物理實驗--測量誤差2016.3.5

1、物理實驗室網(wǎng)址HTTP:/90 大學物理實驗（緒論）大學物理實驗（緒論） 第一節(jié)第一節(jié) 測量與誤差測量與誤差一、測量一、測量3物理實驗是以測量為基礎(chǔ)的。物理實驗是以測量為基礎(chǔ)的。測量的要素：測量的要素：對象對象 單位單位 方法方法 準確度準確度 1、直接測量、直接測量 可以從儀表上、測量工具上可以直可以從儀表上、測量工具上可以直接讀出被測量的值接讀出被測量的值例如：長度例如：長度L、時間、時間t、質(zhì)量、質(zhì)量m . 同一測量者、使用相同的儀器、相同的方法、同一測量者、使用相同的儀器、相同的方法、在相同的條件下進行多次測量為在相同的條件下進行多次測量為等精度測量等精度測量，可

2、以取其平均值可以取其平均值計算。計算。 儀器不同、方法不同、測量條件不同以及測儀器不同、方法不同、測量條件不同以及測量者個人的差異都會造成不同的測量結(jié)果，量者個人的差異都會造成不同的測量結(jié)果，這種測量為這種測量為非等精度測量非等精度測量，取其平均值是取其平均值是無意義的。無意義的。 2、間接測量、間接測量 通過已知的函數(shù)關(guān)系（公式）和直通過已知的函數(shù)關(guān)系（公式）和直接測量的量，經(jīng)過計算得到的被測接測量的量，經(jīng)過計算得到的被測量的值量的值hDDV)(42122334RV3、測量結(jié)果、測量結(jié)果數(shù)值單位數(shù)值單位 例如：例如：54.23m；160.00kg絕對誤差絕對誤差物理量的實際客觀的值物理量的實

3、際客觀的值1.1.真值：真值：絕對誤差絕對誤差 = = 測量值測量值 - - 真值真值二、誤差二、誤差2. 絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差相對誤差相對誤差絕對誤差絕對誤差反映測量值偏離真值的大小和方向；反映測量值偏離真值的大小和方向；可可以更好地描述測量的精度以更好地描述測量的精度%100)E(真值絕對誤差相對誤差相對誤差的大小可以比較兩個測量效果的好與壞。相對誤差的大小可以比較兩個測量效果的好與壞。真值真值為一理想值，一般不知，常用實際值或算術(shù)平均值代替為一理想值，一般不知，常用實際值或算術(shù)平均值代替三、誤差的分類三、誤差的分類1. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：產(chǎn)生的原因：(1) 儀器

4、誤差儀器誤差(2) 理論理論(方法方法)誤差誤差(3) 環(huán)境誤差環(huán)境誤差 (4) 人為誤差人為誤差 特點：特點：確定性確定性可用特定方法來消除可用特定方法來消除2. 隨機誤差隨機誤差(偶然誤差偶然誤差)在消除或修正一切明顯的系統(tǒng)誤差之后，每次在消除或修正一切明顯的系統(tǒng)誤差之后，每次測量結(jié)果還會出現(xiàn)無規(guī)律的隨機變化測量結(jié)果還會出現(xiàn)無規(guī)律的隨機變化。隨機誤差服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律。隨機誤差服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律。隨機性隨機性可通過多次測量來減小可通過多次測量來減小特點：特點：3、過失誤差：、過失誤差：不應(yīng)出現(xiàn)，可避免不應(yīng)出現(xiàn)，可避免第二節(jié)第二節(jié)直接測量隨機誤差的估算直接測量隨機誤差的估算一、用算術(shù)

5、平均值表示測量結(jié)果一、用算術(shù)平均值表示測量結(jié)果設(shè)對某一物理量進行了設(shè)對某一物理量進行了n次測量，測量值為：次測量，測量值為：其算術(shù)平均值為：其算術(shù)平均值為：nxxnii1nxxx，21當系統(tǒng)誤差已消除時，測量值的平均值最接近真值當系統(tǒng)誤差已消除時，測量值的平均值最接近真值.ni，21各測量值各測量值 xi 和和 x 之間的差稱為殘差之間的差稱為殘差 x，即：即：xxxiini，21112nxxSnii三、誤差的估算三、誤差的估算標準偏差標準偏差用用標準偏差表示測量的隨機誤差。標準偏差表示測量的隨機誤差。二、用殘差表示每一次測量值的絕對誤差二、用殘差表示每一次測量值的絕對誤差(貝塞爾公式貝塞爾公

6、式)用標準米尺測某一物體的長度共用標準米尺測某一物體的長度共10次，次，其數(shù)據(jù)如下：其數(shù)據(jù)如下：次次 數(shù)數(shù) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 10 0 L L( (c cm m) ) 4 42 2. .3 32 2 4 42 2. .3 34 4 4 42 2. .3 35 5 4 42 2. .3 30 0 4 42 2. .3 34 4 4 42 2. .3 33 3 4 42 2. .3 37 7 4 42 2. .3 34 4 4 42 2. .3 33 3 4 42 2. .3 35 5 試計算算術(shù)平均值試計算算術(shù)平均值L某次測量值的標準偏差

7、某次測量值的標準偏差S S例例:解：解： 101101iiLL34423042354234423242101.( )cm(.3442 )cm(.LLSiI020018856201101012 ).35423342344237423342 次數(shù)次數(shù) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 L L(cm)(cm) 42.3242.32 42.3442.34 42.3542.35 42.3042.30 42.3442.34 42.3342.33 42.3742.37 42.3442.34 42.3342.33 42.3542.35 用計算器的統(tǒng)計功能用計算器

8、的統(tǒng)計功能由于測量誤差的存在而導致被測量值不能準確測定的由于測量誤差的存在而導致被測量值不能準確測定的程度。程度。一、不確定度的概念：一、不確定度的概念：誤差以一定的概率被包含在量值范圍誤差以一定的概率被包含在量值范圍 中中)(不確定度用不確定度用 表示。表示。第三節(jié)第三節(jié)測量結(jié)果不確定度測量結(jié)果不確定度真值以一定的概率被包含在量值范圍真值以一定的概率被包含在量值范圍 中中)()(xx不確定度的大小反映測量結(jié)果與真值之間的靠近程度。不確定度的大小反映測量結(jié)果與真值之間的靠近程度。二、不確定度的分類及合成方法二、不確定度的分類及合成方法可以通過統(tǒng)計方法來可以通過統(tǒng)計方法來計算計算( (如隨機誤差

9、如隨機誤差) )不能用統(tǒng)計方法只能不能用統(tǒng)計方法只能用其他方法估算用其他方法估算( (如儀如儀器誤差器誤差) )A類分量類分量 ：AB類分量類分量 ：B分分類類“方和根方和根”合成：合成：22BA三、直接測量不確定度的計算三、直接測量不確定度的計算1. A類不確定度的計算：類不確定度的計算：由標準偏差由標準偏差S乘以因子乘以因子 來求，即：來求，即：)(ntsntA)(當測量次數(shù)當測量次數(shù) 時，時，1)(nt6n則：則：ssntA1)(測量次數(shù)n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 n nt 8.98 2.48 1.59 1.24 1.05 0.93 0.84 0.77 0.72

10、 0.55 0.47 1.96/n (1) 由儀器或說明書中給出。由儀器或說明書中給出。(2) 由儀器的準確度級別來計算由儀器的準確度級別來計算%級別電表的滿量程電表的最大誤差儀器誤差儀器誤差限限的確定：的確定：2. B類不確定度的估算類不確定度的估算：用儀器本身的誤差用儀器本身的誤差(稱儀器誤差限稱儀器誤差限 ins)來計算，即：來計算，即：insBmm.50 儀儀 19s01. 0儀20 求測量數(shù)據(jù)列的平均值求測量數(shù)據(jù)列的平均值 修正已定系統(tǒng)誤差修正已定系統(tǒng)誤差y0，得出被測量值，得出被測量值 y 用貝塞耳公式求標準偏差用貝塞耳公式求標準偏差s 標準偏差標準偏差s 乘以因子來求得乘以因子來

11、求得 A 當當 5n10，置信概率為置信概率為95%時，可簡化認為時，可簡化認為 A s 根據(jù)使用儀器得出根據(jù)使用儀器得出 B B= 儀儀 由由 A、 B合成總不確定度合成總不確定度 給出直接測量的最后結(jié)果：給出直接測量的最后結(jié)果： niiyny110yyy1)(12nyysniisntA)(22BA yY例：例：用螺旋測微計測某一鋼絲的直徑，用螺旋測微計測某一鋼絲的直徑，6次測量值次測量值yi分別為：分別為：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 同時讀得螺旋測微計的零位同時讀得螺旋測微計的零位y0為：為：0.004, 單位單位mm，已知螺旋測微計

12、的儀器誤差為，已知螺旋測微計的儀器誤差為儀儀=0.004mm，請給，請給出完整的測量結(jié)果。出完整的測量結(jié)果。解解：測得值的最佳估計值為測得值的最佳估計值為 測量列的標準偏差測量列的標準偏差 測量次數(shù)測量次數(shù)n=6，可近似有，可近似有 則則：測量結(jié)果為：測量結(jié)果為 Y=0.2460.004mm0.246(mm)0.0040.2500yyy0.002mm1)(12nyysniimm004. 0004. 0002. 0222222儀sBA 四、間接測量的結(jié)果和不確定度的合成四、間接測量的結(jié)果和不確定度的合成 式中的：式中的：為間接測量結(jié)果；為間接測量結(jié)果； x，y，z，為直接測量結(jié)果。為直接測量結(jié)果

13、。 x ， y ， z ， 的 不 確 定 度 分 別 為的 不 確 定 度 分 別 為x,y,x,y,z z、簡化地計算簡化地計算的不確定度的不確定度：，zyxF設(shè)設(shè)222222zyxzFyFxF1. 當測量公式為當測量公式為和差和差形式時形式時)(，zyxF直接微分求不確定度直接微分求不確定度dzzFdyyFdxxFd 222222lnlnlnzyxzFyFxF2. 當測量公式為當測量公式為積商、指數(shù)等積商、指數(shù)等形式時形式時)(，zyxF先取對數(shù)，再微分求相對不確定度。先取對數(shù)，再微分求相對不確定度。)(lnln，zyxFdzzFdyyFdxxFdlnlnln25例：例：已知金屬環(huán)的外徑

14、已知金屬環(huán)的外徑 內(nèi)徑內(nèi)徑 高度高度 求環(huán)的體積求環(huán)的體積V 和不確定度和不確定度V。解：解：求環(huán)體積求環(huán)體積 求偏導求偏導 合成合成 求求V 結(jié)果結(jié)果 V=9.440.08cm3 cm004. 0600. 32Dcm004. 0880. 21Dcm004. 0575. 2h3222122436. 9575. 2)880. 2600. 3(4)(4cm hDDV,2ln212222DDDDV,2ln212211DDDDVhhV1ln0081. 0 )()()2()2(222122122122212帶入數(shù)據(jù)hDDDDDDVhDDV308. 00081. 0436. 9cmVVVV1 1、定義：在

15、測量結(jié)果的數(shù)字表示中，由若干、定義：在測量結(jié)果的數(shù)字表示中，由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字，便組成了有效位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字，便組成了有效數(shù)字。數(shù)字。272、對、對、常數(shù)和系數(shù)等應(yīng)比測量值多取一位。、常數(shù)和系數(shù)等應(yīng)比測量值多取一位。第四節(jié)第四節(jié)有效數(shù)字及其運算有效數(shù)字及其運算例：用米尺測量物體的長度例：用米尺測量物體的長度 L1= L2=3.4 3.45 6 5 6 3.4 3.4測量結(jié)果均為三位有效數(shù)字測量結(jié)果均為三位有效數(shù)字281. 關(guān)于關(guān)于“0”的有效問題的有效問題(1) 當當“0”在數(shù)字中間或末尾時有效在數(shù)字中間或末尾時有效如：如：12.04cm、20.50m2、1.000A等等中

16、的中的0均有效。均有效。注意：注意：不能在數(shù)字的末尾不能在數(shù)字的末尾隨便加隨便加“0”或減或減“0”。8500. 2850. 285. 2數(shù)學上：數(shù)學上：物理上：物理上：8500. 2850. 285. 229(2) 小數(shù)點前面的小數(shù)點前面的“0”和緊接小數(shù)點后面的和緊接小數(shù)點后面的“0”不算作有效數(shù)字不算作有效數(shù)字如：如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m 均是均是3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。注意：注意：進行單位換算時，進行單位換算時，有效數(shù)字的位數(shù)不變。有效數(shù)字的位數(shù)不變。302. 數(shù)值的科學記數(shù)法數(shù)值的科學記數(shù)法數(shù)據(jù)過大或過小時，可數(shù)據(jù)過大或過小時，可以用科學表達式以用科學

17、表達式。若某電阻值為若某電阻值為20000(歐姆歐姆)，保留三位，保留三位有效數(shù)字時寫成有效數(shù)字時寫成 2.00 104 又如數(shù)據(jù)為又如數(shù)據(jù)為0.0000325m，使用科學記，使用科學記數(shù)法寫成數(shù)法寫成 3.25 10-5m311. 加減法加減法加減法運算后的有效數(shù)字，加減法運算后的有效數(shù)字，取取到參與運算各數(shù)中最靠前出現(xiàn)到參與運算各數(shù)中最靠前出現(xiàn)可疑數(shù)的那一位可疑數(shù)的那一位。運算規(guī)則：運算規(guī)則：84.34727181. 035. 63 .71x348x如：如：3211.4+2.56=14.0 75-10.356=652. 乘除法乘除法乘除運算后結(jié)果的有效數(shù)字乘除運算后結(jié)果的有效數(shù)字一般以一般

18、以參與運算各數(shù)中有效參與運算各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準數(shù)字位數(shù)最少的為準。運算規(guī)則運算規(guī)則:27181. 035. 63 .71x062571181. 21 . 2如：如：33總不確定度總不確定度的有效位數(shù)，的有效位數(shù)，取取1 位位例例 ：估算結(jié)果估算結(jié)果 =0.548mm時，取為時，取為=0.5mm =1.37 時，時， 取為取為=1 被測量值有效位數(shù)的確定被測量值有效位數(shù)的確定Yy中，被測量值中，被測量值 y 的末位要與不確定度的末位要與不確定度的末位對齊的末位對齊 （求出（求出 y后先多保留幾位，求出后先多保留幾位，求出，由，由決定決定 y的末位）的末位）例：環(huán)的體積例：環(huán)的體積不確定

19、度分析結(jié)果不確定度分析結(jié)果最終結(jié)果為：最終結(jié)果為：V=9.440.08cm3即：不確定度末位在小數(shù)點后第二位，測量結(jié)果的最后一即：不確定度末位在小數(shù)點后第二位，測量結(jié)果的最后一位位也取到小數(shù)點后第二位。也取到小數(shù)點后第二位。32122436. 9)(4cmhDDV 3cm0.08 V的有效數(shù)字：的有效數(shù)字：取取1-2位，用位，用%表示表示%100XXE第五節(jié)第五節(jié) 數(shù)據(jù)處理及實驗結(jié)果數(shù)據(jù)處理及實驗結(jié)果例：例：通過測量溫度通過測量溫度t和在溫度和在溫度t下銅的電阻下銅的電阻Rt來測量銅來測量銅的電阻溫度系數(shù)，得到的電阻溫度系數(shù)，得到t與與Rt的數(shù)據(jù)列表如下：的數(shù)據(jù)列表如下：表中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字表

20、中數(shù)據(jù)均為有效數(shù)字電阻電阻(Rt) 溫度溫度(t)關(guān)系關(guān)系(樣品：銅樣品：銅)次數(shù)123456789105.010.015.020.025.030.335.040.045.050.010.310.5110.6410.7910.9411.0811.2211.3611.5311.66t(oC)Rt( )一、數(shù)據(jù)表一、數(shù)據(jù)表作圖規(guī)則：作圖規(guī)則：1. 作圖一定要用坐標紙。作圖一定要用坐標紙。2. 標明坐標軸。標明坐標軸。坐標軸的標度應(yīng)按有效數(shù)字均勻標出。坐標軸的標度應(yīng)按有效數(shù)字均勻標出。坐標原點不一定從坐標原點不一定從0開始。開始。兩坐標軸標度比例應(yīng)適當，使曲線充滿全幅坐標紙。兩坐標軸標度比例應(yīng)適當，使曲線充滿全幅坐標紙。373. 標點標點用鉛筆，以用鉛筆，以“ ”、“ ”、“ ”等一種符號標出測量點。等一種符號標出測量點。4. 連線連線作直線或光滑曲線，應(yīng)均勻分布作直線或光滑曲線，應(yīng)均勻分布5. 求斜率求斜率在直線上取兩點，所取點盡可能在直線上取兩點，所取點盡可能靠近直線兩端點靠近直線兩端點382-3 作圖法處理實驗數(shù)據(jù)n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66