高等數(shù)學(xué)級(jí)數(shù)2(2)

1、1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法及其審斂法絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)constant term infinite series第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法的審斂法 第十一章第十一章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)定理定理1(1(基本定理基本定理) )( ssn正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂收斂部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法3. 比較審斂法比較審斂法定理定理2 2正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,nnvu 若若則則 1nnv收斂收斂 1nnu

2、收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散 0常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法比較審斂法的不便比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù)須有參考級(jí)數(shù). ,11都都是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與設(shè)設(shè) nnnnvu如果如果,limlvunnn 則則,0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l,0)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l,)3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) l4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式定理定理3 3,1收斂收斂若若 nnv;1收斂收斂則則 nnu,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性;常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法定理定理4 4,1 nnu設(shè)設(shè)

3、nnnuu1lim正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法5.5.比值審斂法比值審斂法( (達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾 判定法判定法) ) AlembertD,收斂收斂發(fā)散發(fā)散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法定理定理5 5適用于適用于:以以n為指數(shù)冪的因子為指數(shù)冪的因子正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法6. 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法),1 nnu設(shè)設(shè)收斂收斂發(fā)散發(fā)散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 nnulimn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為n

4、nnu 11)1()0( nu其中其中萊布尼茨萊布尼茨 (Leibniz) (德德) 16461716:如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件, 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn則則.|1 nnur,1us 且且和和的絕對(duì)值的絕對(duì)值其余項(xiàng)其余項(xiàng)nr定義定義 )1(1nnnu 或或,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂alternate series交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù). .定理定理6 6( (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) )常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法及其審斂法注注un與與un+1大小的方法有三種大小的方法有三種: (1)比值法比值法,

5、nnuu1 ?1 nnuu?(3) 由由un找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)找出一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)), 2 , 1(),( nnfun使使考察考察? (2)差值法差值法, 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法nnnu 11)1()0( nu用萊布尼茨定理判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)用萊布尼茨定理判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)是否收斂時(shí)是否收斂時(shí),要考察要考察un與與un+1大小大小, 比較比較),(xf)(xf 1 0 0 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法注注不滿足也不滿足也條件條件(2) )0lim( nnu條件條件(1) )3 , 2 , 1(1 nuunn 萊布尼茨定理?xiàng)l件中萊布尼茨定理?xiàng)l件中1 nnuu就是說就是說, 某些交錯(cuò)級(jí)

6、數(shù)即使條件某些交錯(cuò)級(jí)數(shù)即使條件(1)( )1nnuu交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法只是只是充分充分條件條件.是是收斂的必要條件收斂的必要條件.不是必要條件不是必要條件.仍有可能是收斂的仍有可能是收斂的., 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn萊布尼茨定理萊布尼茨定理則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)收斂收斂.如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:如如 2)1()1(nnnn)3 , 2(1 nuunn不滿足萊布尼茨定理的條件不滿足萊布尼茨定理的條件:但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂收斂. 思考題思考題常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法證證nnnnuuuuuus212223212)()(

7、 又又1u , 01 nnuussnn 2lim.2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns.2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns由條件由條件(1):分析分析ssnn limnns2lim 12lim nns交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法), 3 , 2 , 1()1(1 nuunns nnnuuuuuus21243212 ()()()1u 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法12lim nnss , s級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和nr余余項(xiàng)項(xiàng) 21nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件滿足收斂的兩個(gè)條件, nr定理證畢定理證畢.也是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)也是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù).)(lim122 nnnus交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

8、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法0lim12 nnu由條件由條件(2):12212 nnnuss0lim)2( nnussnn 12lim證證.1us 且且)(21 nnuu1 nu常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法例例 2)1()1(nnnn但條件但條件(1)故故 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性.解解 nnulim交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 可知萊布尼茨定理的條件可知萊布尼茨定理的條件(2)滿足滿足,不滿足不滿足, 故用萊氏定理是無法判別的故用萊氏定理是無法判別的,但是因?yàn)榈且驗(yàn)閚nnnu)1()1( 發(fā)散發(fā)散.1)1( nnn 2n收斂收斂,11 n 2n發(fā)散發(fā)散 nnn)1(1lim01)1()1

9、( nnnn1)1( nnn11 nnnnn)1()1( 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)思想是思想是:定義定義2,|1收收斂斂若若 nnu為為則稱則稱 1nnu為為則稱則稱 1nnu,|1發(fā)發(fā)散散若若 nnu,1收收斂斂若若 nnu定義定義1,1 nnunu可正可正, ,可負(fù)可負(fù), ,可可0.0.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. .條件收斂條件收斂. .常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂證證), 2 , 1(|)|(21nuupnnn, 0np|,|nnup 且收斂1nnp 1nnu又又 絕對(duì)收斂絕對(duì)

10、收斂與與收斂收斂設(shè)設(shè)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)|nnnuuu 正正,1絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnu定理定理7 7.1必必定定收收斂斂則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnu),(1nnnqp絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂|1 nnu收斂收斂.,|1收收斂斂若若 nnu為為則稱則稱 1nnu絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. .收收斂斂 1nnu顯然顯然, 0 比較極限審斂法比較極限審斂法 由性質(zhì)由性質(zhì)1, 2有以下重要關(guān)系有以下重要關(guān)系nnqp ,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1(|) (1,2,)2nnnquun0| 2|,nnnuuu|2nnnuuu解解收斂收斂而而 121nn 12sinnnn故原級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條

11、件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂例例 12sinnnn判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)21n 收斂收斂絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.2sinnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法例例nnnn21)1()1(12)1( 1!)()2(nnnn解解 (1) 121nn又又所以原級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù) 121nn收斂收斂.絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.是是條件收斂條件收斂還是還是絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.是等比級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù),判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性,對(duì)收斂級(jí)數(shù)要指明對(duì)收斂級(jí)數(shù)要指明nnnn21)1(2)1(1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法解解因?yàn)橐驗(yàn)橛钟?)!1

12、()1(lim1nnnnnnn e nnnn 1lim(2)由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知, 1!nnnn從而級(jí)數(shù)從而級(jí)數(shù)(2)由于使用的是由于使用的是比值判別法比值判別法而判定的級(jí)數(shù)而判定的級(jí)數(shù)(2)因此因此nnnuu1lim 絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂 1!)()2(nnnn 1!nnnn1 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散,不絕對(duì)收斂不絕對(duì)收斂.不絕對(duì)收斂不絕對(duì)收斂,發(fā)散發(fā)散.級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(2)是是斷定斷定!)(1nnnn 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)不絕

13、對(duì)收斂根值法判定級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂(這時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)這時(shí)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)不趨于零不趨于零),對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)利用無窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)1、2 將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)如不是絕如不是絕對(duì)收斂的對(duì)收斂的,再看它是否條件收斂再看它是否條件收斂.便可斷言級(jí)數(shù)發(fā)散便可斷言級(jí)數(shù)發(fā)散.可用可用萊布尼茨定理萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段然后討論斂散性也是常用手段.拆開為兩個(gè)級(jí)數(shù)拆開為兩個(gè)級(jí)數(shù),(用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法),討論討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性時(shí)的收斂性時(shí),是否絕對(duì)收斂是否絕對(duì)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法注意還有定理8，定理9！ 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序?qū)彅糠ǖ?/p>

14、思維程序四、小結(jié)1.0lim nnu2.若若 0lim nnu比值、根值法比值、根值法; 若失效若失效3. 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式4.5. 充要條件充要條件6. 按基本性質(zhì)按基本性質(zhì)7.ssn?比較審斂法比較審斂法發(fā)散發(fā)散;常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法的思維程序?qū)彅糠ǖ乃季S程序3. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)1.0lim nnussn?發(fā)散發(fā)散2. 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂4. 按基本性質(zhì)按基本性質(zhì)5.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法思考題思考題常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,), 2 , 1(01收收斂斂且且若若 nnn

15、unu是非題是非題則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù).)(12收斂收斂必必 nnu是是 nnnuu2)(lim nnulim0由比較審斂法知由比較審斂法知 12)(nnu收斂收斂.,)(21收斂收斂若若 nnu.1必收斂必收斂則則 nnu非非 例如例如 12121)(nnnnu收斂收斂, 111nnnnu發(fā)散發(fā)散.(1)(2)22冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)power series第三節(jié)第三節(jié) 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)冪級(jí)數(shù)及其收斂性冪級(jí)數(shù)及其收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 第十一章第十一章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)1. .定義定義 0nnx級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) )(1xunn如如)(,)(),(21xux

16、uxun設(shè)設(shè)則則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). . )()()(21xuxuxun 21xx定義定義1 1冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念為定義在為定義在(a, b)內(nèi)內(nèi)的函數(shù)序列的函數(shù)序列,稱為定義在稱為定義在(a, b)內(nèi)的內(nèi)的2. .收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域),(0bax 設(shè)設(shè)若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)0 x收斂收斂(或發(fā)散或發(fā)散) 則稱則稱x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))(1xunn 的收斂點(diǎn)的收斂點(diǎn)(或發(fā)散點(diǎn)或發(fā)散點(diǎn)). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的的)(1xunn 所有所有收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)(或發(fā)散點(diǎn)或發(fā)散點(diǎn)) 稱為其稱為其收斂域收斂域 (或發(fā)或發(fā))(1 nnu定義定義2 2散域散

17、域).冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)3. .和函數(shù)和函數(shù)定義定義3 3)(xsn設(shè)設(shè)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)),()(limxsxsn 則則s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)和函數(shù). .)(1xunn 的前的前n項(xiàng)和序列項(xiàng)和序列, 若極限若極限),(bax 存在存在,的的)(1xunn 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)如如, , 201xxxnn它的收斂域?yàn)樗氖諗坑驗(yàn)? 1| x發(fā)散域?yàn)榘l(fā)散域?yàn)? 1| x等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)在在收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)和函數(shù)和函數(shù)是是,11x 即有即有,111xxnn ).1 , 1( x)()(limxsxsnn 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)余項(xiàng))()()(xsxsxrnn

18、(x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注注函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是 )(xs定義域定義域),(xsn顯然顯然s(x) 的的定義域定義域就是就是,)1 , 1(上上 D 201xxxnn), 1()1 ,( )()()(21xuxuxun級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的收斂域收斂域.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂問題的收斂問題.冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)一般考慮函數(shù)一般考慮函數(shù),11時(shí)時(shí)x 它的定義域是它的定義域是但只有在但只有在它才是它才是的和函數(shù)的和函數(shù).例例nxnnn311)1( 解解 由由比值比值(達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾)判別法判別法nnnuu1lim 3x 31limxnnn(1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),1 x原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),1 x原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)nxnxnnn3331lim 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂;發(fā)散發(fā)散.求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域