求曲線的方程(上課用)

1、求方程的曲線求方程的曲線1曲線與方程的關(guān)系曲線與方程的關(guān)系 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C C上的點與一個二元方程上的點與一個二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的實數(shù)解建的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：立了如下關(guān)系：1)1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；2)2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點。 那么這個方程叫做那么這個方程叫做曲線的方程曲線的方程；這條曲線叫做；這條曲線叫做方程的曲線方程的曲線。新課新課2（1）“曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程 的

2、解的解” ，闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是說闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外曲線上所有的點都符合這個條件而毫無例外（2）“以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上”闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏闡明符合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏由曲線與方程的定義可知，如果曲線由曲線與方程的定義可知，如果曲線C的的方程是方程是 f(x，y)=0，那么點，那么點P0(x0 ，y0)在在曲線曲線C 上的充要條件是上的充要條件是f(x0，y0)=0 .純粹性純粹性完備性完備性說明說明3例例1 判斷下列結(jié)論的正誤并說明

3、理由判斷下列結(jié)論的正誤并說明理由 （1）過點）過點A（3，0）且垂直于）且垂直于x軸的直線為軸的直線為x=3 （2）到）到x軸距離為軸距離為2的點的軌跡方程為的點的軌跡方程為y=2 （3）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于）到兩坐標(biāo)軸距離乘積等于1的點的軌跡方程為的點的軌跡方程為xy=1對對錯錯錯錯認(rèn)識概念認(rèn)識概念變式訓(xùn)練：變式訓(xùn)練：寫出下列半圓的方程寫出下列半圓的方程yyy-5y5555555-5-5-5-500 xxxx41解析幾何與坐標(biāo)法：解析幾何與坐標(biāo)法：我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做我們把借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)坐標(biāo)法法. 在數(shù)學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一在數(shù)

4、學(xué)中，用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識形成了一門叫門叫解析幾何解析幾何的學(xué)科的學(xué)科.因此，解析幾何是用代數(shù)方法研因此，解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.2平面解析幾何研究的主要問題：平面解析幾何研究的主要問題：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟說明：本節(jié)主要討論求解曲線方程的一般步驟.56我們的目標(biāo)就是要找我們的目標(biāo)就是要找x與與y的關(guān)系式的關(guān)系式先找曲線上的點滿足的幾何條件先找曲線上的點滿足的幾何條件1

5、1 1 1方法小結(jié)方法小結(jié)7直接法（軌跡法）直接法（軌跡法）求曲線（圖形）的方程，一求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟：般有下面幾個步驟：說明：說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，）可以省略不寫，如有特殊情況，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)用有序?qū)崝?shù)對（對（x,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件寫出適合條件p的點的點M集合集合P=

6、M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡形式；為最簡形式；(5)證明證明 說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上都在曲線上.（查漏除雜查漏除雜）注：求哪個點的軌跡，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)為（注：求哪個點的軌跡，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)為（x,y)8.B例例2、動點、動點M與距離為與距離為2a的兩個定點的兩個定點A，B的連線的連線的斜率之積等于的斜率之積等于-1/2，求動點，求動點M的軌跡方程。的軌跡方程。.AM解解:如圖如圖,以直線以直線AB為為x軸軸,線段線段AB的垂直平分線的垂直

7、平分線為為y軸軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-a,0),B(a,0)。 設(shè)設(shè)M(x,y)是軌跡上的任意一點，則是軌跡上的任意一點，則) 1 (a a) )( (x xa a2 2y yx x: :化化簡簡，得得. .2 21 1a ax xy ya ax xy y, ,2 21 1k kk ka a) )( (x x, ,a ax xy yk k, ,a ax xy yk k2 22 22 2M MB BM MA AM MB BM MA A由上可知，動點由上可知，動點M的軌跡上的任一點的坐標(biāo)都滿足方程的軌跡上的任一點的坐標(biāo)都滿足方程（1）；容易證明，以方程（）；容易證明，

8、以方程（1）的解為坐標(biāo)的點都在軌）的解為坐標(biāo)的點都在軌跡上。所以，方程（跡上。所以，方程（1）就是動點）就是動點M的軌跡方程。的軌跡方程。9（2）要仔細(xì)分析曲線上動點所滿足的）要仔細(xì)分析曲線上動點所滿足的幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動點坐幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動點坐標(biāo)所適合的方程。標(biāo)所適合的方程。（3）根據(jù)具體條件，有時要注明變量）根據(jù)具體條件，有時要注明變量X 與與 Y 的變化范圍。的變化范圍。小結(jié)小結(jié)：求曲線的方程要注意以下幾點：求曲線的方程要注意以下幾點：（1）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時，我們就要）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時，我們就要適當(dāng)?shù)亟⒆鴺?biāo)系，例如題目中有兩垂直適當(dāng)?shù)亟⒆鴺?biāo)系，例如題

9、目中有兩垂直直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。102225xy定義法定義法直接直接法法11922 yx思思考考:(37P練練習(xí)習(xí)第第 3 題題) 如如圖圖,已已知知點點 C 的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是(2 , 2) , 過過點點 C 直直線線 CA與與 x 軸軸交交于于點點 A,過過點點C且且與與直直線線 CA垂垂直直的的直直線線 CB與與 y軸軸交交于于點點 B,設(shè)設(shè)點點M是是線線段段 AB 的的中中點點,求求點點 M的的軌軌跡跡方方程程. xy0CBAM( , )x y12直接法（軌跡法）直接法（軌跡法）求曲線（圖形）的方程，一求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個步驟：般有下面幾個

10、步驟：說明：說明：一般情況下，化簡前后方程的解集是相一般情況下，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（同的，步驟（5）可以省略不寫，）可以省略不寫，如有特殊情況，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明可適當(dāng)予以說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟（步驟（2），直接列出曲線方程），直接列出曲線方程.(1)用有序?qū)崝?shù)用有序?qū)崝?shù)對（對（x,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件寫出適合條件p的點的點M集合集合P=M|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程列出方程f(x,y)=0;(4)化方程化方程f(x,y)=0為最簡形式；為

11、最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上都在曲線上.（查漏除雜查漏除雜）注：求哪個點的軌跡，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)為（注：求哪個點的軌跡，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)為（x,y)13（2）要仔細(xì)分析曲線上動點所滿足的）要仔細(xì)分析曲線上動點所滿足的幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動點坐幾何條件，挖掘等量關(guān)系，尋找動點坐標(biāo)所適合的方程。標(biāo)所適合的方程。（3）根據(jù)具體條件，有時要注明變量）根據(jù)具體條件，有時要注明變量X 與與 Y 的變化范圍。的變化范圍。小結(jié)小結(jié)：求曲線的方程要注意以下幾點：求曲線的方程要注意以下幾點：（1）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)系時，我們就要）當(dāng)題中沒給定坐標(biāo)

12、系時，我們就要適當(dāng)?shù)亟⒆鴺?biāo)系，例如題目中有兩垂直適當(dāng)?shù)亟⒆鴺?biāo)系，例如題目中有兩垂直直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。直線，就可以選其做坐標(biāo)軸。14適用范圍適用范圍:任何情況任何情況求軌跡方程的方法求軌跡方程的方法:(1)直接法（軌跡法）直接法（軌跡法）;(2)定義法定義法;適用范圍適用范圍: :所給的幾何條件中恰好已知曲線所給的幾何條件中恰好已知曲線的定義，且可以直接用這些曲線的定義寫出這的定義，且可以直接用這些曲線的定義寫出這些曲線的方程。些曲線的方程。如如: :求到點求到點(1,1)(1,1)的距離等于到直線的距離等于到直線x+y=1x+y=1的距離的距離的點的軌跡方程的點的軌跡方程. .我們

13、雖然知道它的軌跡是拋物線我們雖然知道它的軌跡是拋物線, ,但是不知道它但是不知道它的方程的形式的方程的形式, ,仍然只能用仍然只能用直譯法直譯法求求. .151. 1.已知定點已知定點A(6,0),A(6,0),曲線曲線C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的動點上的動點B,B,點點MM滿足滿足 , ,求點求點MM的軌跡方程的軌跡方程. .例例3xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM12AMMB 特征特征: :所求所求( (從從) )動點隨已知曲線上的動點隨已知曲線上的( (主主) )動點的變化而變化動點的變化而變化方法方法: :用從動點的坐標(biāo)用從動點的坐標(biāo)(x,y)(x,y)表示主動

14、點的坐標(biāo)表示主動點的坐標(biāo)(x(x0 0,y,y0 0), ),然后代入已知曲線方程即的從動點軌跡方程然后代入已知曲線方程即的從動點軌跡方程. .代入法代入法( (坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法): ):16解：解：171819 作業(yè)作業(yè)： 動點動點M在曲線在曲線x2y21上移動，上移動，M和定和定點點B(3,0)連線的中點為連線的中點為P，求，求P點的軌跡方程點的軌跡方程20條件甲：條件甲：“曲線曲線C C上的點的坐標(biāo)都是方程上的點的坐標(biāo)都是方程f(xf(x，y)=0 y)=0 的解的解”，條件乙：條件乙：“曲線曲線C C是方程是方程f (xf (x，y)=0 y)=0 的曲線的曲線”，則甲是乙的，則甲是乙的( )( )(A)(A)充分非必要條件充分非必要條件 (B) (B)必要條件必要條件(C)(C)充要條件充要條件 (D) (D)非充分也非非充分也非必要條件必要條件B若命題若命題“曲線曲線C C上的點的坐標(biāo)滿足方程上的點的坐標(biāo)滿足方程f(xf(x，y)=0 y)=0 ”是正確的，是正確的，則下列命題中正確的是則下列命題中正確的是( )( )(A)(A)方程方程f(xf(x，y)=0 y)=0 所表