高等流體力學之三個特解

1、一、渦的衰減情況推導(dǎo)一、渦的衰減情況推導(dǎo) 由渦旋的傳輸方程知道，當流體具有粘性、由渦旋的傳輸方程知道，當流體具有粘性、非正壓或者質(zhì)量力無勢時，均將破壞渦旋的守非正壓或者質(zhì)量力無勢時，均將破壞渦旋的守恒。粘性、非正壓與質(zhì)量力無勢這三者中，尤恒。粘性、非正壓與質(zhì)量力無勢這三者中，尤以粘性流體為經(jīng)常性起作用的因素。因為，對以粘性流體為經(jīng)常性起作用的因素。因為，對于實際的流體，運動時總是呈現(xiàn)粘性。因此，于實際的流體，運動時總是呈現(xiàn)粘性。因此，粘性流體一般來講是有旋的，而且其渦旋的大粘性流體一般來講是有旋的，而且其渦旋的大小可以隨時間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失。渦旋小可以隨時間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失。渦旋還

2、會擴散，自渦旋強度大得地方向渦旋強度弱還會擴散，自渦旋強度大得地方向渦旋強度弱的地方擴散，直至渦旋強度均衡為止。渦旋強的地方擴散，直至渦旋強度均衡為止。渦旋強度的擴散性質(zhì)決定了很多流體運動的物理現(xiàn)象；度的擴散性質(zhì)決定了很多流體運動的物理現(xiàn)象；因此，研究渦旋在粘性流體中運動的規(guī)律具有因此，研究渦旋在粘性流體中運動的規(guī)律具有重要的實際意義。重要的實際意義。 下面以一空間孤立渦線為例，從渦旋傳輸方程下面以一空間孤立渦線為例，從渦旋傳輸方程具體分析渦旋擴散的規(guī)律。具體分析渦旋擴散的規(guī)律。 設(shè)在無邊界的粘性流體中有一強度設(shè)在無邊界的粘性流體中有一強度 為的無窮長為的無窮長直渦線。不難證實，此渦線引起的運

3、動與非粘性直渦線。不難證實，此渦線引起的運動與非粘性流體情形相似，運動是無旋的，渦線周圍各處流體情形相似，運動是無旋的，渦線周圍各處 的的 ，流體質(zhì)點以，流體質(zhì)點以 的速度作定長圓周運的速度作定長圓周運 動。差別只在于，在非粘性流體中，由于沒有粘動。差別只在于，在非粘性流體中，由于沒有粘性內(nèi)摩擦阻力，因此，該直渦線的強度能夠永遠性內(nèi)摩擦阻力，因此，該直渦線的強度能夠永遠保持不變，且不會向周圍流體中擴散，不需要外保持不變，且不會向周圍流體中擴散，不需要外加能量來維持質(zhì)點的定常圓周運動；但在粘性流加能量來維持質(zhì)點的定常圓周運動；但在粘性流體中，由于粘性的緣故，渦旋將衰減下去，要維體中，由于粘性的緣

4、故，渦旋將衰減下去，要維持這種運動，就必須有外加能量，例如用渦旋的持這種運動，就必須有外加能量，例如用渦旋的無窮長細柱體來供給渦源。無窮長細柱體來供給渦源。00 02Vr 現(xiàn)在討論的問題是，假定在某現(xiàn)在討論的問題是，假定在某 時刻，外加渦時刻，外加渦源突然中斷，分析該直渦線的擴散（衰減）情況。源突然中斷，分析該直渦線的擴散（衰減）情況。 根據(jù)質(zhì)量力有勢的不可壓縮粘性流體的渦旋傳輸根據(jù)質(zhì)量力有勢的不可壓縮粘性流體的渦旋傳輸方程方程 上述方程也可以寫成下面的形式：上述方程也可以寫成下面的形式： (1-1) 如圖如圖3-2所示，沿直渦線去所示，沿直渦線去oz軸，則有軸，則有()()VVt 0 xy

5、zk 0t DDtVv 由于運動的對稱性和平面運動中速度由于運動的對稱性和平面運動中速度V沿沿 方向方向的微商為零，故的微商為零，故 于是，（于是，（1-1）式可改寫成）式可改寫成 略去下標略去下標z，寫成，寫成 (1-2)z()0V ()0Vzzt t 采用極坐標，上式可寫成采用極坐標，上式可寫成 (1-3) 初始條件為：初始條件為： (1-4a) 邊界條件為：邊界條件為： (1-4b)()rtrrt0t 0r 0 0t r 0 解方程（解方程（1-3）可得）可得 (1-5) 式中，常數(shù)式中，常數(shù)A可用沿周線的速度環(huán)量等于該圓周所可用沿周線的速度環(huán)量等于該圓周所圍得渦管強度這一條件來確定。設(shè)

6、在任意時刻沿圍得渦管強度這一條件來確定。設(shè)在任意時刻沿半徑為半徑為r的圓周上的速度環(huán)量為的圓周上的速度環(huán)量為 ，同一時刻，同一時刻，半徑為半徑為r的渦管強度應(yīng)該為的渦管強度應(yīng)該為24rtAet 02rrdr 因此可得因此可得 (1-6) 將將 ， 代入上式，可得代入上式，可得224400224(1)rrrrttArdrerdrAet 0t 0 04A 于是得到渦量分布為于是得到渦量分布為 (1-7) 速度環(huán)量為速度環(huán)量為 (1-8) 由于由于 (1-9)2044rtet 240(1)rte 202CV dsV rdrV n 把（把（1-9）式代入上式，得到速度分布為）式代入上式，得到速度分布為

7、 (1-10) 由（由（1-7）式可以看到，在初始時刻）式可以看到，在初始時刻t=0，各處（，各處（r0）的運）的運 動都是無旋的，在動都是無旋的，在t0的任何時刻整個空間立即產(chǎn)生渦旋，的任何時刻整個空間立即產(chǎn)生渦旋， 分布情況可由（分布情況可由（1-7）式代表即渦旋隨距離）式代表即渦旋隨距離r的增加而單調(diào)地的增加而單調(diào)地 下降。在中心處（下降。在中心處（r=0）的渦旋隨時間增長而單調(diào)地下降。）的渦旋隨時間增長而單調(diào)地下降。 而在離中心某一距離處（而在離中心某一距離處（r=a）的點上，渦旋起初增加，達）的點上，渦旋起初增加，達 到一個極大值以后，開始降低，一直降到當?shù)揭粋€極大值以后，開始降低，

8、一直降到當 時的時的 值。在值。在r=a處，處， 隨隨t的變化規(guī)律如圖的變化規(guī)律如圖3-3所示。所示。204(1)4rtVet 同樣根據(jù)（同樣根據(jù)（1-10）式可以畫出不通時刻速度隨）式可以畫出不通時刻速度隨r的的變化規(guī)律。如圖變化規(guī)律。如圖3-4所示所示. 最后，還可以注意到，在任意最后，還可以注意到，在任意r處，當處，當時時 ， 。換句話說，初始時刻由于無。換句話說，初始時刻由于無 源渦線在粘性流體中引起的運動，隨時間過程而衰源渦線在粘性流體中引起的運動，隨時間過程而衰 減下去，直至運動停止，所有渦旋的動能都耗散變減下去，直至運動停止，所有渦旋的動能都耗散變 為熱。相反，對于任意時刻為熱。

9、相反，對于任意時刻t，當，當 時，時， ， ，也就是說，運動在直渦，也就是說，運動在直渦 線處逐漸消失。線處逐漸消失。t 00V t 0 0V 二、旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動二、旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動 Von-Karman研究了旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動，研究了旋轉(zhuǎn)圓盤附近的流動，并用并用N-S方程做了解析解。如圖所示，假定方程做了解析解。如圖所示，假定半徑為無限大的平面圓盤在不可壓縮流體半徑為無限大的平面圓盤在不可壓縮流體中以等加速度旋轉(zhuǎn)，忽略質(zhì)量力。如圖中以等加速度旋轉(zhuǎn)，忽略質(zhì)量力。如圖3-11所示，由于粘性，圓盤帶動圓盤附近的所示，由于粘性，圓盤帶動圓盤附近的流體旋轉(zhuǎn)，離心力的作用使流體產(chǎn)生徑向流體旋轉(zhuǎn)，離

10、心力的作用使流體產(chǎn)生徑向分速，壓力下降。為補充徑向分速流出的分速，壓力下降。為補充徑向分速流出的流體，自然出現(xiàn)軸向分速，最終形成軸對流體，自然出現(xiàn)軸向分速，最終形成軸對稱螺旋形流動。稱螺旋形流動。 在慣性圓柱坐標系中，速度分量為在慣性圓柱坐標系中，速度分量為uz，u2 ，u流動為軸對稱，故流動各量不隨周向角流動為軸對稱，故流動各量不隨周向角變化。基本微分方程為變化?；疚⒎址匠虨?)()10rzruurrz（2-1a） 222221()rrrrrrzuuuuuupuurzrrrrrz （2-1b） 2222()rrzuu uuuuuuurrzrrrz（2-1c） 222211()zzzzzrz

11、uuuuupuurzzrrrz （2-1d） 邊界條件邊界條件 方程方程2-1中，中， ur 、 u和和uz是二階微商，要有七個是二階微商，要有七個邊界條件才能確定。邊界條件不夠，因此在求解邊界條件才能確定。邊界條件不夠，因此在求解之前必須對流動做進一步的分析，作出合理的假之前必須對流動做進一步的分析，作出合理的假定。定。 顯然，決定流動速度和鴨梨分布的因素是圓盤旋顯然，決定流動速度和鴨梨分布的因素是圓盤旋轉(zhuǎn)速度轉(zhuǎn)速度，流體粘性系數(shù)，流體粘性系數(shù)及空間點的坐標及空間點的坐標r和和z，故可得速度和壓力為故可得速度和壓力為0z 0zruuurz 0ruu（2-2） ( , , , )iiuur z

12、 （2-3） ( , , , )ppr z 下面估算圓盤旋轉(zhuǎn)帶動的粘性層厚度下面估算圓盤旋轉(zhuǎn)帶動的粘性層厚度。因為距。因為距旋轉(zhuǎn)軸距離為旋轉(zhuǎn)軸距離為r的粘性層流體單位體積所受的離心的粘性層流體單位體積所受的離心力為力為r2，所以在底面積為，所以在底面積為drds、高、高為粘性層為粘性層厚度的流體元上，所受的離心力為厚度的流體元上，所受的離心力為r2 drds 。同一流體元還受到圓盤面上切應(yīng)力同一流體元還受到圓盤面上切應(yīng)力w的作用，這的作用，這個力與流體滑動方向相反，且與周向速度成一角個力與流體滑動方向相反，且與周向速度成一角度，比如度，比如。該流體元的切應(yīng)力的徑向分量必與。該流體元的切應(yīng)力的徑

13、向分量必與離心力平衡。離心力平衡。 或或2sinwdrdsrdrds 2sinwr （2-4） 另一方面，切應(yīng)力的周向分量必須正比于壁面上另一方面，切應(yīng)力的周向分量必須正比于壁面上周向速度的軸向梯度，其數(shù)量級（以周向速度的軸向梯度，其數(shù)量級（以“”表示數(shù)表示數(shù)量級）關(guān)系為量級）關(guān)系為 從以上兩個方程中消去從以上兩個方程中消去 ，得，得 因為圓盤半徑無限大，所以緊貼壁面流體滑動的因為圓盤半徑無限大，所以緊貼壁面流體滑動的方向與半徑方向與半徑r無關(guān)，故圓盤帶動的流體厚度為無關(guān)，故圓盤帶動的流體厚度為coswr （2-5） w2tan（2-6） 將上式帶入式（將上式帶入式（2-4），得圓盤上得摩擦應(yīng)

14、力為），得圓盤上得摩擦應(yīng)力為 為了求解方程（為了求解方程（2-1），根據(jù)切向應(yīng)力引起），根據(jù)切向應(yīng)力引起u、離、離心力引起心力引起ur和圓盤無限大的流動特點，和圓盤無限大的流動特點， Von-Karman假設(shè)假設(shè) wr （2-7） ( , , )rurfz ( , , )urgz ( , , )zuhz 0( , , )pppz （2-8） 對上式應(yīng)用對上式應(yīng)用定理，選定理，選、為量綱獨立量，得為量綱獨立量，得 可見可見 是無量自變量是無量自變量 ，用用表示為表示為 因此，式（因此，式（2-8）可寫成）可寫成1rur 2ur 3zu 04pp 5/z ，5z（2-9） ( )ruFr( )uG

15、r( )zuH0( )ppP， （2-10） 將式將式（2-9）和（）和（2-10）分別代入方程（）分別代入方程（3-1）各式，）各式，因為因為 則方程（則方程（3-1）各式變?yōu)椋└魇阶優(yōu)閦z2222z220FF HFG20GHGFG220PFFH（2-11） 邊界條件為邊界條件為00FHP1G 0FGH； （2-12） 先從（先從（2-11）的前三式求）的前三式求F、G、H，然后代入第，然后代入第四式求四式求P。方程（。方程（2-11）是非線性常務(wù)分方程，不）是非線性常務(wù)分方程，不易求解，可用數(shù)值積分或冪級數(shù)法。易求解，可用數(shù)值積分或冪級數(shù)法。Karman用用數(shù)值積分法求的近似解，以后數(shù)值積

16、分法求的近似解，以后Cocbran得到更精得到更精確的數(shù)值結(jié)果，計算結(jié)果表示于圖確的數(shù)值結(jié)果，計算結(jié)果表示于圖3-12和表和表3-1中。中。 計算表明，當計算表明，當很小時，隨很小時，隨增大，增大，F(xiàn)和和G迅速趨于迅速趨于零，具有邊界層特性。零，具有邊界層特性。ur和和u只在圓盤附近明顯，只在圓盤附近明顯，在粘性影響范圍內(nèi)，壓力變化的量級為在粘性影響范圍內(nèi)，壓力變化的量級為。流。流體從遠處吸向圓盤，并向周圍拋出，旋轉(zhuǎn)圓盤相體從遠處吸向圓盤，并向周圍拋出，旋轉(zhuǎn)圓盤相當于離心泵的作用。各函數(shù)的邊界值為當于離心泵的作用。各函數(shù)的邊界值為00F 0.510F 1G 0.616G 50.01G ：，：

17、（相當于邊界層外邊界） 0.8838H ： 雖然上述結(jié)果是假設(shè)圓盤無限大的條件下導(dǎo)出的，雖然上述結(jié)果是假設(shè)圓盤無限大的條件下導(dǎo)出的，但只要圓盤半徑比邊界層厚度打得多，可忽略圓但只要圓盤半徑比邊界層厚度打得多，可忽略圓盤周邊的影響，仍可用上述結(jié)果計算有限大圓盤盤周邊的影響，仍可用上述結(jié)果計算有限大圓盤的摩擦力矩。壁面摩擦應(yīng)力為的摩擦力矩。壁面摩擦應(yīng)力為3122(0)()(0)0.616zwrGrz 3122(0)()0.51rzrwrz （2-13） 半徑為半徑為R的圓盤兩面所受的力矩和力矩系數(shù)分別為的圓盤兩面所受的力矩和力矩系數(shù)分別為312422024(0)1.938RzMr drR 2223

18、.87/ 2ReMMCR（2-14） 式中式中2Re/R 半徑為半徑為R圓盤上上不離心力甩出的體積流量為圓盤上上不離心力甩出的體積流量為202()0.8838rRqRudzR（2-15） 該流量等于軸向流入的流量。該流量等于軸向流入的流量。 圖圖3-13所示，當所示，當 時，理論結(jié)果與實驗很時，理論結(jié)果與實驗很吻合，說明在層流條件下，上述推論完全正確；吻合，說明在層流條件下，上述推論完全正確；當當 時，理論偏離實驗，說明流動變?yōu)闀r，理論偏離實驗，說明流動變?yōu)橥牧?，湍流摩擦阻力大。按湍流速度分布的七分湍流，湍流摩擦阻力大。按湍流速度分布的七分之一次方?guī)律計算，旋轉(zhuǎn)圓盤的力矩系數(shù)為之一次方規(guī)律計算

19、，旋轉(zhuǎn)圓盤的力矩系數(shù)為5Re3 10 5Re3 10 150.146ReMC（2-16） 三、繞圓球流動情況三、繞圓球流動情況 圖圖3-16表示小雷諾數(shù)繞圓球流動。在球坐標表示小雷諾數(shù)繞圓球流動。在球坐標系中，由于流動的對稱性，故橫向速度為零，系中，由于流動的對稱性，故橫向速度為零，其余兩個速度分量為其余兩個速度分量為 和和 ，壓力為，壓力為 ( , )ru r( , )ur( , )p r 因而基本方程組為因而基本方程組為 （3-1）2211()(sin )0sinrr uurrr2222222cot211120()(sin)sinrrruuuuuprrrrrrrrr 2222211120(

20、)(sin)sinsinruuuuprrrrrrrr 邊界條件邊界條件 （3-2） 根據(jù)邊界條件和流動對稱性，可用分離變量法求解：根據(jù)邊界條件和流動對稱性，可用分離變量法求解： rR0ruur cosruVsinuV 設(shè)方程的解具有以下形式設(shè)方程的解具有以下形式 （3-3） 將式（將式（3-3）代入方程（）代入方程（3-1）各式，整理后）各式，整理后得得 （3-4）cos)(sin)(cos)(u321rrfpprfurf2211 13211)(420)(2rfffrffrfff 邊界條件邊界條件 （3-5） 方程（方程（3-4）是線性常微分方程組，可先由）是線性常微分方程組，可先由第一式和第

21、三式求出第一式和第三式求出 和和 與與 的關(guān)系，的關(guān)系，再將和代入第二式而得再將和代入第二式而得082121,:0:fVffrffRr08881 12 13 14frfrfrfr2f3f1f 解上式得解上式得 ，再求得，再求得 和和 ，即，即 （3-6） 根據(jù)邊界條件，式（根據(jù)邊界條件，式（3-6）中的各積分常數(shù)）中的各積分常數(shù)為為 1f2f3fDrrAfDrCrBrAfDrCrBrAf1022223232231VRA321RVB23VC0D 于是：按式（于是：按式（3-3），速度和壓力分別為），速度和壓力分別為 （3-7）根據(jù)應(yīng)力關(guān)系式，球面上的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力根據(jù)應(yīng)力關(guān)系式，球面上的法向

22、應(yīng)力和切向應(yīng)力分別為分別為)2231 (cos33rRrRVur3331sin (1)44RRuVrr 23cos2V Rppr()(2)rrrr Rr Rupr 1()()rrr Rr Ruuurrr 將速度關(guān)系式（將速度關(guān)系式（3-7）代入，得）代入，得 （3-8） 法向應(yīng)力和切向應(yīng)力對球產(chǎn)生的阻力為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力對球產(chǎn)生的阻力為 （3-9）31()cos2rrr Rr RVppR 31()sin2rr RVR 20(sincos )2sin6xrrrDRdRV 阻力系數(shù)為阻力系數(shù)為 （3-10） 式（式（3-10）稱為）稱為Stokes公式公式 從圖從圖3-17看出，在子午平面內(nèi)看出

23、，在子午平面內(nèi)Stokes解得流線前解得流線前后對稱。但從圖后對稱。但從圖3-18看出，正應(yīng)力不對稱，前大后看出，正應(yīng)力不對稱，前大后小，形成壓差阻力；切向應(yīng)力前后按正弦規(guī)律變化，小，形成壓差阻力；切向應(yīng)力前后按正弦規(guī)律變化，也產(chǎn)生了阻力。也產(chǎn)生了阻力。2224/ 2ReDdDCVR2RedV R 討論：討論： （1）Stokes全部忽略慣性項的近似不適用于整個全部忽略慣性項的近似不適用于整個流場，因為慣性項與粘性項之比的量級在不同徑向流場，因為慣性項與粘性項之比的量級在不同徑向位置處有顯著差別。小位置處有顯著差別。小Re數(shù)時，慣性項與粘性項數(shù)時，慣性項與粘性項之比，只在物面附近很小，在遠離物面附近處卻不之比，只在物面附近很小，在遠離物面附近處卻不是這樣。故是這樣。故Stokes近似只適用于小近似只適用于小Re數(shù)空間繞流數(shù)空間繞流的物面附近的流場，是一級近似；對于平面流動，的物面附近的流場，是一級近似；對于平面流動，Stokes近似根本得不到解。近似根本得不到解。 （2）和對速度分布沒有影響，他們的影響只在阻）和對速度分布沒有影響，他們的影響只在阻力系數(shù)中得