第22章一元二次方程

1、第第2222章一元二次方程章一元二次方程歡迎提出寶貴意見和建議，這里表示歡迎提出寶貴意見和建議，這里表示衷心的感謝衷心的感謝.如有不便之處如有不便之處,敬請原諒敬請原諒.引入的例子：引入的例子：某中學在操場中間要建造面積為20 平方米矩形的花壇，且矩形的長比寬長1米，問矩形的長與寬分別是多少米？x+1米x米 則矩形的長為（x+1）米，02020)1(2xxxx分析：設矩形的寬這x米,由題意得：問：這個方程以前我們是否學習過？若沒有學過？它有什么特征？ x x2x2 + x 20=0觀察這個方程，問：此方程有幾個未知數？ 2 + 20=0一個未知數：x問：這個方程中的未知數的最高次數是幾次？ x

2、 + x 20 = 0最高次數：2引入一元二次方程的概念：引入一元二次方程的概念： 只含有只含有一個一個未知數，且未知數的未知數，且未知數的最高次數最高次數是是2的方程的方程叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。說明：未知數個數1個。未知數的最高次數是2次。我們將按此流程學習一元二次方程我們將按此流程學習一元二次方程一元二次方程的定義一元二次方程的定義一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的應用一元二次方程的應用可化為一元二次方程可化為一元二次方程的方程的方程直接開平方法直接開平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式一元二次方程

3、的根與系數的關系一元二次方程的根與系數的關系二次三項式的因式分解二次三項式的因式分解列方程解應用題列方程解應用題可化為一元二次方程的分式方可化為一元二次方程的分式方程的解法及應用程的解法及應用簡單的二元二次方程組的解法簡單的二元二次方程組的解法 定義定義一般形式15052 xx015052xx7)3(2x0262xx0532xx01212x042x下面給出一些常見的一元二次方程下面給出一些常見的一元二次方程3522x5 xx0322yx12322xxx（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是整式方程）（不是一元方程）（不是一元方程）.16126222xxxx合并同類項：去括號：下

4、面給出一些常見的方程下面給出一些常見的方程,不是一元二次方程不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程一元二次方程是整式方程) 一元二次方一元二次方程的一般形式程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)完全的一元二次方程完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0) 特殊的特殊的一元二次方程一元二次方程ax2+c=0 (a0,c0)ax2+bx=0 (a0,b0)ax2=0 (a0)82213xxx解：去括號，得解：去括號，得 3x2-3x=2x+4+8.移項，得移項，得 3x2-3x-2x-4-8=0.合并同類項，得合并同類項，得 3x2-5x-12=0.原方程是一元二次

5、方程；二次項系數是原方程是一元二次方程；二次項系數是，一次項系數是一次項系數是 - 5- 5，常數項是常數項是 12 12. .02cax.2cax.2acx.acx當ac=b2-4ac=0 =b2-4ac0 =ab22244aacb 有兩個不相等的實數根有兩個不相等的實數根有兩個相等的實數根有兩個相等的實數根沒有實數根沒有實數根其中 叫做一元二次方程根的判別式acb42例10若關于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有兩個實數根，則m的取值范圍是 （ ）A m 0 B m 0 C m 0 且m1 D m 0且m1解：由題意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且

6、m1，故應選DD 練習1 選擇題1 不解方程，判斷方程0.2x2-5=1.5x的根的情況是（ ）A )有兩個不相等的實數根 B) 有兩個相等的實數根C) 沒有實數根 D)無法確定2 . 若關于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有實數根，則k的取值范圍是（ ）A)k 1.5 B)k 1.5 C) k 1.5 且k1 D)k1.5 AC練一練練一練例11求證：不論m取何值，關于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有兩個不相等的實數根證明：=-（m+7）2-49（m-3） =m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36不論m取何值，均

7、有（m-11）20（m-11）2+360，即0不論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根練習2 一、填空題1、關于x的方程x+2kx+k-0的根的情況是 _ 二、求證:不論a為任何實數,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有兩個不相等的實數根.有兩個不相等的實數根有兩個不相等的實數根例12已知關于x的一元二次方程 沒有實數根，求k的最小整數值。解：將原方程整理，得（2 k-1）x2-8x+6=0 根據題意，得 =（-8）2-4（2k-1）6 k的最小整數值是2068222xxkx611練習3若關于x的一元二次方程x2+2x-m+1=0沒有實數根，求證關于y的方程y2+my+12m=1一定有

8、兩個不相等的實數根。提示：將y2+my+12m=1化為一般形式 y2+my+12m-1=0達標練習達標練習一、選擇題： 1、已知關于X的一元二次方程kx2-2x+1=0有實數根，則k的取值范圍是（）k）k）k0 ，方程有兩個不相等的實根方程有兩個不相等的實根, 8k+9 0 , 即即 89k(2).當當 = 0 ，方程有兩個相等的實根方程有兩個相等的實根, 8k+9 =0 , 即即 89k(3).當當 0 ，方程有沒有實數根方程有沒有實數根, 8k+9 03、證明方程根的情況說明：說明：此類題目要先把方程化成一般形式，再計算出，如果不能直接判斷情況，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根據完

9、全平方的非負性，判斷的情況，從而證明出方程根的情況4)2(2 m練習練習：1、不解方程，判別下列方程的根的情況不解方程，判別下列方程的根的情況（1）035422 xx（3）yy4 . 209. 042（2）0114mm2、已知關于、已知關于x 的方程：的方程： 有兩個有兩個 不相等的實數根，不相等的實數根，k為實數，求為實數，求k 的取值范圍。的取值范圍。0112212xkxk3、設關于、設關于x 的方程：的方程： ，證明，不論，證明，不論m為何為何 值時，方程總有兩個不相等的實數根。值時，方程總有兩個不相等的實數根。04222mmxx212121 20,0,xbx cax xbcx xxxa

10、a 如 果 a的 兩 個 根 是那 么二、一元二次方程根與系數的關系二、一元二次方程根與系數的關系以兩個數以兩個數x1、x2為根的一元二次方程為根的一元二次方程（二次項系數為（二次項系數為1）是）是 212120 xxxxx x設設 x1 、 x2是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表是下列一元二次方程的兩個根，填寫下表 x1 x2 x1 + x2一元二次方程0652 xx03522 xx0262 xx5625233161的值求它的另一個根及，的一個根是：已知方程：例kkxx2,06512解：設方程的另一個根為x1，那么1162535325535275375xxkkk 又所 以 ， 方 程 的

11、另 一 根 是，的 值 是。例例2、利用根與系數的關系，求一元二次方程、利用根與系數的關系，求一元二次方程 兩個根的；（兩個根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒數和）倒數和01322xx解：設方程的兩個根是解：設方程的兩個根是x1 x2，那么，那么 121 22221211 22222212121 212121 231,22123113()2222411312322xxx xxxxx xxxxxxx xxxxxx x 例例3 已知方程已知方程x2-5x-2=0，作一個新方程，作一個新方程， 使它的根分別是已知方程各根平方的倒數使它的根分別是已知方程各根平方的倒數解：設解：設x1、x2為方程

12、為方程x2-5x-2=0的兩根，則的兩根，則 x1+x2=5 x1x2=-2設所求方程兩根為設所求方程兩根為y1、y2則：則：2212122222121211xxyyxxx x221212221225222942xxx xx x 12221211142y yx x22910291044xxx 2所求新方程為即:4x例例6 .已知方程已知方程x22(m2)xm240有兩個實有兩個實數根，且這兩個根的平方和比兩根的積大數根，且這兩個根的平方和比兩根的積大21，求，求m的值的值解：設解：設x x1 1、x x2 2為方程的兩根為方程的兩根方程有兩個實數根，方程有兩個實數根，04142222mm解得解

13、得m0依題意，得 21321221xxxx即21432222mm1,17:21mm解這個方程得m0，m1(x12+x22)-x1x2=21例例7. 試確定試確定m的值，使關于的值，使關于x的方程的方程8x2(2m2m6)x2m10的兩根互為相反數的兩根互為相反數解：設此方程的兩個根為解：設此方程的兩個根為x1、x2,要使方程的兩個要使方程的兩個根互為相反數根互為相反數,必需滿足條件必需滿足條件: :x1x20,x1x200,得2m2m602,2321mm, 081221mxx, 012m得,21,m解得,231舍去故m22m0此時當m2時，原方程的兩根互為相反數2122608mmxx1、下列方

14、程中，兩根的和與兩根的積各是多少？、下列方程中，兩根的和與兩根的積各是多少？013. 12 xx 223 .22 xx 032 .32 xx xx214 .42 2、已知方程、已知方程 的一個根是的一個根是 1， 求它的另一個根和求它的另一個根和m的值。的值。01932mxx 3、設、設 x1 、 x2是方程是方程 利用利用 根與系數的根與系數的 關系，求下列各式的值：關系，求下列各式的值： 03422xx11).1 (21xx2112).2(xxxx三、二次三項式的因式分解三、二次三項式的因式分解2122()()0axbxca xxxxaxbxc12其中x、x 是方程的兩根中的因式中的因式

15、千萬不能忽略。千萬不能忽略。2.在分解二次三項式在分解二次三項式cbxax2的因式時，可先用求根公式求出方程的因式時，可先用求根公式求出方程02cbxax的兩個根的兩個根x1,x2然后然后,寫成寫成)(212xxxxacbxaxa例題講解例題講解例例1 把把8652 xx分解因式分解因式1014610196652)8(5466086522xxx的根是解：方程2,5421xx即：)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括號內的分母例例2分解因式把22582yxyx22)5(24)8(805822222yyyxyxyxx的根是的方程解：關于yyy2644628)264)(

16、264(258222yxyxyxyx本題是關于本題是關于x的二次三項式，所以應把的二次三項式，所以應把y看作常數看作常數 在長方形鋼片上沖去一個在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長長方形框。已知長方形鋼片的長為為30cm，寬為，寬為20cm,要使制成的要使制成的長方形框的面積為長方形框的面積為400cm2，求這，求這個長方形框的框邊寬。個長方形框的框邊寬。 XX30cm20cm解解:設長方形框的邊寬為設長方形框的邊寬為xcm,依題意依題意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20, x2=5當當=20時時,20-2x= -20(舍去舍去);當當x=5時時,20-2x=10答答:這個長方形框的框邊寬為這個長方形框的框邊寬為5cm四.應用題1月的數量為月的數量為A，3月的數量為月的數量為B，經過兩，經過兩個月，求增長率個月，求增長率x。某季度數量為某季度數量為B，頭一個月數量為，頭一個月數量為A，求后兩個月的增長率求后兩個月的增長率x.1月的數量月的數量A，經過兩個月后數，經過兩個月后數量增加量增加m%，求增長率，求增長率. 比較比較A1月月A(1+x)2月月A(1+x)23月月AA(1+m%)增加增加m%=