關于年宣傳費用的回歸方程類型. （）令，先建立關于的線性回歸方程，由于=，=563-686.8=100.6.關于的線性回歸方程為，關于的回歸方程為.（）()由（）知，當=49時，年銷

15、售量的預報值=576.6，. （）根據(jù)（）的結果知，年利潤z的預報值，當=，即時，取得最大值.故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.12分考點：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進行預報預測；應用意識20（）（）2【解析】試題分析：（）設出直線l的方程，利用圓心到直線的距離小于半徑列出關于k的不等式，即可求出k的取值范圍；（）設，將直線l方程代入圓的方程化為關于x的一元二次方程，利用韋達定理將用k表示出來，利用平面向量數(shù)量積的坐標公式及列出關于k方程，解出k，即可求出|MN|.試題解析：（）由題設，可知直線l的方程為.因為l與C交于兩點，所以.解得.所以的取值范圍是.（）設

16、.將代入方程,整理得,所以,由題設可得，解得，所以l的方程為.故圓心在直線l上，所以.考點：直線與圓的位置關系；設而不求思想；運算求解能力21（）當時，沒有零點；當時，存在唯一零點.（）見解析【解析】試題分析：（）先求出導函數(shù)，分與考慮的單調(diào)性及性質，即可判斷出零點個數(shù)；（）由（）可設在的唯一零點為，根據(jù)的正負，即可判定函數(shù)的圖像與性質，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于，即證明了所證不等式.試題解析：（）的定義域為，.當時,，沒有零點；當時，因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增.又,當b滿足且時，,故當時，存在唯一零點.（）由（），可設在的唯一零點為，當時，;當時，.故在單調(diào)遞減，在

17、單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，所以.故當時，.考點：常見函數(shù)導數(shù)及導數(shù)運算法則；函數(shù)的零點；利用導數(shù)研究函數(shù)圖像與性質；利用導數(shù)證明不等式；運算求解能力.22（）見解析（）60【解析】試題分析：（）由圓的切線性質及圓周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中線性質知DE=DC，OE=OB，利用等量代換可證DEC+OEB=90，即OED=90，所以DE是圓O的切線；（）設CE=1,由得，AB=，設AE=，由勾股定理得，由直角三角形射影定理可得，列出關于的方程，解出，即可求出ACB的大小.試題解析：（）連結AE，由已知得，AEBC，ACAB，在RtAEC中，由已知得DE=DC，DEC=DCE，連結OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OED=90，DE是圓O的切線. （）設CE=1，AE=,由已知得AB=，由射影定理可得，解得=，ACB=60.考點:圓的切線判定與性質；圓周角定理；直角三角形射影定理23（）,（）【解析】試題分析：（）用直角坐標方程與極坐標互化公式即可求得，的極坐標方程；（）將將代入即可求出|MN|，利用三角形面積公式即可求出的面積.試題解析：（）因為，的極坐標方程為，的極坐標方程為.5分（）將代入，得，解得=，=，|MN|=，因為的半徑為1，則的面積=.考點:直角坐標方程與極坐標互化；