直線上一動點到兩固定點之間距離的最值

1、直線上一動點到兩固定點之間距離的最值【題型】P點為直線L上一動點，A點、B點不在直線上，且固定。當(dāng)P點移動到什么位置時，P點到A點的距離與P點到B點的距離之差的絕對值最大?！疽辍慨?dāng)P點移動到什么位置時，P點到A點的距離與P點到B點的距離之和最小?！舅悸贰肯旅?條原理是解決此類問題的基礎(chǔ)：1、所有此類問題都應(yīng)納入“三角形”中求解；（定理1）2、運用“在同一平面之中，兩點之間，線段最短?！保ǘɡ?）3、運用“在同一平面中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊?！保ǘɡ?）【幾種不同情況的詳細(xì)解答及相應(yīng)證明】1、求直線上動點到直線外兩固定點距離之差的絕對值的最大值（1）當(dāng)兩固定點在直線同

2、側(cè)時，如圖1BP"PMM'P'L圖1假設(shè)直線上任意一點P'點，連接P'點與B點，P'點與A點，形成PBA,根據(jù)“定理3”,得知|P'A-PB|<AB;當(dāng)P'點移動到P”點時，分別連接A、B兩點，形成PMBA,根據(jù)“定理3"，得知|P"A-P"B|<AB;只有移動到P點，即BA連線的延長線與直線L的交點時，|PA-PB|=AB。結(jié)論：當(dāng)直線上一動點，與直線一側(cè)的兩固定點之間距離之差的絕對值最大時，P點位于兩點連線的延長線與直線的交點處。計算：P點的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖1,過A點做

3、直線垂直與直線L,垂足為M,過B點做直線垂直于直線L,垂足為M'這樣，AM/BM'因此，在直角PBM'中，AM/BM=PM/PM'所以，PM'=PM+MM'最終得出：PM=（AMXMM，）+|BM'-AM|,以此確定P點的位置（或坐標(biāo)）。同樣道理，PM/MM=PA/AB所以，最大值A(chǔ)B=MM7PMXPA,根據(jù)勾股定理計算出PA后，就計算出了AB的長度。（2）當(dāng)兩固定點在直線異側(cè)時，如圖2A圖2對于處于直線異側(cè)的兩點，先通過其中一點A做一條垂直與直線L的直線，垂足為M,且使AM=AM（即做A點對于直線L的對稱點），將異側(cè)問題轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題。

4、然后，連接A和B點，并延長交于直線于P點，則P點就是到A、B兩點距離之差的絕對值最大時的點。同樣，在直線上任意一點P；并連接PA,PB,P'A',可以看出，在PAB中，|PA-PB|<AB，由于PA=PA，所以，|PA-PB|=|PA-PB|<AB。將P'點移動到P”點，并構(gòu)成PNB,同樣道理可以得出|P”A-P”B|=|P”A-P”B|<AB。所以，只有將P點移動到AB的延長線與直線L的交點處時，才能得到|PA-PB|=|PA-PB|=AB。結(jié)論：當(dāng)直線上一動點，與直線異側(cè)的兩固定點之間距離之差的絕對值最大時，P點位于一點與另外一點對于直線的對稱點的

5、連線的延長線與直線的交點處。計算：P點的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖2,過B點做直線垂直于直線L,垂足為M'所以在直角PMB中，AM/BM=PM/PM由于PM=PM+MM'所以，PM=（A'MXMM'）+|A'MBM'|,以此確定P點的位置（或坐標(biāo)）。同樣道理，PA/AB=PM/MM，所以，P點到A、B兩點距離之差的絕對值最大值為A'B=PA'XMM'+PM,根據(jù)勾股定理計算出PA'后，就計算出了AB的長度?！颈竟?jié)結(jié)論】直線上移動點到直線外兩固定點之間的距離之差的絕對值，只存在最大值，不存在最小值。當(dāng)兩點在直線同

6、側(cè)時，最大值為兩點連線長度；當(dāng)兩點在直線異側(cè)時，最大值為一點與另一點對于直線的對稱點的連線長度。推導(dǎo)出：當(dāng)兩固定點在直線上時，動點與兩定點之間的距離之差的絕對值，有且只有一個值（即常量），即兩點之間的線段長。2、求直線上動點到直線外兩固定點的距離之和絕對值的最小值(1)當(dāng)兩固定點在直線同側(cè)時，如圖3A圖3首先，過A點做直線垂直于直線L,垂足M,并使AM=MA'連接AB,AB,AB與直線L交于P點，連接AP在直線L上任意取一點P',連接PB,PA,PA'從圖上可以直觀得出，PA=PA',所以，P'點到A、B點的距離之和與P'點到A'點、B點

7、的距離之和相等，即|PA+PB|=|PA+PB|根據(jù)“定理3”，在APA'B中，PB+PA>AB,所以，PB+PA>AB同樣道理，如果P'點移動到P"點，與A'、B點構(gòu)成PAB,p"b+pa'>a'b,而p'A=PA所以，P"B+PA>AB只有當(dāng)P點移動到A'、B點連線與直線L的交點處時，即P點即處于直線L上，又處于線段AB上時，|PA+PB|=AB,而PA=PA,所以，|PA+PB|=A'B這時，P點到兩定點的距離之和的絕對值才是其他所有點到兩定點距離之和的絕對值中最小的。結(jié)

8、論：當(dāng)直線上一動點到直線同側(cè)兩固定點之距離之和的絕對值最小時，P點位于固定點與另一固定點對于直線的對稱點的連線與直線的交點處。計算：P點的位置(或坐標(biāo))以及最小值如圖3,過B點做直線垂直于直線L,垂足為M'由于直角三角形MPA與直角三角形BPM',三角相等，所以，這兩個三角形為相似三角形所以，MP/PM=MA7BM',且PM=MM-MP所以，MP=MA'XMM'+(MA+BM'),以此確定P點位置(或坐標(biāo))又因為，|PA+PB|=|PA+PB|=AB,且MP,PM'=MM'-MP均已計算出,運用勾股定理，分別計算出PA'、PB長度，即可確定A'B的長度，即P點到兩固定點距離之和絕對值的最小值。(2)當(dāng)兩固定點在直線L異側(cè)時，如圖4A圖4根據(jù)上述同側(cè)問題，我們可以看出，直接連接A、B兩點與直線L的交點就是符合要求的P點，在此不再累述?！颈竟?jié)結(jié)論】直線上一動點到直線外兩固定點的距離之和的絕對值只存在最小值，沒有最大值。當(dāng)兩固定點在直線同側(cè)時，動點位于固定點與另一固定點對于直線的對稱點的連線與直