例談數(shù)學(xué)解題中學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)

1、例談數(shù)學(xué)解題中學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)  甘肅省臨洮中學(xué) 裴生軍思維是人的理性認(rèn)識過程，根據(jù)思維過程的指向性，可將思維分為正向思維（常規(guī)思維）和逆向思維。逆向思維就是按研究問題的反方向思考的一種方式。在解題中從問題的正面思考陷入困境時，則從問題的反面思考往往會絕處逢生，使問題迎刃而解。逆向思維反映了思維過程的間斷性、突變性和雙向性，它是克服正向思維的心理定勢，突破舊有思維框架，產(chǎn)生新思維，發(fā)現(xiàn)新知識、新解法的重要思維方式。因此，在教學(xué)中，特別在數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)該重視學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)。根據(jù)本人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本文就從以下幾個方面說明學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)。1. 從數(shù)學(xué)定義、公式的可逆性進(jìn)行逆向思

2、維培養(yǎng)因?yàn)閿?shù)學(xué)定義本身是等價命題，而作為定義的命題其逆命題成立，則由它生成的公式法也具有可逆性。例1.求和1×2×3×4+2×3×4×5+n(n+1)(n+2)(n+3).分析：本題若從正面思考入手較難，但注意到公式:C4n+3=，逆向思考有:n(n+1)(n+2)(n+3)=4!C4n+3，則有以下簡捷解法。解：原式= m(m+1)(m+2)(m+3) = 4！C4m+3=4?。–44+C45+C46+C4n+3）=4！C5n+4= n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)   點(diǎn)評：本題解的關(guān)鍵在于逆向使用組

3、合數(shù)公式。例2.設(shè)f(x)=4-22+1，求f-1(0).分析：常見的方法是：先求出反函數(shù)f-1(x)，然后再求f-1(0)的值。但只要我們逆用反函數(shù)的定義：令f(x)=0，解出的x值即為f-1(0)的值。即f-1(0)=1.點(diǎn)評：本題解的關(guān)鍵是逆用反函數(shù)的定義，避免了求f-1(x)帶來的不必要麻煩。2運(yùn)用運(yùn)算與變換的可逆性進(jìn)行逆向思維培養(yǎng)數(shù)學(xué)中的各種變換與運(yùn)算是正、逆交替的，如映射與逆映射，函數(shù)與反函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等，它們可以相互轉(zhuǎn)化。例3.比較 log20032004與log20042005的大小。分析：本題若正面思維而用比較法較困難，但若以對數(shù)運(yùn)算的變換及對數(shù)的逆運(yùn)算思考，則易解

4、決。解：因?yàn)閘og20032004= log2003 =1+ log2003 ， log20042005= log2004 =1+ log2004 令 x =log2003 ,y =log2004 ，則 2003x= ， 2004y= ，又 > , 所以 2003x>2004y.（若x < y,由指數(shù)函數(shù)圖象知，2003x2004y，產(chǎn)生矛盾. )所以x > y.即 log20032004>log200420053. 從“相等”與“不等”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行逆向思維培養(yǎng)“相等”與“不等”在某種情況下，它們可以相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化能使許多難題得以化解。  例4.設(shè)

5、x1,x2,x3,x4,x5,為自然數(shù)，且x1<x<2x<3x4<x5，又x1+x2+x3+x4+x5=132.求x1+x2+x3的最大值.分析：顯然用一個一個地湊是不現(xiàn)實(shí)的，若把132與5個變量聯(lián)系起來，根據(jù)5個變量又有的大小關(guān)系，故可考慮把相等向不等轉(zhuǎn)化。解:x1+x2+x3+x4+x5x1+(x1+1)+(x1+2)+(x1+3)+(x1+4)=5x1+10,即1325x1+10.x1 ，x1是自然數(shù)，x1取最大值24；24+x2+(x2+1)+(x2+2)+(x2+3)=4x2+30,即1324x2+30,x2 ,x2是自然數(shù),x2取最大值25;同理可求得x3的

6、最大值為26,故x1+x2+x3的最大值為75.4. 從“正面”與“反面”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行逆向思維培養(yǎng)對于一些從“正面進(jìn)攻”很難湊效或運(yùn)算較繁的問題可先功其反面，從而使正面問題得以解決，反過來也一樣。例5方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)的實(shí)根的充要條件是分析：若分類討論，需討論：一負(fù)一正根及兩負(fù)根情形，較繁；若考慮問題的反面，無負(fù)根即只有兩正根情形。 0 4-4a 0 a1 X1+ X20 => - 0 => a0 => a X1X20 0 a0在有實(shí)根的大前提下，至少有一負(fù)根是只有正根（即無負(fù)根）的反面；故至少有一負(fù)根的充要條件是:在0中，排除只有正根的情況，即a1.例6

7、求證方程x2-2003x+2005=0無整數(shù)根。分析：若用求根公式討論，運(yùn)算量大，不易證明，而從結(jié)論的反面思考，逆向思維，結(jié)果不難得證。  證明：設(shè)方程有兩個整數(shù)根、，由根與系數(shù)的關(guān)系得+=2003 ·=2005 因?yàn)椋鶠檎麛?shù)，由知、必為奇數(shù)，而兩個奇數(shù)之和必為偶數(shù)，與矛盾。故、不可能為整數(shù)，問題得證。說明：1.“至少”性問題大多可從其反面思考。這類題目在求概率問題和排列組合問題中最為普遍，應(yīng)予以足夠重視。 2.例6的證明方法即為反證法.反證法是數(shù)學(xué)中很重要的一種證題方法,它從否定命題的結(jié)論“出發(fā)，通過正確的邏輯推理“導(dǎo)出矛盾”，達(dá)到了“推出結(jié)論的反面”，從而“肯定這個命

8、題真實(shí)”。這種應(yīng)用逆向思維的方法，可使很多問題處理起來相當(dāng)簡便。另外，反例排除也是反證法的應(yīng)用。5. 從“一般”與“特殊”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行逆向思維培養(yǎng)某些問題,可通過對“特殊”情況的分析研究獲取解題信息，進(jìn)而探究“一般”；反之，有時也可以直接根據(jù)一般結(jié)論來解決特殊問題。例7.求證:10032005>2005!分析與略解：本題用通常的求“差(商)比較法”難以湊效,而由均值不等式有一般結(jié)論: > = ，即( )n>n! ( n2且nN).特殊地令n=2005，則知10032005>2005！6. 從“運(yùn)動”與“靜止”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行逆向思維培養(yǎng) 事物的靜止是相對的，運(yùn)動才是絕對

9、的。用運(yùn)動、變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題，才能夠抓住事物的本質(zhì)。  例8.已知是P圓x2+y2-2x=0上任意一點(diǎn)，Q是拋物線y2=x+6上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值。分析：本題是一道雙“動”題，P“動”，Q也“動”；若設(shè)P(1,1)，Q(2,2)，則21+21-21=0，22=2+6， 然后求|PQ|的最小值,顯然這是非常困難的.如果挖掘“靜”的因素，抓住Q與圓心C的差，就能化解難點(diǎn)。解：因?yàn)閳A上任意一點(diǎn)到圓心C(1,0)的距離恒為圓的半徑1,所以,本題可轉(zhuǎn)化為求|CQ|的最小值.設(shè)Q(,),則2=+6,又|CQ|2=(-1)2+2(-6)=2-+7=(-1/2)2+ .當(dāng)= 時,|CQ|min= |PQ|min= - 1. 綜上所述，在數(shù)學(xué)解題中加強(qiáng)學(xué)生逆向思維培養(yǎng)，可加深學(xué)生對知識的理解，進(jìn)一步完整知識，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、深刻性和雙向性，克服正向思