平面向量基本定理及坐標(biāo)表示正式版

1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示正式版要點(diǎn)梳理平面向量基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)回礎(chǔ)理晤戟林1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入、p使a= Xiei+泌2.其中，不共線的向量ei, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底_.2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè) a= (xi, yi), b=(X2, y2)，則a + b= (x+ X2, y+ y2), a b = (xi x2, yi y2),a=(入 x 入 y, |a|=Txi+ y?.(2) 向量坐標(biāo)的求法 若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

2、終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo) 設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2)，則 AB=(X2 xi, y2 yi), |AB|= ； x2 xi 2 + y2 yi 2.3. 平面向量共線的坐標(biāo)表示1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“V”或“X”)(1) 平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.(X )(2) 在厶ABC中，向量Ab , BC的夾角為/ ABC.( X )(3) 若a, b不共線，且 ?ia + pib= 沁+ p2b,貝U ?i= 厶 小=比.( V )(4) 平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示.(V )xi yi(5) 若a =

3、(xi,yi),b=(X2,y2),貝Ua/ b的充要條件可表示成Q=訂(X )(6) 已知向量 a = (I sin 0, i), b = g, i + si nB),若 a / b,貝 V B 等于 45°.( X )2. 已知點(diǎn)A(6,2), B(1,14)，則與AB共線的單位向量為 .512 亠 512答案(-冠亦)或(応，后)解析因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2) , B(1,14),所以 AB = ( 5,12), |AB|= 13,與AB共線的單位向量為 ±AB = ±3( 5,12)|AB|=±£，刼3. 已知A( 3,0), B(0,2),

4、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在/ AOB內(nèi)，|OC|= 恥，且/ AOC =才，設(shè)OC=OA + 0B(入 R)，貝U入的值為解析過C作CE丄x軸于點(diǎn)E(圖略).n由/ AOC = 4,知 0E = CE= 2,所以 Oc = 0E + 0B= OA+OB,即 OE = OA,所以(一2,0) = X 3,0)，故入=2.34. 在？ABCD中，AC為一條對(duì)角線，AB= (2,4) , AC= (1,3)，則向量BD的坐標(biāo)為 答案(3, 5)解析/ Ab+ bC = AC, Be=AC Ab = ( 1, 1), Bd=Ad Ab= Bc Ab= ( 3, 5).5.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),2

5、 1 ->A、B、C 三點(diǎn)滿足 OC = OA + OB,則哼1|AB|13.解析/ OC=|oa+3OB, OC OA = 3oa+ 3OB= 1(OB OA), aC = 1AB, 竽|AB|題型分類深度剖析題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1在厶ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且CP= |cA+ 3cb , Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交33點(diǎn)為M，又CM = tCP，試求t的值.思維啟迪 根據(jù)題意可選擇AB, AC為一組基底，將CM, CP線性表示出來，通過 CM = tCP鍵立關(guān)于t的方程組，從而求出 t的值. I 1 >解/ CP = §CA+ 3CB, 3CP =

6、2CA + CB,即 2CP 2CA = CB- CP, 2AP = PB ,即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），如圖所示. A, M , Q三點(diǎn)共線,設(shè)CM = xCQ+ (1 x)CA = XCB+ (x 1)AC ,而Cb=Ab Ac, cm = |ab +(| 1)Ac.又 Cp=Ap Ac= 3ABAc ,3由已知CM = tCP可得,X f.X 八|AB+ (| 1)AC =AC),“唯一性”可建立方程組3，解得t = 3.x彳 +答案解析設(shè) IBP|= y, |PN|= X,f ff 1 -fx f貝U AP = AN+ NP = ；ACBN , x+ yI- 1 一 t思維升

7、華平面向量基本定理表明，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可用一組基底唯一表示，題中將同一向量用同一組基底的兩種形式表示出來，因此根據(jù)表示的求解."W 如圖，在 ABC中，AN = 3NC, P是BN上的一點(diǎn)，若3> I >=mAB + AC，則實(shí)數(shù) m的值為AP = AB+BP = AB+晶，x + yxy+X x 得 AP = -/B+y一AC,x+ y 4 x+ y令贏=需得尸8x '代入得m=11.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例 2 已知 A(1，- 2), B(2,1), C(3,2), D( 2,3),(1) 求 AD + 2BD 3BC;(2) 設(shè) CM = 3CA

8、, CN= 2BC，求 MN 及 M、N 點(diǎn)的坐標(biāo)思維啟迪(1)直接計(jì)算AD、BD、BC的坐標(biāo)，然后運(yùn)算；(2)根據(jù)向量的坐標(biāo)相等列方程求點(diǎn)M , N的坐標(biāo).解(1) / A(1, 2), B(2,1), C(3,2), D( 2,3), AD = ( 2 1,3 + 2) = ( 3,5),BD = ( 2 2,3 1) = ( 4,2),BC = (3 2,2 1)= (1,1), AD + 2BD 3BC= ( 3,5) + 2( 4,2) 3(1,1)=(3 8 3,5 + 4 3) = ( 14,6).(2) / CM = 3CA , CN= 2BC , MN = CN CM = 2

9、BC 3cA= 2BC+ 3AC ,由 A、B、C、D 點(diǎn)坐標(biāo)可得 AC = (3,2) (1 , 2) = (2,4). MN = 2(1,1) + 3(2,4) = (4,10).設(shè) M(Xm , yM) , N(xn , yN).A-A-A-A-A-A又 CM = 3CA, OM OC = 3(OA OC),(xm , yM) (3,2) = 3(1 , 2) (3,2) = ( 6, 12). Xm = 3 , yM = 10 ,M ( 3, 10).又 CN = 2BC ,即 ON OC = 2BC ,(xn , yN) (3,2) = 2(1,1), Xn= 1 , yN= 0,

10、N(1,0).若已知有向線段兩端點(diǎn)的思維升華向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則丄I .j 已知 A( 2,4), B(3, - 1), C( 3, - 4)設(shè) AB= a, BC= b, CA = c,且CM = 3c,CN = 2b,(1)求 3a+ b 3c；求滿足a = mb+ nc的實(shí)數(shù)m, n;(3) 求M、N的坐標(biāo)及向量 MN的坐標(biāo)解由已知得 a= (5, 5), b = ( 6, 3), c= (1,8).(1)3a+ b 3c = 3(5, 5) + ( 6, 3) 3(1,8)=(15

11、6 3, 15 3 24)= (6, 42).(2) / mb + nc= ( 6m+ n, 3m+ 8n),6m+ n= 5,m= 1 ,解得3m+ 8n = 5 ,n = 1.(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OM OC = 3c , OM = 3c+ OC = (3,24) + ( 3, 4)= (0,20). M(0,20).又/CN= On OC = 2b , ON = 2b+ OC= (12,6) + ( 3, 4)= (9,2), N(9,2). MN = (9 , 18).題型三向量共線的坐標(biāo)表示例 3(1)已知梯形 ABCD,其中 AB / CD ,且 DC = 2AB ,三個(gè)頂點(diǎn) A(

12、1,2), B(2,1) , C(4,2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.(2)已知向量 a = (3,1) , b= (1,3) , c= (k,7),若(a c) / b,則 k=.思維啟迪(1)根據(jù)向量共線列式求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)根據(jù)向量共線求參數(shù).答案(1)(2,4)(2)5解析(1) 在梯形 ABCD 中，DC = 2AB , DC = 2AB.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x , y),則 DC = (4,2) (x , y)= (4 x,2 y),AB = (2,1) (1,2) = (1, 1),4 x= 22 y= 2(4 x,2 y) = 2(1, 1),即(4 x,2 y) = (2 , 2),，

13、解得X=2 ,故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4).y= 4(2)依題意得 a c= (3,1) (k,7) = (3 k, 6),又( a c) / b,3 - kTk= 5.思維升華(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若a = (Xi, yi), b = (X2, y2),則a/ b的充要條件是xiy2 x2yi= 0 ；若a / b(a豐0)，貝V b = ?a.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解.1. 平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將向量進(jìn)行分解向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，

14、其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵2. 平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)兩向量平行的充要條件若a= (X1 ,y1) ,b=(x2 ,y2),貝U a / b的充要條件是a=2,這與X1y2 X2y1= 0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定失誤與防范1. 要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量共線有方向相同、相反兩種情況2若a= (xi, yi), b= (x2, y2),則a/ b的充要條件不能表示成 倉=£，因?yàn)閤2, y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為 xiy2

15、X2yi = 0.1. (2021 廣東改編)若向量 BA = (2,3), CA = (4,7)，則 BC =答案(一2, 4)解析由于 BA= (2,3), CA= (4,7),所以 BC = BA + AC= (2,3) + ( 4, 7)= ( 2, 4).2. 在厶ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP= 2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA= (4,3), PQ= (1,5),則 BC =.答案(6,21)解析 BC = 3PC= 3(2PQ PA)=6PQ 3PA= (6,30) (12,9)=(6,21).1 13. 若三點(diǎn) A(2,2), B(a,0), C(0, b) (ab0)共線，

16、貝U " + b的值為.1答案2解析AB = (a 2, 2), AC = ( 2, b 2),依題意，有(a 2)(b 2) 4 = 0,111即 ab 2a 2b= 0,所以 1 +1 1a b 2' >4. 如圖，在厶OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP= xOA + yOB,且BP=2FA，貝y x=, y =.答案磊解析由題意知OP = OB+ BP，又BP=2pA,所以O(shè)P= OB + 3BA = OB+|(oA- OB)=3oA+1 t21tt t且/ AOC = 30 ° OC= QA + OB3OB,所以 X= 3, y = 3.5. 已知A

17、( 3,0), B(0,3), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限,則實(shí)數(shù)入的值為.答案1解析由題意知 OA = ( 3,0), Ob = (0, - 3)，則 Oc = ( 3 入 3),由/ AOC = 30°知以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個(gè)角為 150° tan 150 =當(dāng) 即一申二一弟，入=1.6. 已知向量 a= (1,2), b= (x,1), u = a+ 2b, v= 2a b,且 u / v,則實(shí)數(shù) x 的值為.1答案2解析因?yàn)?a = (1,2), b = (x,1), u = a+ 2b, v = 2a b,所以 u = (1,2) + 2(x,1

18、) = (2x+ 1,4),v = 2(1,2) (x,1)= (2 x,3),又因?yàn)?u / v,所以 3(2x+ 1) 4(2 x)= 0,1即 10x= 5，解得 x= 5.一12tt7. (2021江蘇)設(shè)D , E分別是 ABC的邊AB , BC上的點(diǎn)，AD = 2AB , BE = 3BC若DE =入AB2 3+力AC(力，尼為實(shí)數(shù))，貝U入+蘢的值為.答案2解析如圖，DE = DB + BE = 1AB + 2BC= 1AB+ 2(AC AB) = 123236ab+|ac，貝y 入=6， &=3,入 + 山 28. 在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a,

19、b, c,若p= (a+ c, b), q = (b a, c a), 且p/ q,則角C=.答案60°解析因?yàn)?p /q,貝U (a + c)(c a) b(b a)= 0,所以 a2 + b2 c2= ab,a2 + b2 c22ab12,1結(jié)合余弦定理知，cosC = 2,又 0°C<180° , C = 60°二、解答題9. 已知 A(1,1)、B(3, - 1)、C(a, b).(1) 若A、B、C三點(diǎn)共線，求a、b的關(guān)系式；(2) 若Ac= 2AB,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解(1)由已知得 AB = (2, - 2), Ac = (a 1, b-

20、 1)./ a、b、c 三點(diǎn)共線， AB / Ac , 2(b-1) + 2(a- 1) = 0,即卩 a + b= 2.(2) / AC= 2AB, (a-1, b- 1) = 2(2 , - 2),a- 1 = 4b- 1 = - 4，解得a= 5 b=- 3點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5, - 3).10. 如圖，G是厶OAB的重心，P, Q分別是邊 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P, G , Q三點(diǎn)共線.(1) 設(shè)PG=泊Q,將OG用入 OP, OQ表示；(2) 設(shè)OP= xOA, OQ = yOB，證明：三+ f是定值.(1)解 Og=Op + Pg = OP+ Pq = Op+ xoQ - OP)=(1

21、-為OP + x5q.(2)證明一方面，由(1)，得OG = (1- ROP+ QQ = (1- RxOA + 入 OB；另一方面，/ G是厶OAB的重心， OG = |oM = 2 1(oA + OB) = 3oA+ 3而OA, OB不共線，由，得1- Xx= 31入尸3.解得1 1-x+ y=3(定值).備用題1. 設(shè)向量a, b滿足|a|= 2寸5, b= (2,1)，且a與b的方向相反，則 a的坐標(biāo)為.答案(一4， 2)解析T a與b方向相反，可設(shè)a = ?b( ?<0),二a= ?(2,1)= (2人加由舊|=寸5 X = 2Q5，解得 X= 2，故 a = ( 4, 2).2

22、. 設(shè)OA = (1, 2), OB = (a, 1), OC = ( b,0), a>0, b>0, O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A、B、C 三點(diǎn)共線，則-+ 2的最小值是a b答案8解析據(jù)已知得AB / AC,又 Ab = (a1,1), AC(b 1,2),2(a 1) ( b 1) = 0,2a+ b= 1,12 2a + b 4a + 2ba+b=丁=4 + b + 4a> 4 + 2 山竺 a ba b當(dāng)且僅當(dāng)a=半，即a=4,b= 2時(shí)取等號(hào),1 2 1+ 2的最小值是8.3. 已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD = 2DB, CD = rAB + sAC,貝V r

23、 + s的值是答案0解析/ Db = Ab Ad , cd = Ab DB AC = Ab1qd AC |cd= AB AC, CD = |aB |aC.又CD = rAB + sAC, r = 2, s= 1,3 3- r + s= 0.1>>4. 已知A(7,1)、B(1,4)，直線y = |ax與線段AB交于C,且AC= 2CB,則實(shí)數(shù)a =答案2解析設(shè) C(x, y)，則AC= (x 7, y 1), CB= (1 x,4 y),t tx 7 = 2 1 xx = 3 AC = 2CB, ，解得y 1 = 2 4 yy= 31 C(3,3).又:C 在直線 y= 2ax 上

24、， 3 =蘇 3, a = 2.5.設(shè)Ai, A2, A3, A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若AiA3= AA2 (入 R), AiA4=(jAiA21 i(吐 R), 且-+= 2，則稱 A3, A4 調(diào)和分割 A1, A2.已知點(diǎn) C(c,O), D(d,O)(c, d R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0), B(1,0)，則下面說法正確的是 .(填序號(hào)) C可能是線段AB的中點(diǎn)； D可能是線段 AB的中點(diǎn)； C, D可能同時(shí)在線段 AB 上; C, D不可能同時(shí)在線段 AB的延長線上.答案解析依題意，若c, d調(diào)和分割點(diǎn)a, b,則有Ac = -b , Ad = 廂，且1+ -= 2.若c

25、是線 -3段AB的中點(diǎn)，則有0,不可能成立.因此不對(duì)，22-33同理不對(duì).當(dāng)c, d同時(shí)在線段 ab上時(shí)，由AC= -Ab, Ad = 廂知0< -1,0< <，此時(shí)1 +1>2 與已 -31 1 知條件1+丄=2矛盾，因此不對(duì).-3.tttt1 1若C, D同時(shí)在線段 AB的延長線上，則AC= -B時(shí)，/>1 , AD = 3B時(shí)，3>1 ,此時(shí)-+-<2, -3與已知1+ 1= 2矛盾，故C, D不可能同時(shí)在線段 AB的延長線上. -3_ _26. 給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為 于如圖所示, 點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng).若O

26、c = xOA + yOB，其中x,y R，求x+ y的最大值.解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示，貝U A(1,0),1 _3B( 2， 2 )，、 2 n設(shè) / AOC = a a 0,)，則 C(cos a, sin a),由 OC = xOA + yOB,cos1a= X- psina=3Ty所以 X= cos a+a,y=寫sin a,n所以 x+ y= cos a+ 3sin a= 2sin( a+ §),又a 0 ,筍，所以當(dāng)a=扌寸，X+ y取得最大值2.7. 已知 0(0,0), A(1,2), B(4,5)及OP= OA + tAB

27、，試問：(1) t為何值時(shí)，P在x軸上？在y軸上？在第三象限？(2) 四邊形OABP能否成為平行四邊形，若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說明理由解/ OA= (1,2), AB = (3,3), OP = OA + tAB = (1 + 3t,2 + 3t).2若點(diǎn)P在x軸上，則2+ 3t= 0,解得t =-2；31若點(diǎn)P在y軸上，則1+ 3t= 0,解得t =-;1 + 3t<0,2若點(diǎn)P在第三象限，則解得t< 2.2+ 3t<0.3若四邊形OABP為平行四邊形，則OP= AB,1+ 3t= 3,2+ 3t= 3./該方程組無解，四邊形OABP不能成為平行四邊形231 平面

28、向量基本定理教案【教材】 人教版數(shù)學(xué)必修4 （A版）第105-106頁【課時(shí)安排】1個(gè)課時(shí)【教學(xué)對(duì)象】高一學(xué)生【授課教師】華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院陳曉妹【教材分析】1. 向量在數(shù)學(xué)中的地位向量是近代數(shù)學(xué)中重要的概念，它不僅是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，還是解決許多實(shí)際問 題的重要工具，因此具有很高的教育價(jià)值。2. 本節(jié)在教學(xué)中的地位平面向量基本定理是向量進(jìn)行坐標(biāo)表示，并由此進(jìn)一步將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)；該“定理”以二維向量空間為依托，可以推廣到n維向量空間，是今后引出空間向量用三維坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。因此本節(jié)知識(shí)在本章中起承上啟下的作用。3. 本節(jié)在教學(xué)思維方面的培養(yǎng)價(jià)值平面向量基本定理蘊(yùn)含

29、了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表 達(dá)事物（向量空間、具有某種性質(zhì)的對(duì)象的集合），并把對(duì)事物的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)事物基 本要素研究的典型范例，這是人們認(rèn)識(shí)事物的一種重要方法?！灸繕?biāo)分析】知識(shí)與技能1. 理解平面向量的基底的意義與作用，學(xué)會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)幕?，將?jiǎn)單圖形中的任一向量表 示為一組基底的線性組合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解決問題（如相交線交成線段比的問題等） 過程與方法1. 通過平面向量基本定理，認(rèn)識(shí)平面向量的“二維”性，并由此進(jìn)一步體會(huì)“某一方向上 的向量的一維性”，培養(yǎng)“維數(shù)”的基本觀念；2. 通過對(duì)平面向量基本定理的探究過程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)

30、生、形成過程，體驗(yàn)定 理所蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度價(jià)值觀1. 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)、合作交流的意識(shí)，感受數(shù)學(xué)思維的全過程；2. 與物理學(xué)科之間的滲透，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！緦W(xué)情分析】有利因素1. 學(xué)生在前面已經(jīng)掌握了向量的基本概念和基本運(yùn)算（特別是向量加法平行四邊形法則和向量共線的充要條件）都為學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提供了知識(shí)準(zhǔn)備；2. 學(xué)生在物理學(xué)科的學(xué)習(xí)中已經(jīng)清楚了力的合成和力的分解，同時(shí)作圖習(xí)慣已經(jīng)養(yǎng)成，這 為我們學(xué)習(xí)向量分解提供了認(rèn)知準(zhǔn)備。不利因素1.學(xué)生對(duì)向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的意義與作用認(rèn)識(shí)不夠，可能增加向量用基底表示時(shí)的難度;運(yùn)算特征的感受，容易將平面向量基本定理的

31、作用僅僅理解為形式上的變換。3. 如果不加啟發(fā)與引導(dǎo)，學(xué)生是不會(huì)從“基底”、“元”、“維數(shù)”這些角度去理解平面向量基本定理的深刻內(nèi)涵，也難以認(rèn)識(shí)這個(gè)定理在今后用向量方法解決問題中的重要作 用?！窘虒W(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵】重點(diǎn)：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用。難點(diǎn)：對(duì)平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程。 關(guān)鍵：分層次設(shè)計(jì)探究問題并讓學(xué)生進(jìn)行操作實(shí)踐。【教學(xué)方法】引導(dǎo)探究、討論交流?！窘虒W(xué)手段】計(jì)算機(jī)、PPT幾何畫板?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖游戲介紹：教師邊作讓學(xué)生通過自己冋桌兩人為一組，單號(hào)的冋學(xué)在平面上任意畫圖邊回顧動(dòng)手做圖，再對(duì)向量的加向量的求和和數(shù)兩個(gè)向量呂1,也并

32、分別乘以一個(gè)數(shù)再相加（減）減及數(shù)乘學(xué)生動(dòng)乘進(jìn)行復(fù)習(xí)，加運(yùn)算，平手作圖強(qiáng)學(xué)生對(duì)舊知的（一）如：.猶1十0，請(qǐng)雙號(hào)的同學(xué)做出所得的向行四邊形并在教鞏固。量。法則。師的引游戲?qū)聫?fù)通過游戲開場(chǎng)，引入師生共同回顧游戲中所利用的舊知識(shí)教師提示習(xí)舊知引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的教師進(jìn)一步拋出新的游戲題目：游戲其實(shí)識(shí)。興趣；同時(shí)新的是物理學(xué)游戲題目，激發(fā)現(xiàn)在由雙號(hào)的冋學(xué)在平面內(nèi)任意畫一個(gè)向量，中力的合了學(xué)生的好奇心成和分解和求知欲，順利冋桌一起討論能否用形如ie1+ e2的向問題。引入新課。量表示出來？探究一任意畫出的向量是否一疋可以用一個(gè)”已知的非零向量表示？、（復(fù)習(xí)向量共線疋理）教帥發(fā)出學(xué)生動(dòng)教師層層深入引（二）探究

33、二指令引導(dǎo)手操作導(dǎo)探索，從簡(jiǎn)單任意畫出的向量是否一疋可以用兩個(gè)”已知學(xué)生探索體會(huì)定到復(fù)雜，從特殊分層的不共線向量表示？新知。理的探到一般，讓學(xué)生探究如圖i,設(shè)口/ '是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向索過親身經(jīng)歷定理的量，a是這一平發(fā)生、形成過程，面內(nèi)的任一向并體會(huì)探索問題量。e1/的思路。/ ”e?卄圖1請(qǐng)你將向量a分解成圖中所給的兩個(gè)方向 上的向量。小組對(duì)照，比較分解成的兩個(gè)向量 的方向和長度是否一致？教師提問：學(xué)生畫完圖后，小組對(duì)照片刻， 比較分解成的兩個(gè)向量的方向和長度是否一 致，即觀察分解的結(jié)果是否唯一？（學(xué)生觀察并討論）探究結(jié)果分解結(jié)果一致，即該分解唯一。教師提問：既然a可以分解成

34、ei, e2兩個(gè) 方向上的向量，那么 a是否可以用含有 ei，e2 的式子表示出來？（學(xué)生回答，教師板書）板書：=ei,=入 iei； = e2；=入 2e2； = a = + =入 iei+ 入 £2追問：一對(duì)數(shù)入i，入2是否唯一？（學(xué)生討論并回答）教師點(diǎn)評(píng)：分解結(jié)果的唯一，決定了兩個(gè) 分解向量的唯一，由共線向量定理，有且只有 一個(gè)實(shí)數(shù) 入i使得=入iei成立，同理，實(shí)數(shù) 入2 也唯一，即一組數(shù) 入i，入2唯一確定。探究三探究二中的向量a可否用其他兩個(gè)不共線的向量表示出來？教師在黑板上另畫出向量a和不共線的向量土請(qǐng)一位同學(xué)板演出新分解。探究結(jié)果：可以選取不冋一組不共線的向量表示向量

35、a。探究四請(qǐng)同學(xué)們把剛剛同桌雙號(hào)同學(xué)任意畫出的向量用兩個(gè)不共線的向量表示出來。探究結(jié)果.平面內(nèi)任向量都可以八解成兩個(gè)（三）定理形成1探究結(jié)果：丨面內(nèi)任向量都可以分解成兩1給定方向上的向量。由分層探究的過程，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試概括定理，得到平面向量的基本定理及相關(guān)概念。學(xué)生活動(dòng)（思考并討論）： （i）作為基底的這 兩個(gè)向量是什么位置關(guān)系？ （共線還是不共線， 共線為什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少組？（無數(shù)組）（動(dòng)畫演示）（3 ）當(dāng)基底確定后向量的表示是否唯一？啟發(fā)學(xué)生 得出定 理，強(qiáng)調(diào) 定理中的 重點(diǎn)詞 句，剖析 這其實(shí)是 把向量代 數(shù)化，為 研究問題 帶來極大 方便。學(xué)生通 過分

36、層 探究的 過程歸 納總結(jié) 定理得出平面向量基 本定理的內(nèi)容， 進(jìn)一步強(qiáng)化理 解。（唯一）例已知ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) M，設(shè)AB =, AD =，試用基底、表示 MA、MB、MC 和 MD。（四）定理運(yùn)用思考一：能否用、表示 AC、DB ?用怎樣的法則運(yùn)算？思考二：mA，mB與哪些向量有關(guān)？學(xué)生回答，并完成題目，歸納解題方法。分析：1、不共線，所以平面內(nèi)的所有向量都可 以用它們作基底來表示。2此類題目的關(guān)鍵是找所求向量與基底 間的關(guān)系，常通過觀察圖形，運(yùn)用向量加減法 的平行四邊形法則和三角形法則來尋求。練習(xí)如圖：質(zhì)量為 m的物體靜止的放在斜面上，斜 面與水平面的夾角為，求斜面與物體的摩

37、擦力Pw教師 引導(dǎo) 學(xué)生 講解學(xué)生 思考 識(shí)別 解決 問題1.根據(jù)變式理 論，設(shè)計(jì)了不同 形式類型的典型 例題，強(qiáng)化定理 的應(yīng)用。2.練習(xí)主要是要 讓學(xué)生再一次感 受定理在物理學(xué) 上的應(yīng)用，體會(huì) 數(shù)學(xué)是“有用的”（六）小結(jié)作業(yè)知識(shí)總結(jié)：1平面向量基本定理2基底、向量夾角、垂直的概念3定理的應(yīng)用思想方法總結(jié)：本節(jié)課主要應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合及 轉(zhuǎn)化的思想。平時(shí)學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法 的運(yùn)用。作業(yè)：1、課本第77頁第3、4、5題，2、思考題：空間任一向量是否有類似的 結(jié)論嗎？第7章平面向量的坐標(biāo)表示*向凰俯應(yīng)用代數(shù)證1理解向量的有關(guān)概念(1) 向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別；(2

38、) 零向量：長度為零的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意方向;(3) 單位向量：給定一個(gè)非零向量 a，與a同向且長度為1的向量叫a的單位向量，a的單位向量是 a(4) 相等向量：方向與長度都相等的向量，相等向量有傳遞性；(5) 平行向量(也叫共線向量)：如果向量的基線互相平行或重合則稱這些向量共線或平行，記作：/，規(guī)定零向量和任何向量平行；提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個(gè)向量平行與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)平行向量的基線平行或重！合，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；i 平行向量無傳遞性！(因?yàn)橛?) ；!；三點(diǎn)A、B、C共線ABAC共線；/(6)

39、相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是長度相等方向相反的向量a .2向量的表示方法(1) 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；(2) 符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a , b , c等；(3) 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量i , j為基底，則平 面內(nèi)的任一向量 a可表示為a x i y j，稱 x, y為向量a的坐標(biāo)，a (x,y)叫做向量a的坐標(biāo) 表示，如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同3實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下:(1

40、) a pa ；(2) 當(dāng)0時(shí)，的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，的方向與a的方向相反；當(dāng) 0時(shí)，零向量，注意：a 0.4. 平面向量的數(shù)量積：(1) 兩個(gè)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量和，過0點(diǎn)作oA a，OB b，則/ AOB = 9(0 °叫0° )做向量與的夾角.當(dāng) 9= 0°時(shí)，與 同向；當(dāng)9= 180°時(shí)，與反向；如果與的夾角是 90°我們說與垂直，記作a b .(2) 兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為9,貝U數(shù)量a b cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b，即a b = a b cos .規(guī)定零向量與任一向

41、量的數(shù)量積為0 .若a (X1, yi ), b (X2 , y2)，則 a b = X1X2 yiy2 .(3) 向量的數(shù)量積的幾何意義：b cos叫做向量在方向上的投影(堤向量與的夾角).a b的幾何意義是，數(shù)量 a b等于模a與b在a上的投影的積.(4) 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)與都是非零向量，是單位向量，是與的夾角.當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = a b ;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = - a b |a b | ba b一0則 a b為鈍角或者角a ba b(5) 向量數(shù)量積的運(yùn)算律： - 【提醒】(1)若a b 0則 a b為銳角或者角若 :(2) | a b |=b可以用來證明all b.I

42、I(3) 非零向量，夾角的計(jì)算公式：cosIIIIk (4)| a b | a b . ab = a b c ； a b = a b = a b a b c = acbc5. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) i、 2，使a = ie2e2 ， ©、e2稱為一組基底.6. 向量的運(yùn)算：(1)幾何運(yùn)算：向量加法：利用 平行四邊形法則”進(jìn)行，但 平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，除此之外， 向量加法還可利用 三角形法則”：設(shè)AB a,BC b ,那么向量AC叫做a與b的和，即 a b AB BC AC ；&

43、quot; " " _ !- -F - -! _- F'! -f !"f - "1 H! - F- - ” >"! -” - » - - F- F «- - - - " _，> -提醒：平行四邊形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，三角形法則要求參與加！!i法的兩個(gè)向量的首尾相接.可推廣到AA2 AA3 . An iA AiA(據(jù)此，可根據(jù)需要在一個(gè)向量的兩個(gè)端點(diǎn)之間任意插點(diǎn))向量的減法：用 三角形法則”設(shè)AB a, ACb，那么a b AB AC CB由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).容易得

44、出：a ib I a b a ib,(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a (Xi,yJ,b區(qū)小)，則：向量的加減法運(yùn)算：a b xiX2, yiy2實(shí)數(shù)與向量的積：ax-i, y-i若 A(Xi, yi),B(x2, y2)，則 AB線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)；X2Xi,y2y-i，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向平面向量數(shù)量積:a b = x1x2yy ；向量的模：| a | xy2, a|a|27. 向量的運(yùn)算律:(1 )交換律:a)()a,(2 )結(jié)合律:(ab)c (ab)c a (bc)；(3 )分配律：8.向量平行(共線)的充要條件:(ab)(a b)(i)向量b與非零向量共線的充要條件是實(shí)

45、數(shù)入是唯一存在的,當(dāng)a與b同向時(shí)，0 ;當(dāng)與異向時(shí),若 aXi, yi , bX2, y?，貝U a / /bx$2 yix? (a b)2(a b)2.9.向量垂直的充要條件：a b a b 0X1X2y2向量中一些常用的結(jié)論(1)(2)一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;a、a、a、b同向或有b反向或有b不共線aalHa ba b，特別地,a bH H,B X2, y2(這些和實(shí)數(shù)比較類似).X-|x2X3y1y2y33J3PG1PAPBPCG為ABC的重心，3特別地PAPBPC0P為ABC的重心；PAPBPBPCPCPA P為ABC的垂心；向量ABAC0所在直線過 AB

46、C的內(nèi)心(是 BAC的角平在 ABC中,若(3),C x3, y3，則其重心的坐標(biāo)為Xi，yiACAB分線所在直線)；云(4 )向量 PAPBPCOBOCO是ABC的外心;中三終點(diǎn)A、B、C共線存在實(shí)數(shù)使得PA PB PC 且7.1向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算【例i】2,5 ,例題精講已知G1,G2分別是 ABC和厶ACD的重心，是G1G2的中點(diǎn)，若A,B,C,D的坐標(biāo)分別是5,7 ,10,2，求點(diǎn)的坐標(biāo).【例 2】已知點(diǎn) 0( 0, 0), A ( 1, 2), B (4, 5)及=+t,0,0求：(1) t為何值時(shí)，P在x軸上？ P在y軸上？ P在第二象限？(2)四邊形OABP能否構(gòu)成平行四邊形

47、？若能，求出相應(yīng)的 t值；若不能，請(qǐng)說明理由.1 已知 A(x,2)，B(5, y 2)，若 AB (4,6)，則 x, y 的值分別為.2已知向量 a (2x,7) , b (6,x4)，若 a b，則 x .3已知平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A( 1, 2)、B(3, 1)、C(5,6)，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 4若向量a (3,2), b (0, 1)，則向量2b a的坐標(biāo)是5若 a (2,3) , b (4, 1 y)，且 a/b，則等于6若為 ABC的重心，則下列各向量中與AB共線的是( )A AB BC ACB AM MB BCC AM BM CMD AM AM AM AC7在矩形 ABCD

48、中，ZB J3, BC 1，則向量 AB AD AC的長度等于()A B 2 3C D &在 ABC中，、分別為邊AB、BC、的中點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，點(diǎn)坐標(biāo)為(3,5)，點(diǎn)坐標(biāo)為(2,7), 則點(diǎn)坐標(biāo)為9已知a (1,2), b (x,1)，當(dāng)a 2b與2a b共線時(shí)，的值為 10 當(dāng)m 時(shí)，向量a (2, m 1)與b (m 2,6)共線且方向相同；當(dāng) m 時(shí)，與共線且方向相反11.若三點(diǎn) A(1,1) , B(2, 4), C(x,9)共線，則 x 12 設(shè)a ( 1,2), b ( 1,1) , c (3, 2)，用、作基底有 c pa qb，則 p , q 13 已知點(diǎn)

49、M(x, y)在向量OP (1,2)所在的直線上，則x, y所滿足的條件是 14已知 R(4, 3)R( 2,6),(1)若點(diǎn)在線段RR2上，且RP- 2FR2；則點(diǎn)的坐標(biāo)是；若點(diǎn)在線段RP2的延長線上 且RP 4PR2i則點(diǎn)的坐標(biāo)是若點(diǎn)在線段P2R的延長線上,PP -|PPi則點(diǎn)的坐標(biāo)是；若點(diǎn)在線段P2R的延長線上，PR 4|PP2,則點(diǎn)的坐標(biāo)是.515.下列四個(gè)命題：若a b 0，則a 0或b 0 ；若e為單位向量，則a a e :a a a若a與b共線，b與c共線，則a與c共線其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是 16已知 0(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，且 OP OA tOB，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在軸上.17已知a , b是兩個(gè)非零向量，則“a , b不共線”是“a b a b ”的18.下列四個(gè)命題中是真命題的有 個(gè).若a b與a b是共線向量，則與也是共線向量 若| a |b|a b |，則與是共線向量 若| a b | |a| |b |，則與是共線向量若| a | |b | a | b |，則與任何向量都共線19在 ABC中,設(shè)向量CA a,CB b，貝U ABC的面積S ABC =,ABC的周長C abc=.a-i,a2,.,an性相關(guān).若已知匕：k?: ka =a11,1 ,a2