一元二次方程的解法--公式法

1、教學(xué)設(shè)計(jì)（教案）模板基本信息學(xué) 科數(shù)學(xué)年 級(jí)九年級(jí)教學(xué)形式啟發(fā)式教 師劉誠(chéng)單 位無(wú)為縣古樓初級(jí)中學(xué)課題名稱一元二次方程的解法-公式法學(xué)情分析分析要點(diǎn)：本章是繼一元一次方程和二元一次方程組的學(xué)習(xí)之后,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和研究一元二次方程的知識(shí).本節(jié)在學(xué)生了解一元二次方程的基本概念,理解一元二次方程解法的基本思想及其與一元二次方程的聯(lián)系,掌握了用直接開平方法、因式分解法、配方法的基礎(chǔ)上,經(jīng)歷探索求根公式的過程,熟練地運(yùn)用求根公式解一元二次方程,為進(jìn)一步運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題打好基礎(chǔ).在教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a0）求根的推導(dǎo)公式，學(xué)生反

2、思解題過程，歸納得出：當(dāng)b2-4ac>0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac<0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根;公式法是解一元二次方程的萬(wàn)能法,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.     探索求根公式和運(yùn)用求根公式解一元二次方程是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn),所以教學(xué)中使用多媒體課件演示,主要是用配方法推導(dǎo)求根公式和運(yùn)用求根公式解一元二次方程的展示,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受,深刻理解求根公式的內(nèi)涵和運(yùn)用求根公式解一元二次方程的方法.因此,在教學(xué)時(shí),教師要善于從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā),注

3、意適時(shí)復(fù)習(xí)和應(yīng)用相關(guān)的知識(shí)(方程變形、一元一次方程解法等),為學(xué)生提供充分的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)和交流機(jī)會(huì),在動(dòng)手實(shí)踐中,要注意引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用,并及時(shí)對(duì)探索所得結(jié)果進(jìn)行比較、驗(yàn)證和歸納,以培養(yǎng)和提高學(xué)生獲取知識(shí)的能力. 教學(xué)目標(biāo)分析要點(diǎn)：(一)教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)生能理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練運(yùn)用公式法解一元二次方程     過程與方法目標(biāo)：學(xué)生經(jīng)歷用配方法探索求根公式   ( b24ac0 ) 的過程，體驗(yàn)用根公式解一元二次方程的方法.培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力. 

4、;    情感與態(tài)度目標(biāo)：學(xué)生在探索和應(yīng)用求根公式中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力,滲透辯證唯物主義觀點(diǎn)。  （二）教學(xué)重點(diǎn)： 一元二次方程的求根公式（三）教學(xué)難點(diǎn)：  求根公式的條件：b2 -4ac 0 教學(xué)過程一.復(fù)習(xí)舊知,激趣導(dǎo)入                   1.前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方

5、法”，比如，方程 （1）x2=4       (2)(x-2) 2=7 提問1  這種解法的（理論）依據(jù)是什么？ 提問2  這種解法的局限性是什么？（只對(duì)那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方程。） 2面對(duì)這種局限性，怎么辦？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式。）     （課件演示）用配方法解方程 4x212x1=0     

6、;                          3x2+12x3=0      (老師點(diǎn)評(píng)）略 總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）           &

7、#160;                                        (1)將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，

8、使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為 （x+p）2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q 如果q0,方程無(wú)實(shí)根 通過復(fù)習(xí)舊知,與學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,由問題引出課題. 展示課題、復(fù)習(xí)舊知的內(nèi)容、學(xué)生活動(dòng)的內(nèi)容、配方法的步驟,為本節(jié)課做好鋪墊. 二、自學(xué)探索活動(dòng)   如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題   分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推

9、下去     解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c     二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+bax=- ca    配方，得：x2+ba x+（ b2a）2=- ca +（b2a ）2     即（x+ ba ）2 = b2-4ac4a2    4a2>0， 當(dāng)b2-4ac0時(shí) b2-4ac4a2 0       （x+ ba ）2

10、 =( )2     直接開平方，得：         由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：     （1）解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，將a、b、c代入式子x= 就得到方程的根(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六種運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現(xiàn)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)   &

11、#160; （2）這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法     （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根                                

12、60;                                         教師點(diǎn)撥 由以上研究的結(jié)果,得到了一元二次方程 的求根公式： （ ）   

13、; 這個(gè)公式說(shuō)明方程的根是由方程的系數(shù)所確定的，利用這個(gè)公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。   思考：這里為什么要強(qiáng)調(diào)? ，如果方程有實(shí)數(shù)根嗎？                                

14、                通過學(xué)生自己觀察、討論、交流理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,用配方法探索出求根公式    ( b24ac0 )                       

15、;   學(xué)生又一次復(fù)習(xí)了配方法,能更進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.師生共同探討,歸納出運(yùn)用求根公式解一元二次方程的方法. 呈現(xiàn)過程，掌握方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的美，感受數(shù)學(xué)的趣，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的理。課件展示,快速省時(shí),能為學(xué)生快速掌握求根公式提供幫助,突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn). 三.實(shí)際運(yùn)用 (一)解下列方程：   1、 x2-2x+1=0；     2、x2 -4=3x；   3. x2-2x-1=0 ；      4、3

16、x2-2x=3 教師點(diǎn)撥：                                           （1）對(duì)于方程（2）和（4），首先要把方程化為一

17、般形式； （2）強(qiáng)調(diào)確定 a、b 、c 值時(shí)，不要把它們的符號(hào)弄錯(cuò)； （3）先計(jì)算的b24ac 值，再代入公式。  因?yàn)樨?fù)數(shù)不能開平方，所以原方程無(wú)實(shí)數(shù)根 展示學(xué)生活動(dòng)的內(nèi)容、教師點(diǎn)撥內(nèi)容, 師生互動(dòng),鼓勵(lì)學(xué)生 發(fā)表自己的見解,共同分享成功的喜悅,補(bǔ)充內(nèi)容是為了拓寬學(xué)生的知識(shí)面. 課件展示學(xué)生練習(xí)題,醒目、省時(shí).能調(diào)動(dòng)學(xué)生做數(shù)學(xué)練習(xí)題的熱情. 四、反思總結(jié) 讓學(xué)生反思以上解題過程，歸納得出： 當(dāng)b2-4ac>0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

18、； 當(dāng) b2-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。 通過歸納得出的結(jié)果 有大于零、等于零、小于零三種情況,有利于學(xué)生用求根公式   ( b24ac0 )  正確解一元二次方程 課件展示 有大于零、等于零、小于零三種情況,眉目清楚,利于對(duì)比,有利于學(xué)生理解和掌握. 五.知識(shí)的升華                      

19、0;                               某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于x的方程（m+1）x2 +（m-2）x-1=0提出了下列問題     （1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程   &

20、#160; （2）若使方程為一元一次方程,m是否存在？若存在，請(qǐng)求出     你能解決這個(gè)問題嗎？ 六、談收獲 本節(jié)課掌握了：     （1）求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；     （2）公式法的概念；     （3）應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟:  1）將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a>0.  2)找出系數(shù)a,b,c,注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號(hào)。 3)計(jì)算b2-4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無(wú)解， 4）若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果。 (4)初步了解了一元二次方程根的情況 談收獲是為了讓學(xué)生敢想、敢說(shuō),檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果,培養(yǎng)學(xué)生能力,老師針對(duì)學(xué)生的回答,及時(shí)疏導(dǎo),有利于的成長(zhǎng). 用課件展示應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟,條理清楚,學(xué)生掌握本節(jié)知識(shí)會(huì)更加準(zhǔn)確、深入. 板書設(shè)計(jì)3.2一元二次方程的解法-公式法1.對(duì)一元二次方程化為一般形式ax2+bx+c=0（a0）2.配方法求解。3.判斷b24ac與0的大、小關(guān)系。4.求根公式：作業(yè)或預(yù)習(xí)七、課后作業(yè) （一）P28 練習(xí)(1) (2) (3) (4)