五種輔助線助你證全等

1、五種輔助線助你證全等構造全等三角形解競賽題一、 已知角平分線，利用軸對稱構造全等三角形。例1 在四邊形中，對角線，下列結論中正確的是（ ）.A B C D 與的大小關系不確定解：因為以AC為對稱軸作ACD的對稱圖形ACE，則=故選A. 二、已知中線，利用中心對稱構造全等三角形。例2 設G為ABC的重心，且則ABC的面積為（ ）。解：如圖，以BC的中點D為中心，將點G旋轉180°至E，則四邊形BGCE是平行四邊形.在BEG中，所以BEG是直角三角形，因此 例1圖 例2圖 例3圖 三、已知等邊三角形，旋轉60°構造全等三角形。例3 已知P是等邊ABC內的一點，的度數為（ ）.解

2、：繞著點B將ABP順時針旋轉60°，則ABPCBE，BPE為等邊三角形。在PCE中，所以PCE是直角三角形，因此四、已知正方形，旋轉90°構造全等三角形。例4 已知P是正方形ABCD內的一點，PAPBPC=123，的度數為（ ）.解：繞著點B將ABP順時針旋轉90°，則ABPCBE，BPE為等腰直角三角形。在PCE中，設所以PCE是直角三角形，因此 例4圖 例5圖 五、已知特殊角度，構造全等三角形。例5 A、B、C三個村莊在一條東西走向的公路沿線，如圖，AB=2千米，BC=3千米，在B村莊的正北方向有一個D村，測得今將ADC區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū)，除其中4平方千米的水塘

3、外，均作為建筑或綠化用地，試求這個開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是多少？解：分別以DA、DC為對稱軸，作RtADB和RtBDC的對稱圖形RtADE和RtFDC，延長EA和FC交于G，則四邊形DEGF是以DB為邊長的正方形。設由勾股定理得因此所以這個開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是11平方千米。三角形全等證明思路解析： （1）可以從結論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中； （2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等； （3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等； （4）若上述方法均不可行

4、，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。 有了思路也就有了解題的方向，但解題這條路卻不一定是坦途，仍然充滿著荊棘，那我們要怎樣才能在解任何的解題的過程中一路順利呢？答案就是熟悉各種輔助線及其做法。以下是總結的常見輔助線。 常見輔助線的作法有以下幾種： （1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用"三線合一"的性質解題， 思維模式是全等變換中的"對稱" （2）遇到三角形的中點或中線，倍長中線或倍長類中線，使延長線段與原中線長相等， 構造" "字形全等三角形，利用的思維模式是全等變換中

5、的"旋轉" （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，或者沿著角平分線翻折， 利用的思維模式是三角形全等變換中的"對稱"，所考知識點常常是角平分線的性質定理 或逆定理 （4）過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形， 利用的思維模式是全等變換中的"平移" （5）截長補短，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目 具體做法是在某條線段端點處截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明&#

6、160;常見輔助線類型： 在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難點下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考 一、截長補短 一般地，當所證結論為線段的和、差關系，且這兩條線段不在同一直線上時，通常可以考慮用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或將短線段延長使其與長線段相等 例1如圖1，在ABC中，ABC=60°，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+CD  分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF

7、=CD 證明：在AC上截取AF=AE，連接OF AD、CE分別平分BAC、ACB，ABC=60° 1+2=60°，4=6=1+2=60° 顯然，AEOAFO，5=4=60°，7=180°（4+5）=60° 在DOC與FOC中，6=7=60°，2=3，OC=OC DOCFOC， CF=CD AC=AF+CF=AE+CD 二、中線倍長 三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍，構造全等三角形是常用的解題思路 例2已知三

8、角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（   ） 分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個已知邊轉移到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關系才能進行分析和判斷  解：如圖2所示，設AB=7，AC=5，BC上中線AD=x 延長AD至E，使DE = AD=x AD是BC邊上的中線，BD=CD ADC=EDB（對頂角）ADCEDB BE=AC=5 在ABE中   AB-BEAEAB+BE 即7-52x7+5  

9、0;  1x6 三、作平行線 當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件 例3如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF  分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形由等腰三角形條件，可知B=ACB，作DHAE，可得DHB=ACB則DBH為等腰三角形 證明：作DHAE交BC于H DHB=ACB， AB=A

10、C，B=ACB DHB=B，DH=BD CE=BD    DH= CE 又DHAE，HDF=E   DFH=EFC（對頂角）  DFHEFC（AAS）  DF=EF 四、補全圖形 在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關系，有助于問題的解決 例4如圖4，在ABC中，AC=BC，B=90°，BD為ABC的平分線若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長  分析：題設中只有一條已知線段AD，且

11、為直角邊，而要求的BE為斜邊要找到它們之間的關系，需設法構造其他的全等三角形 證明：延長AD、BC相交于F 由BD為ABC的平分線，BDAF 易證ADBFDB   FD= AD=a  AF=2a     F=BAD      又BAD+ABD=90°，F(xiàn)+FAC=90° ABD=FAC     BD為ABC的平分線  ABD=CBE FAC=CBE，而ECB

12、=ACF=90°，AC=BC ACFBCE（ASA）    BE=AF=2a 五、利用角的平分線對稱構造全等 角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構造出全等三角形是常用的證明方法 例5如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180°證明：AD=CD  分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構造ABDEBD，從而AD=DE則只要證明DE=CD 證

13、明：在BC上截取BE=BA，連接DE 由BD平分ABC，易證ABDEBD AD=DE    A=BED 又A+C=180°，BED+DEC=180° DEC=C，DE=CD AD=CD一、 遇三角形中線常見輔助線：若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。 二、 角平分線常見輔助線：1、角分線上點向角兩邊作垂線構全等：過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題

14、。2、截取構全等如圖，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。3、延長垂線段遇到垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構成等腰三角形。4、做平行線、以角分線上一點做角的另一邊的平行線，構造等腰三角形（如圖1）、通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構造等腰三角形（如圖2）。      三、等腰三角形的“三線合一”性質的逆定理“三線合一”性質：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理：、如果三角形中任一角的

15、角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形?！竞喲灾浚?三角形中任意兩線合一，必能推導出它是一個等腰三角形。四、截長法與補短法遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長法或補短法：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。、對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運