(完整版)必修四平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示(附答案)

1、平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線(xiàn) .3.掌握三點(diǎn)共線(xiàn)的判斷方法知識(shí)點(diǎn)一平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示1設(shè) a (x1， y1)， b (x2， y2)，其中 b0， a、 b 共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)，使 a b.2如果用坐標(biāo)表示可寫(xiě)為(x1， y1) (x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng) x1 y2 x2y1 0 時(shí)，向量 a、 b(b 0)共線(xiàn)思考 1向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，若 x1y1 x2y2 0 或 x1x2 y1 y2 0 能判斷 a b 嗎？答 不能思考 2如果兩個(gè)非零向量共線(xiàn)，你能通過(guò)其坐

2、標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎？答 能將 b 寫(xiě)成 a 形式， >0 時(shí) b 與 a 同向， <0 時(shí)， b 與 a 反向知識(shí)點(diǎn)二共線(xiàn)向量與線(xiàn)段分點(diǎn)坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中， 我們可以利用共線(xiàn)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，求解坐標(biāo)如圖所示，設(shè) P 點(diǎn)是直線(xiàn) P11 .2P PP 上的一點(diǎn)，且PP2思考 1定比 與分點(diǎn)位置的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：< 1 1 1<<0 0P 點(diǎn)位置在 P P 的延長(zhǎng)線(xiàn)上在 P2P 的延長(zhǎng)線(xiàn)上與P重合1 211P 點(diǎn)名稱(chēng)不存在外分點(diǎn)外分點(diǎn)始點(diǎn)0<<1 1>1P 點(diǎn)位置在 P1 與中點(diǎn)之間P 為中點(diǎn)在中點(diǎn)與 P2 之間P 點(diǎn)名稱(chēng)內(nèi)分點(diǎn)思考

3、 2設(shè) P1( x1， y1)， P2(x2， y2)，試用 及 P1， P2 點(diǎn)的坐標(biāo)表示P(x，y)點(diǎn)的坐標(biāo)答案 OP OP1P OP PP1P12OP1(OP2OP )OP1 OP2 OP，1OP1 OP2OP11221(x ， y )(x， y )1 1 11x1，y1x2，y21 1 1 1x1 x2 y1 y2，.11 x1 x2 y1 y2P，.1 1 題型一平面向量共線(xiàn)的判定例 1 已知 a(1,2) ，b ( 3,2)，當(dāng) k 為何值時(shí)， ka b 與 a 3b 平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？解 ka b k(1,2) ( 3,2) (k 3,2k2)，a 3b (1,2)

4、 3( 3,2)(10， 4)， ka b 與 a 3b 平行，1( k3)× ( 4) 10(2k 2) 0，解得 k 3.此時(shí) ka b 1 3， 2 2 1(a 3b)，333當(dāng) k 13時(shí)， ka b 與 a 3b 平行，并且反向跟蹤訓(xùn)練 1 已知 A(2,1)， B(0,4)，C(1,3)， D(5， 3)判斷 AB與 CD 是否共線(xiàn)？如果共線(xiàn)，它們的方向相同還是相反？解AB (0,4) (2,1) ( 2,3)，CD (5， 3) (1,3) (4， 6)方法一 ( 2)×( 6) 3× 40，且 ( 2)× 4<0，AB 與CD 共線(xiàn)

5、且方向相反方法二CD 2AB， AB與CD共線(xiàn)且方向相反題型二利用向量共線(xiàn)求點(diǎn)的坐標(biāo)例 2已知點(diǎn) A(3， 4) 與點(diǎn) B( 1,2)，點(diǎn)P 在直線(xiàn) AB 上，且 |AP| 2|PB|，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)解 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x，y) |AP|2|PB|， AP 2PB或 AP2PB.4) 2( 1 x,2y)，當(dāng)AP2PB時(shí)， (x 3， y1x 3 2 2xx，解得3，y 01P 點(diǎn)坐標(biāo)為3，0 .當(dāng)AP 2PB時(shí)，則( x3， y 4) 2( 1 x,2 y)，x 32 2xx 5，解得.y 4 4 2yy 8P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 5,8)綜上，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為1， 0或 ( 5,8)3跟蹤

6、訓(xùn)練 213，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)已知點(diǎn) A(1， 2)，若向量 AB與 a(2,3)同向， |AB| 2解設(shè) AB (x， y)， AB與 a 同向，AB a (>0) ，即 (x， y) (2,3)，x 2，又 |AB13，y 3，| 22222xy52. 4 9 52， 2 (>0) 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (5,4) 即AB (4,6)題型三平面向量共線(xiàn)的綜合運(yùn)用例 3 如圖所示， 已知點(diǎn) A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交點(diǎn) P 的坐標(biāo)解方法一 (4t,4t)，設(shè) OP tOB t(4,4)則AP OP OA (4t,4t) (4,0) (4t 4,4

7、t)，AC (2,6) (4,0) (2,6)由AP ，AC共線(xiàn)的條件知(4t 4)× 6 4t× (2) 0，3解得 t 4.OP (4t,4t) (3,3)，P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,3)方法二設(shè) P(x， y)，則 OP(x， y)，OB (4,4) OP， OB共線(xiàn)， 4x 4y 0， 又CP (x2， y 6)， CA (2，6)，且向量 CP、 CA共線(xiàn)， 6(x 2) 2(6 y) 0， 解 組成的方程組，得x 3， y 3，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (3,3) 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示，在四邊形ABCD 中，已知A(2,6)、 B(6,4)、 C(5,0)、 D (1,0)，

8、求直線(xiàn)AC 與 BD 交點(diǎn) P 的坐標(biāo)解 設(shè) P(x，y) ，則 DP (x 1， y)，DB (5,4)，CA (3,6)， DC (4,0)由 B， P， D 三點(diǎn)共線(xiàn)可得 DP DB (5， 4)，又 CP DP DC (54,4由于 CP與 CA共線(xiàn)得， (5 4)6 12 0.44 20，16，解之得 ， DP DB7777P 的坐標(biāo)為27167 ，7 .用向量方法研究平面幾何問(wèn)題例 4已知 ABCD 是正方形， BEAC，AC CE，EC 的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：AF AE.證明建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了研究方便不妨設(shè)正方形ABCD 的邊長(zhǎng)為1，則 B(1,0)，

9、 C(1,1)，D (0,1)，設(shè) E(x， y)，這里 y>0，于是 AC (1,1)， BE (x 1， y)AC BE， 1× y (x 1)× 1 0? y x1. AC OC CE(已知 )，CE 2OC 2? (x 1)2 (y1) 2 2.33x，由 y>0，聯(lián)立 解得13y，即E3 3，1 3.22AE OE3 321 3 2 31.22131 3設(shè) F(t,0)，則 FC (1 t,1)， CE2，.2F、 C、 E 三點(diǎn)共線(xiàn)， FC CE.(1 t)×1 33× 10，解得 t 1 3. 12 2 AF OF 1 3， A

10、FAE.1已知 a ( 1,2)， b (2，y)，若 a b，則 y 的值是 ()A1B 1C4D 42下列各組的兩個(gè)向量共線(xiàn)的是()A a1 ( 2,3)，b1 (4,6)B a2 (1， 2) ，b2 (7,14)C a3 (2,3) ， b3 (3,2)D a4 ( 3,2)，b4 (6， 4)3已知向量 OA (k,12)，OB (4,5)，OC(10，k)，如果 A、B、C 三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù) k _.4已知四邊形 ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn) A，B，C，D 的坐標(biāo)依次是 (3， 1)，(1,2)，( 1,1)， (3，5) 求證：四邊形 ABCD 是梯形5已知點(diǎn)A( 1， 3) ，B(1

11、,1)，直線(xiàn) AB 與直線(xiàn) xy 5 0 交于點(diǎn) C，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)一、選擇題1向量 a (1， 2)， |b| 4|a|， a b，則 b 可能是 ()A (4,8)B (8,4)C ( 4， 8)D ( 4,8) D點(diǎn)坐標(biāo)是()2已知三點(diǎn) A( 1,1)， B(0,2)， C(2,0)，若 AB和 CD 是相反向量，則A (1,0)B ( 1,0)C (1， 1)D ( 1,1)3已知平面向量a (x,1)，b ( x， x2)，則向量 a b()A 平行于 x 軸B平行于第一、三象限的角平分線(xiàn)C平行于y 軸D平行于第二、四象限的角平分線(xiàn)4若 a (2cos ， 1)， b (sin ，

12、 1)，且 a b，則 tan 等于 ()11A 2B.2C 2D 25已知向量a (1,2)，b (0,1)，設(shè) u a kb，v 2a b，若 u v，則實(shí)數(shù) k 的值為 ()11A 1B 2C.2D 16已知 A、B、C 三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且A(3， 6)， B( 5,2)，若 C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則 C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ()A 13B 9C 9D 13二、填空題7已知向量a (2x 1,4)，b (2 x,3)，若 a b，則實(shí)數(shù)x 的值等于 _8若三點(diǎn)P(1,1) ， A(2， 4)， B(x， 9)共線(xiàn)，則 x 的值為 _9設(shè)向量a (1,2) ， b (2,3)若向量a b 與向量

13、c ( 4， 7)共線(xiàn)，則 _.10已知點(diǎn)A， B 的坐標(biāo)分別為(2， 2)， (4,3)，向量p 的坐標(biāo)為 (2k 1,7)且 p AB，則 k的值為 _三、解答題1 11已知兩點(diǎn)A(3， 4)，B( 9,2)在直線(xiàn) AB 上，求一點(diǎn)P 使 |AP | 3|AB|.12已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A( x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)試確定 ABC 的重心 G 的坐標(biāo)1113如圖所示，已知AOB 中， A(0,5)， O(0,0)，B(4,3)， OC 4OA，OD 2OB， AD 與 BC相交于點(diǎn)M，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)當(dāng)堂檢測(cè)答案1答案D解析 a b， ( 1

14、)× y 2× 2 0， y 4.2 答案D32， a4 b4，故選 D.解析 643 答案 2 或11， k)，解析 OA (k,12)，OB (4,5)，OC(10AB (4 k，7)， BC (6，k 5)，A、 B、 C 三點(diǎn)共線(xiàn)， (4 k)( k5) (7)× 6 0，解得 k 2 或 k 11.4 證明 A(3， 1)，B(1,2) ， C( 1,1)， D (3， 5)AB (2,3)， CD (4， 6) 1 CD 2AB， |AB| |CD |，2AB CD ，且 AB CD，四邊形 ABCD 是梯形5 解設(shè)點(diǎn) C(x， y) A、 B、 C

15、三點(diǎn)共線(xiàn)， (2， 4)AC AB (2,4) ( x1， y 3) (2， 4)，x 21， C(2 1,4 3)y 43把點(diǎn) C(21,4 3)代入 x y 5 0 得3(21) (4 3) 50，解得 2. C(2,3)課時(shí)精練答案一、選擇題1答案D2答案C3答案C解析 a b (0,1 x2)， 平行于 y 軸4答案A解析 a b， 2cos × 1 sin . tan 2.故選 A.5答案B解析 u (1,2) k(0,1) (1,2 k)，v (2,4) (0,1) (2,3)，1又 u v， 1× 32(2 k)，得 k 2.故選 B.6答案C解析，y 6)設(shè)

16、 C 點(diǎn)坐標(biāo) (6， y)，則 AB ( 8,8)，AC (33y 6A、 B、 C 三點(diǎn)共線(xiàn)， ， y 9.二、填空題17 答案2解析由 a b 得 3(2x 1) 4(2 x)，解得 x1.28答案 3解析PA(1， 5)，PB (x1， 10)，P、 A、 B 三點(diǎn)共線(xiàn)， PA與 PB 共線(xiàn) 1× ( 10) ( 5)× (x 1) 0，解得 x3.9 答案2解析ab ( 2,2 3)， c ( 4， 7)， 2 2 3， 2. 4 710 答案1910解析，由 A(2， 2)， B(4,3)知 AB (2,5)又 p (2k 1,7)且 p AB， (2k1)

17、15; 5 2× 7 0， k 19. 10三、解答題11 解設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x， y)，1 若點(diǎn) P 在線(xiàn)段 AB 上，則 AP 2PB，1( x3， y 4) 2(9 x,2 y)解得 x 1， y 2， P( 1， 2)1 若點(diǎn) P 在線(xiàn)段 BA 的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則AP 4PB，1( x3， y 4) 4( 9 x,2 y)解得 x 7，y 6， P(7， 6)綜上可得點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 ( 1， 2)或 (7， 6)12 解延長(zhǎng) AG交 BC于點(diǎn) D，G 為 ABC 的重心，D 為 BC 的中點(diǎn)，2 AG3AD2 1 1 3(2AB2AC)1 1 3AB 3AC， 1 1 OG OA AG OA3AB3AC 11 OA(OB OA) (OC331 3(OAOB OC) x1 x2