34實(shí)際問題與一元一次方程專題復(fù)習(xí)

1、一元一次方程應(yīng)一元一次方程應(yīng)用題專題復(fù)習(xí)用題專題復(fù)習(xí) 問題問題1： 畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，有一次有位數(shù)學(xué)家問他：有一次有位數(shù)學(xué)家問他：“尊敬的畢達(dá)哥拉斯尊敬的畢達(dá)哥拉斯先生，請(qǐng)告訴我，有多少名學(xué)生在你的學(xué)校里先生，請(qǐng)告訴我，有多少名學(xué)生在你的學(xué)校里聽你講課？聽你講課？” 畢達(dá)哥拉斯回答說：畢達(dá)哥拉斯回答說：“我的學(xué)生，我的學(xué)生，現(xiàn)在有現(xiàn)在有 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 在學(xué)習(xí)音樂，在學(xué)習(xí)音樂， 沉默沉默無言，此外，還有三名婦女無言，此外，還有三名婦女.”算一算：畢達(dá)哥算一算：畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生有多少名？拉斯的學(xué)生有多少名？ 214171開啟 智慧你能解出這

2、道方程嗎？把你的解法與你能解出這道方程嗎？把你的解法與其他同學(xué)交流一下，看誰的解法好。其他同學(xué)交流一下，看誰的解法好?？偨Y(jié)：像上面這樣的方程中有些系數(shù)是分?jǐn)?shù)，總結(jié)：像上面這樣的方程中有些系數(shù)是分?jǐn)?shù)，如果能化去分母，把系數(shù)化為整數(shù)，則可以使如果能化去分母，把系數(shù)化為整數(shù)，則可以使解方程中的計(jì)算更方便些。解方程中的計(jì)算更方便些。解：設(shè)畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生有解：設(shè)畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生有x名，由題意得名，由題意得我的學(xué)生，現(xiàn)在有我的學(xué)生，現(xiàn)在有 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 在學(xué)習(xí)在學(xué)習(xí)音樂，音樂， 沉默無言，此外，還有三名婦女沉默無言，此外，還有三名婦女 214171x3x71x41x21英國(guó)倫敦博物館保存著一

3、部極其珍英國(guó)倫敦博物館保存著一部極其珍貴的文物貴的文物紙莎草文書。這是古紙莎草文書。這是古代埃及人用象形文字寫在一種特殊代埃及人用象形文字寫在一種特殊的草上的著作，它于公元前的草上的著作，它于公元前1700年年左右寫成，至今已有三千七百多年。左右寫成，至今已有三千七百多年。這部書中記載了許多有關(guān)數(shù)學(xué)的問這部書中記載了許多有關(guān)數(shù)學(xué)的問題，其中有如下一道著名的求未知題，其中有如下一道著名的求未知數(shù)的問題。數(shù)的問題。問題問題2：一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是加起來總共是33，求這個(gè)數(shù)？，求這個(gè)數(shù)？紙莎草文書

4、紙莎草文書你能解決這個(gè)問題嗎你能解決這個(gè)問題嗎?開啟 智慧問題問題 一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半，它一個(gè)數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是的七分之一，它的全部，加起來總共是3333。用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，這道題就是方程用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，這道題就是方程33xx71x21x32解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，33x424262128971386x 像左面這樣的方程中像左面這樣的方程中有些系數(shù)是分?jǐn)?shù)，有些系數(shù)是分?jǐn)?shù)，如果能化去分母，如果能化去分母，把系數(shù)化為整數(shù)，把系數(shù)化為整數(shù)，則可以使解方程中則可以使解方程中的計(jì)算更方便些。的計(jì)算更方便些。33xx71x21x32334242

5、xx7142x2142x3242138642x6x21x28x138697x 971386x 各分母的最小公倍數(shù)時(shí)42，方程兩邊同乘42，則得到合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，思考：方程兩邊同乘42的依據(jù)是什么？用上述方法解下列方程用上述方法解下列方程: :分析：分析：由于方由于方程中的某些項(xiàng)程中的某些項(xiàng)含有分母，我含有分母，我們可先利用等們可先利用等式的性質(zhì)，去式的性質(zhì)，去掉方程的分母，掉方程的分母，再進(jìn)行去括號(hào)、再進(jìn)行去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形求類項(xiàng)等變形求解。解。 (1)這個(gè)方程中各分母的最小公倍數(shù)是多少這個(gè)方程中各分母的最小公倍數(shù)是多少?(2)你認(rèn)為方程兩邊應(yīng)該同時(shí)乘以多少你認(rèn)

6、為方程兩邊應(yīng)該同時(shí)乘以多少?(3)方程兩邊同乘上這個(gè)數(shù)以后分別變成了方程兩邊同乘上這個(gè)數(shù)以后分別變成了什么什么?532x1023x2213x53210232213xxx5(3x + 1) - 102 = (3x 2) 2(2x + 3)15x + 5 20 = 3x 2 4x 6 15x 3x + 4x = - 2 6 5 + 20 16x = 7 167x去分母（方去分母（方程兩邊同乘程兩邊同乘以各分母的以各分母的最小公倍數(shù)）最小公倍數(shù)）去括號(hào)去括號(hào)移項(xiàng)移項(xiàng)合并合并系數(shù)化為系數(shù)化為1想一想想一想: :去分母時(shí)去分母時(shí), ,應(yīng)注意什么應(yīng)注意什么問題？問題？例1 解方程：312x321x3x解：

7、去分母（方程兩邊同乘6），得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).去括號(hào)，得18x+3x-3=18-4x+2移項(xiàng)，得18x+3x+4x=18+2+3.合并同類項(xiàng)，得25x=23系數(shù)化為1，得2523x 解方程：解方程：2X-1X-154x+2=-2(x-1)解方程：解方程：2X-1X-154x+2=-2(x-1) 解解: 去分母去分母,得得 5x-1=8x+4-2(x-1) 去括號(hào)去括號(hào),得得 5x-1=8x+4-2x-2 移項(xiàng)移項(xiàng),得得 8x+5x+2x=4-2+1 合并合并,得得 15x =3 系數(shù)化為系數(shù)化為1,得得 x =5 解一元一次方程的步驟：解一元一次方程的步驟：移移 項(xiàng)項(xiàng)

8、合并同類合并同類項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)化為系數(shù)化為1去括號(hào)去括號(hào)特別提示：特別提示：求出解后求出解后養(yǎng)成檢驗(yàn)養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣的習(xí)慣去分母去分母解一元一次方程的一般步驟解一元一次方程的一般步驟: :變 形 名 稱 具體的做法和注意事項(xiàng)去 分 母乘所有的分母的最小公倍數(shù).依據(jù)是等式性質(zhì)二。防止防止漏乘（尤其沒有分母的項(xiàng)），注意添括號(hào)漏乘（尤其沒有分母的項(xiàng)），注意添括號(hào)；去 括 號(hào)先去小括號(hào),再去中括號(hào),最后去大括號(hào).依據(jù)是去括號(hào)法則和乘法分配律。注意符號(hào)，防止漏乘；注意符號(hào)，防止漏乘；移 項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到一邊,常數(shù)項(xiàng)移到另一邊.“過橋變號(hào)”，依據(jù)是等式性質(zhì)一。移項(xiàng)要變號(hào)，防止漏移項(xiàng)要變號(hào)，防止漏項(xiàng)；項(xiàng)；合并

9、同類項(xiàng)將未知數(shù)的系數(shù)相加，常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)加。依據(jù)是乘法分配律，系數(shù)為系數(shù)為1或或-1時(shí)時(shí),記得省略記得省略1；系 數(shù) 化 為1 在方程的兩邊除以未知數(shù)的系數(shù).依據(jù)是等式性質(zhì)二。分子、分母不要寫倒了；分子、分母不要寫倒了；2 2（2x2x1 1）1 15 5（x x2 2）2 2（2x2x1 1）1 15 5（x x2 2）解：解：去括號(hào)，得去括號(hào)，得 4x 4x2 21 15x5x1010移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 4x 4x5x5x1 110102 2合并，得合并，得 9x 9x9 9系數(shù)化系數(shù)化1 1，得，得 x x1 1 例：例：某工廠要鍛造直徑某工廠要鍛造直徑為為60mm,60mm,高為高為20mm

10、20mm 的圓柱形毛坯的圓柱形毛坯, ,需要截取直徑為需要截取直徑為40mm40mm的圓的圓鋼多長(zhǎng)鋼多長(zhǎng)? ? 例：例：某工廠要鍛造長(zhǎng)某工廠要鍛造長(zhǎng)為為40mm,40mm,寬為寬為30mm 30mm ，高為高為15mm15mm的的長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體毛坯毛坯, ,需要截取直徑為需要截取直徑為40mm40mm的圓鋼多長(zhǎng)的圓鋼多長(zhǎng)? ? 例：例：截取截取20m20m直徑為直徑為40m40m的圓鋼，能鍛造的圓鋼，能鍛造底面積為底面積為120m120m2 2的圓柱形毛坯多么長(zhǎng)的圓柱形毛坯多么長(zhǎng)? ?例：例： 把先準(zhǔn)備好的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，把先準(zhǔn)備好的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，有多少種圍法？有多少種圍法？ 它們的它

11、們的周長(zhǎng)改變了嗎周長(zhǎng)改變了嗎？它們的它們的面積都相等嗎面積都相等嗎？例：例： 墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖實(shí)線所示。小穎將飾物，如圖實(shí)線所示。小穎將梯形梯形下底的下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長(zhǎng)方形釘成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖虛線所示。小穎所釘如圖虛線所示。小穎所釘 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬 各為多少厘米？各為多少厘米？1066101010例：例：如圖所示，小明將一個(gè)正方如圖所示，小明將一個(gè)正方形紙片剪去一個(gè)寬為形紙片剪去一個(gè)寬為4 4厘米的長(zhǎng)厘米的長(zhǎng)條后，在從剩下的長(zhǎng)方形紙片上條后，在從剩下的長(zhǎng)方形紙片上剪去一個(gè)寬為剪

12、去一個(gè)寬為5 5厘米的長(zhǎng)條，如厘米的長(zhǎng)條，如果果兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等，兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等，那么每一個(gè)長(zhǎng)那么每一個(gè)長(zhǎng) 條的面積為多少條的面積為多少？5厘米厘米4厘米厘米類型三：打折銷售類型三：打折銷售 1、 進(jìn) 價(jià)（成本） 2、 原 價(jià)（定價(jià)） 3、 售 價(jià) 4、 利潤(rùn) 5、利潤(rùn)率 6、折扣1、利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)2、標(biāo)價(jià)=成本（1+提高率）3、售價(jià)=標(biāo)價(jià)折/104、利潤(rùn)率= = 利潤(rùn)進(jìn)價(jià)售價(jià)-進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)100100一、此類型中的量二、此類型中的等量關(guān)系一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件服裝仍獲利15元.這種服裝每件的成本價(jià)是多少元? 一家商店將某種服

13、裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià),又以8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件服裝仍獲利15元.這種服裝每件的成本價(jià)是多少元?解解: 如果設(shè)每件服裝的成本價(jià)為如果設(shè)每件服裝的成本價(jià)為x元，那么元，那么每件服裝的標(biāo)價(jià)為：每件服裝的標(biāo)價(jià)為：(1+40%)X 元元每件服裝的實(shí)際售價(jià)為：每件服裝的實(shí)際售價(jià)為：80%(1+40%) X 元元每件服裝的利潤(rùn)為：每件服裝的利潤(rùn)為：80%(1+40%)X - X 元由此，列出方程：由此，列出方程：80%(1+40%)X-X=15解方程，得解方程，得x=125因此每件服裝的成本價(jià)是因此每件服裝的成本價(jià)是125125元。元。例：某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如 果按定價(jià)的七五折出售將賠25

14、元，而 按定價(jià)的九折出售將賺20元，這種商 品的定價(jià)是多少元？例：張、王、李三戶分別裝有相同的電燈2只、4只和3只，共用一塊電表，按照電燈只數(shù)分?jǐn)?6.2元的電費(fèi)，則各家應(yīng)分別分?jǐn)偠嗌僭娰M(fèi)？例：某洗衣機(jī)廠今年計(jì)劃生產(chǎn)洗衣機(jī)3000臺(tái)，其中型、型、型三種洗衣機(jī)的數(shù)量的比是2：3：5，這三種洗衣機(jī)計(jì)劃各生產(chǎn)多少臺(tái)？題型：例：（勞力分配問題）某工程隊(duì)每天安排120個(gè)勞力修建水庫(kù)，平均每天每個(gè)勞力能挖土5方或運(yùn)土3方，為了挖出的土及時(shí)運(yùn)走，問應(yīng)如何安排挖土和運(yùn)土的勞力？例： （比例問題）我國(guó)四大發(fā)明之一的黑火藥，它所用的原料為硝酸鉀、硫磺、木炭，它們的重量比是15：2：3，要配制這種火藥280千克，

15、三種原料應(yīng)各取多少千克？ 1 1、某水利工地派、某水利工地派 48 48 人去挖土人去挖土和運(yùn)土，如果每人每天平均挖土和運(yùn)土，如果每人每天平均挖土5 5方方或運(yùn)土或運(yùn)土3 3方，那么應(yīng)怎樣安排人員，方，那么應(yīng)怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走？正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走？練一練練一練 1 1、某水利工地派、某水利工地派 48 48 人去挖土和運(yùn)土，如果人去挖土和運(yùn)土，如果每人每天平均挖土每人每天平均挖土5 5方或運(yùn)土方或運(yùn)土3 3方，那么應(yīng)怎樣安排方，那么應(yīng)怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走？人員，正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走？練一練練一練解：設(shè)安排解：設(shè)安排 x 人去挖土，則有（人去挖土，

16、則有（48 x ）人運(yùn)土，根據(jù)）人運(yùn)土，根據(jù)題意，得題意，得 5 x = 3 ( 48 x )去括號(hào)，得去括號(hào)，得 5x = 144 3x移項(xiàng)及合并，得移項(xiàng)及合并，得 8x = 144 x = 18運(yùn)土的人數(shù)為運(yùn)土的人數(shù)為 48 x = 48 18 = 30答：應(yīng)安排答：應(yīng)安排18人去挖土，人去挖土，30人去運(yùn)土，正好能使挖出的人去運(yùn)土，正好能使挖出的土及時(shí)運(yùn)走。土及時(shí)運(yùn)走。3、 某車間每天能生產(chǎn)甲種零件某車間每天能生產(chǎn)甲種零件120個(gè)，個(gè)，或乙種零件或乙種零件180個(gè)，甲、乙兩種零件分別取個(gè)，甲、乙兩種零件分別取2個(gè)、個(gè)、3個(gè)才能配成一套，現(xiàn)要在個(gè)才能配成一套，現(xiàn)要在30天內(nèi)生產(chǎn)天內(nèi)生產(chǎn)最多

17、的成套產(chǎn)品，問怎樣安排生產(chǎn)甲、乙最多的成套產(chǎn)品，問怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)？?jī)煞N零件的天數(shù)？ 小明在靜水中劃船的速度為每小時(shí)小明在靜水中劃船的速度為每小時(shí)12千米，千米，今往返于某河，逆流時(shí)用了今往返于某河，逆流時(shí)用了10小時(shí)，小時(shí)，順流時(shí)用了順流時(shí)用了6小時(shí)小時(shí).求兩地距離。求兩地距離。 小明在靜水中劃船的速度為每小時(shí)小明在靜水中劃船的速度為每小時(shí)12千米，千米，今往返于某河，逆流時(shí)用了今往返于某河，逆流時(shí)用了10小時(shí)，小時(shí)，順流時(shí)用了順流時(shí)用了6小時(shí)小時(shí).求兩地距離。求兩地距離。開放與創(chuàng)新：詩(shī)仙李白本性嗜酒、豪放、曠達(dá)，向有“斗酒詩(shī)百篇”的美譽(yù)，是唐代“飲中八仙”之一，民間流傳李白

18、買酒歌謠，是一道有趣的數(shù)學(xué)問題：李白街上走，提壺去買酒；遇店加一倍，見花喝一斗；三遇店和花，喝完壺中酒；試問酒壺中，原有多少酒？飲酒的歷程酒壺中存酒A2xB2x-1C2(2x-1)D2(2x-1)-1E22(2x-1)-1 分析：若設(shè)酒壺中原有x斗酒，則李白飲酒的歷程可用表格表示為類型五：能追上小明嗎？類型五：能追上小明嗎？一、涉及到的量 二、三個(gè)基本量之間的關(guān)系三、類似行程問題的工程問題（路程 速度 時(shí)間） 1、路程=速度時(shí)間 2、速度=路程時(shí)間 3、時(shí)間=路程速度 1、工作總量 = 工作效率 工作時(shí)間 2、工作效率 = 工作總量 工作時(shí)間 3、工作時(shí)間 = 工作總量 工作效率例：例：市實(shí)驗(yàn)

19、中學(xué)學(xué)生步行到郊外旅行。市實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)生步行到郊外旅行。(1)(1)班班學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4 4千米千米/ /時(shí)，時(shí)，(2)(2)班學(xué)生班學(xué)生組成后隊(duì)，速度為組成后隊(duì)，速度為6 6千米千米/ /時(shí)。前隊(duì)出發(fā)時(shí)。前隊(duì)出發(fā)1 1小時(shí)后，小時(shí)后，后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在后隊(duì)才出發(fā)，同時(shí)后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為為1212千米時(shí)。千米時(shí)。根據(jù)上面的事實(shí)提出問題，并嘗試解答。根據(jù)上面的事實(shí)提出問題，并嘗試解答。1、后隊(duì)追上前隊(duì)需要多長(zhǎng)時(shí)間？、后隊(duì)追上前隊(duì)需要多長(zhǎng)時(shí)間？2、后

20、隊(duì)追上前隊(duì)時(shí)間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是多少？、后隊(duì)追上前隊(duì)時(shí)間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是多少？3、兩隊(duì)何時(shí)相距、兩隊(duì)何時(shí)相距6千米？千米？4、兩隊(duì)何時(shí)相距、兩隊(duì)何時(shí)相距2千米？千米？例：例：小彬和小明每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米.（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相 向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果他們兩家相距500米，同時(shí)出 發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間見面？ 例：甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車，環(huán)行公路長(zhǎng)42km，甲乙兩人的速度分別是21km/h，14km/h.(1)、如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí) 反向出發(fā)，那 么經(jīng)過幾小時(shí)后，兩人首次相遇？（2）、如果兩人從公路的同一地點(diǎn) 同時(shí)同向出發(fā)

21、，那么經(jīng)過幾小時(shí)后， 兩人首次相遇？注水問題：注水問題：例：一個(gè)水池，有甲、乙、丙三個(gè)水管，甲、乙是入水管，丙是排水管，單開甲管16分鐘可將水池注滿，單開乙管10分鐘可將水池注滿，單開丙管20分鐘可將全池水放完?，F(xiàn)將甲、乙兩水管打開，4分鐘后關(guān)上甲管開丙管，問又經(jīng)過幾分鐘才能將水池注滿？1、工作效率=1工作時(shí)間2、甲工作量+乙工作量+丙工作量=1類型六：教育儲(chǔ)蓄類型六：教育儲(chǔ)蓄一、涉及量二、量之間的關(guān)系1、本息和=本金+利息2、利息稅=利息203、利息=本金利率期數(shù)4、利息= 本金利率期數(shù)（1-20） 1、本金 2、利息 3、本息和 4、利率 （年、月） 5、期數(shù) 6、利息稅例：例：為了準(zhǔn)備小敏年后上大為了準(zhǔn)備小敏年后上大學(xué)的