高等數(shù)學級數(shù)2(2)

1、1正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)及其審斂法及其審斂法絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)constant term infinite series第二節(jié)第二節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的審斂法的審斂法 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)定理定理1(1(基本定理基本定理) )( ssn正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)正項級數(shù)收斂收斂部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列ns有界有界.常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法3. 比較審斂法比較審斂法定理定理2 2正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法,nnvu 若若則則 1nnv收斂收斂 1nnu

2、收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnv發(fā)散發(fā)散 0常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法比較審斂法的不便比較審斂法的不便:須有參考級數(shù)須有參考級數(shù). ,11都都是是正正項項級級數(shù)數(shù)與與設設 nnnnvu如果如果,limlvunnn 則則,0)1(時時當當 l,0)2(時時當當 l,)3(時時當當 l4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式定理定理3 3,1收斂收斂若若 nnv;1收斂收斂則則 nnu,1發(fā)散發(fā)散若若 nnv.1發(fā)散發(fā)散則則 nnu正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法兩級數(shù)有相同的斂散性兩級數(shù)有相同的斂散性;常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法定理定理4 4,1 nnu設設

3、nnnuu1lim正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法5.5.比值審斂法比值審斂法( (達朗貝爾達朗貝爾 判定法判定法) ) AlembertD,收斂收斂發(fā)散發(fā)散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法定理定理5 5適用于適用于:以以n為指數(shù)冪的因子為指數(shù)冪的因子正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)及其審斂法6. 根值審斂法根值審斂法 (柯西判別法柯西判別法),1 nnu設設收斂收斂發(fā)散發(fā)散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 nnulimn常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法正、負項相間的級數(shù)稱為正、負項相間的級數(shù)稱為n

4、nnu 11)1()0( nu其中其中萊布尼茨萊布尼茨 (Leibniz) (德德) 16461716:如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件, 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn則則.|1 nnur,1us 且且和和的絕對值的絕對值其余項其余項nr定義定義 )1(1nnnu 或或,級級數(shù)數(shù)收收斂斂alternate series交錯級數(shù)交錯級數(shù). .定理定理6 6( (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) )常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法二、二、交錯級數(shù)交錯級數(shù)及其審斂法及其審斂法注注un與與un+1大小的方法有三種大小的方法有三種: (1)比值法比值法,

5、nnuu1 ?1 nnuu?(3) 由由un找出一個連續(xù)可導函數(shù)找出一個連續(xù)可導函數(shù)), 2 , 1(),( nnfun使使考察考察? (2)差值法差值法, 交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法nnnu 11)1()0( nu用萊布尼茨定理判別交錯級數(shù)用萊布尼茨定理判別交錯級數(shù)是否收斂時是否收斂時,要考察要考察un與與un+1大小大小, 比較比較),(xf)(xf 1 0 0 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法注注不滿足也不滿足也條件條件(2) )0lim( nnu條件條件(1) )3 , 2 , 1(1 nuunn 萊布尼茨定理條件中萊布尼茨定理條件中1 nnuu就是說就是說, 某些交錯級

6、數(shù)即使條件某些交錯級數(shù)即使條件(1)( )1nnuu交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法只是只是充分充分條件條件.是是收斂的必要條件收斂的必要條件.不是必要條件不是必要條件.仍有可能是收斂的仍有可能是收斂的., 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn萊布尼茨定理萊布尼茨定理則級數(shù)則級數(shù)收斂收斂.如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件:如如 2)1()1(nnnn)3 , 2(1 nuunn不滿足萊布尼茨定理的條件不滿足萊布尼茨定理的條件:但級數(shù)但級數(shù)收斂收斂. 思考題思考題常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法證證nnnnuuuuuus212223212)()(

7、 又又1u , 01 nnuussnn 2lim.2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns.2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns由條件由條件(1):分析分析ssnn limnns2lim 12lim nns交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)及其審斂法), 3 , 2 , 1()1(1 nuunns nnnuuuuuus21243212 ()()()1u 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法12lim nnss , s級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和nr余余項項 21nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件, nr定理證畢定理證畢.也是一個交錯級數(shù)也是一個交錯級數(shù).)(lim122 nnnus交錯級數(shù)及其審斂法

8、交錯級數(shù)及其審斂法0lim12 nnu由條件由條件(2):12212 nnnuss0lim)2( nnussnn 12lim證證.1us 且且)(21 nnuu1 nu常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法例例 2)1()1(nnnn但條件但條件(1)故故 級數(shù)級數(shù)判別級數(shù)判別級數(shù)的斂散性的斂散性.解解 nnulim交錯級數(shù)交錯級數(shù) 可知萊布尼茨定理的條件可知萊布尼茨定理的條件(2)滿足滿足,不滿足不滿足, 故用萊氏定理是無法判別的故用萊氏定理是無法判別的,但是因為但是因為nnnnu)1()1( 發(fā)散發(fā)散.1)1( nnn 2n收斂收斂,11 n 2n發(fā)散發(fā)散 nnn)1(1lim01)1()1

9、( nnnn1)1( nnn11 nnnnn)1()1( 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法任意項級數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)思想是思想是:定義定義2,|1收收斂斂若若 nnu為為則稱則稱 1nnu為為則稱則稱 1nnu,|1發(fā)發(fā)散散若若 nnu,1收收斂斂若若 nnu定義定義1,1 nnunu可正可正, ,可負可負, ,可可0.0.絕對收斂絕對收斂. .條件收斂條件收斂. .常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂證證), 2 , 1(|)|(21nuupnnn, 0np|,|nnup 且收斂1nnp 1nnu又又 絕對收斂絕對

10、收斂與與收斂收斂設設級數(shù)級數(shù)|nnnuuu 正正,1絕絕對對收收斂斂若若級級數(shù)數(shù) nnu定理定理7 7.1必必定定收收斂斂則則級級數(shù)數(shù) nnu),(1nnnqp絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂|1 nnu收斂收斂.,|1收收斂斂若若 nnu為為則稱則稱 1nnu絕對收斂絕對收斂. .收收斂斂 1nnu顯然顯然, 0 比較極限審斂法比較極限審斂法 由性質由性質1, 2有以下重要關系有以下重要關系nnqp ,常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法1(|) (1,2,)2nnnquun0| 2|,nnnuuu|2nnnuuu解解收斂收斂而而 121nn 12sinnnn故原級數(shù)故原級數(shù)絕對收斂與條

11、件收斂絕對收斂與條件收斂例例 12sinnnn判別級數(shù)判別級數(shù)的斂散性的斂散性.任意項級數(shù)任意項級數(shù)21n 收斂收斂絕對收斂絕對收斂.2sinnn常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法例例nnnn21)1()1(12)1( 1!)()2(nnnn解解 (1) 121nn又又所以原級數(shù)所以原級數(shù) 121nn收斂收斂.絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂絕對收斂絕對收斂.是是條件收斂條件收斂還是還是絕對收斂絕對收斂.是等比級數(shù)是等比級數(shù),判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性,對收斂級數(shù)要指明對收斂級數(shù)要指明nnnn21)1(2)1(1 常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法解解因為因為又又!)!1

12、()1(lim1nnnnnnn e nnnn 1lim(2)由正項級數(shù)的比值判別法知由正項級數(shù)的比值判別法知, 1!nnnn從而級數(shù)從而級數(shù)(2)由于使用的是由于使用的是比值判別法比值判別法而判定的級數(shù)而判定的級數(shù)(2)因此因此nnnuu1lim 絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 1!)()2(nnnn 1!nnnn1 級數(shù)級數(shù)發(fā)散發(fā)散,不絕對收斂不絕對收斂.不絕對收斂不絕對收斂,發(fā)散發(fā)散.級數(shù)級數(shù)(2)是是斷定斷定!)(1nnnn 正項級數(shù)正項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定級數(shù)不絕

13、對收斂根值法判定級數(shù)不絕對收斂(這時級數(shù)的通項這時級數(shù)的通項不趨于零不趨于零),對交錯級數(shù)對交錯級數(shù),利用無窮級數(shù)的性質利用無窮級數(shù)的性質1、2 將級數(shù)將級數(shù)如不是絕如不是絕對收斂的對收斂的,再看它是否條件收斂再看它是否條件收斂.便可斷言級數(shù)發(fā)散便可斷言級數(shù)發(fā)散.可用可用萊布尼茨定理萊布尼茨定理.然后討論斂散性也是常用手段然后討論斂散性也是常用手段.拆開為兩個級數(shù)拆開為兩個級數(shù),(用正項級數(shù)的審斂法用正項級數(shù)的審斂法),討論討論任意項級數(shù)任意項級數(shù)的收斂性時的收斂性時,是否絕對收斂是否絕對收斂常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法注意還有定理8，定理9！ 正項級數(shù)正項級數(shù)審斂法的思維程序審斂法的

14、思維程序四、小結1.0lim nnu2.若若 0lim nnu比值、根值法比值、根值法; 若失效若失效3. 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式4.5. 充要條件充要條件6. 按基本性質按基本性質7.ssn?比較審斂法比較審斂法發(fā)散發(fā)散;常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法任意項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法的思維程序審斂法的思維程序3. 交錯級數(shù)交錯級數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)1.0lim nnussn?發(fā)散發(fā)散2. 絕對收斂絕對收斂4. 按基本性質按基本性質5.常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法思考題思考題常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法,), 2 , 1(01收收斂斂且且若若 nnn

15、unu是非題是非題則級數(shù)則級數(shù).)(12收斂收斂必必 nnu是是 nnnuu2)(lim nnulim0由比較審斂法知由比較審斂法知 12)(nnu收斂收斂.,)(21收斂收斂若若 nnu.1必收斂必收斂則則 nnu非非 例如例如 12121)(nnnnu收斂收斂, 111nnnnu發(fā)散發(fā)散.(1)(2)22冪級數(shù)的運算冪級數(shù)的運算小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)power series第三節(jié)第三節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)1. .定義定義 0nnx級數(shù)級數(shù) )(1xunn如如)(,)(),(21xux

16、uxun設設則則函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù). . )()()(21xuxuxun 21xx定義定義1 1冪冪 級級 數(shù)數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念為定義在為定義在(a, b)內(nèi)內(nèi)的函數(shù)序列的函數(shù)序列,稱為定義在稱為定義在(a, b)內(nèi)的內(nèi)的2. .收斂點與收斂域收斂點與收斂域),(0bax 設設若數(shù)項級數(shù)若數(shù)項級數(shù)0 x收斂收斂(或發(fā)散或發(fā)散) 則稱則稱x0為函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)項級數(shù))(1xunn 的收斂點的收斂點(或發(fā)散點或發(fā)散點). 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)的的)(1xunn 所有所有收斂點收斂點(或發(fā)散點或發(fā)散點) 稱為其稱為其收斂域收斂域 (或發(fā)或發(fā))(1 nnu定義定義2 2散域散

17、域).冪冪 級級 數(shù)數(shù)3. .和函數(shù)和函數(shù)定義定義3 3)(xsn設設為函數(shù)項級數(shù)為函數(shù)項級數(shù)),()(limxsxsn 則則s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)稱為函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)和函數(shù). .)(1xunn 的前的前n項和序列項和序列, 若極限若極限),(bax 存在存在,的的)(1xunn 冪冪 級級 數(shù)數(shù)如如, , 201xxxnn它的收斂域為它的收斂域為, 1| x發(fā)散域為發(fā)散域為. 1| x等比級數(shù)等比級數(shù)在在收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)和函數(shù)和函數(shù)是是,11x 即有即有,111xxnn ).1 , 1( x)()(limxsxsnn 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和余項余項)()()(xsxsxrnn

18、(x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注注函數(shù)項級數(shù)在某點函數(shù)項級數(shù)在某點x的收斂問題的收斂問題,實質上是實質上是 )(xs定義域定義域),(xsn顯然顯然s(x) 的的定義域定義域就是就是,)1 , 1(上上 D 201xxxnn), 1()1 ,( )()()(21xuxuxun級數(shù)的級數(shù)的收斂域收斂域.數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 的收斂問題的收斂問題.冪冪 級級 數(shù)數(shù)一般考慮函數(shù)一般考慮函數(shù),11時時x 它的定義域是它的定義域是但只有在但只有在它才是它才是的和函數(shù)的和函數(shù).例例nxnnn311)1( 解解 由由比值比值(達朗貝爾達朗貝爾)判別法判別法nnnuu1lim 3x 31limxnnn(1) 當當 時時,1 x原級數(shù)原級數(shù)(2) 當當 時時,1 x原級數(shù)原級數(shù)nxnxnnn3331lim 絕對收斂絕對收斂;發(fā)散發(fā)散.求函數(shù)項級數(shù)的求函數(shù)項級數(shù)的收斂域