行列式的性質(zhì)

1、行列式的性質(zhì)基本性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2互換行列式的兩行(列)，行列式變號。推論如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零。性質(zhì)3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。推論行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。性質(zhì)4行列式中如果有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零。性質(zhì)5若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，例如第j列的元素都是兩數(shù)之和性質(zhì)6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變。一般利用行列式的定義計算高階行列式比較繁瑣，下面我們將推導(dǎo)出行列式的一些性質(zhì)，

2、為行列式的計算做準備.設(shè)， 稱行列式為的轉(zhuǎn)置行列式可以看成是的元素沿著主對角線旋轉(zhuǎn)所得，亦可看成是將的所有行（列）按序?qū)懗伤辛校ㄐ校┧茫此^行列互換）性質(zhì)1. 1 行列式的值與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等，即.證明 將等式兩端的行列式分別記作和，對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法. 當時，可以直接計算出成立，假設(shè)結(jié)論對小于階的行列式都成立，下面考慮階的情況. 根據(jù)定義 ， . 根據(jù)歸納假設(shè)，于是 .由歸納假設(shè)，可以把上面?zhèn)€階行列式都按第1列展開，并將含的項合并在一起，其值恰好等于，事實上 .，其中余子式是的行、列互換后的行列式，他們都是階行列式，根據(jù)歸納假設(shè).類似地，把含的項合并后其值等于，把含的項合并

3、后其值等于，因此.由該性質(zhì)，行列式中關(guān)于行所具有的性質(zhì)，關(guān)于列也同樣具有因而，下面關(guān)于行列式的性質(zhì)將僅對行敘述性質(zhì)1.2 對行列式(1.3)中的任一行按下式展開，其值相等，即等于行列式的值.， （） (1.4)其中，為中劃掉第行和第列的全部元素后，按原順序排成的階行列式，并稱為元素的余子式，為元素的代數(shù)余子式.證明 對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.當時，可以直接計算出結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對小于階的行列式都成立，下面考慮階的情況. 根據(jù)定義 .根據(jù)歸納假設(shè)可以按照第行展開，于是由歸納假設(shè)，把上面?zhèn)€階行列式都按第行展開，并將含的項合并在一起，其值恰好等于，事實上（不妨取） .，類似地，把含的項合并后其值等于，把含的項合并后其值等于,因此，.性質(zhì)1. 5 行列式兩行相同值為零，即 (1.7)其中（）證明 利用數(shù)學(xué)歸納法，對于二階行列式，（1. 7）式顯然成立.假設(shè)（1. 7）式對于階行列式成立，即如果階行列式兩行相同，則值為零.在階的情況下，對行列式按第行展開（），.由于 ()，且為階行列式且兩行相同，因此.所以， 例計算解：由于該行列式的所有列加到一起得同一個數(shù)a+(n-1)x，我們就根據(jù)這一特點，用行列式的