(完整word版)極限的解法與技巧_匯總,推薦文檔

1、極限的求法與技巧極限是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效的工具。以下列舉種方法， 并附有例題。1. 運用極限的定義例：用極限定義證明 :lim x 23x21x 2x2證:由 x 23 x 21x 24 x 4x2x22x2x2x20取則當(dāng) 0x2時, 就有x 23x2x21由函數(shù)極限定義有 :x 23x2lim1x 2x22. 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限預(yù)備知識：若數(shù)列 an 收斂，則 an 為有界數(shù)列，即存在正數(shù) M ，使得對一切正整數(shù) n ，有 an M .此方法的解題程序為：1 、直接對通項進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗證數(shù)列an 單調(diào)有界；2 、設(shè) an 的極限存在，記為 lim anA 代入給定的表達(dá)式中

2、，則該n式變?yōu)?A 的代數(shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。例：若序列 an 的項滿足 a1a (a0) 且 an 11ana , (n 1,2, ) ,2an1試證 an 有極限并求此極限。解由 a1aa21a1 a12a2 a12 aa1a12a1a1a2用數(shù)學(xué)歸納法證明aka需注意222aak1 aka1 akaakaka .2ak2ak又an an 11 anaan2a02an2anan 為單調(diào)減函數(shù)且有下界。令其極限為 A由 an 11ana有：2anlim an 11anan2an即A1 Aa2AA2aAa( A0)從而lim ana .n3. 利用等價無窮小替換常用的等價無窮小關(guān)系：x

3、0 ,sin x x , tan x x , arcsin x x arctan x x ,n 1x1 1 x,e x1 x , log a (1x) x,a x1 x ln a,nln a21 x 1 1 x , (1 x )1 x , ln( 1 x) x,2等價無窮小代換法設(shè) , ' , , ' 都是同一極限過程中的無窮小量，且有：' ,' ，'lim '存在，'則lim也存在，且有 lim= lim '例: 求極限 lim1cos x 22 sin x2x0 x解:sin x2 x 2 ,1cos x 2 ( x 2 )

4、221cos x2( x2 ) 21lim2x2sin x2= 2x22x 0x注： 在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù) ”4利用極限的四則運算法則極限的四則運算法則敘述如下：若(I)(II)limfxAlimgxB( )( )xx0x x0limf (x)g ( x)limf ( x)lim g(x)A Bxx0x x0xx0limf ( x)g( x)limf (x)limg( x)A Bx x0x x0x x0(III) 若 B0 則：f ( x)lim f ( x)Axx0l

5、imlim g( x)Bxx0 g (x)xx03（IV ）limc f x climf x)cA（c為常數(shù)）( )(x x0x x0上述性質(zhì)對于x, x, x時也同樣成立總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例：求解:lim x 23x5x2x4lim x 23x5= 2232 55x2x42425、利用兩個重要的極限。( A) lim sin x1(B) lim (11) xex 0xxx但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：( A' ) lim sin( x)1, ( x)0)( x)(B ' ) lim(11 )( x)e, ( x)(x)例：求

6、下列函數(shù)極限、a x1、ln cos ax(1) limx(2) limx 0x 0 ln cosbx解：（ 1）令 a x1 u, 則 xln(1u) 于是 a x1u ln aln axln(1 u)又當(dāng) x0時， u0故有：lim a x1limu ln alimln alimln a1ln ax0xu 0 ln(1 u)u 0ln(1 u)u 0ln(1 u) uu(2)、原式lim ln( 1(cos ax1)x 0ln1(cos bx1)4ln(1(cosax1) cosbx1limcosax 1cosax1x 0ln1(cosbx1)limcosbx1cosbx1x0 cosax

7、12sinlimx02sin22sin 2a xa2bx(x)2(x)2b2222blim2ba22x0a2xsinx(2x)2b2(x)6. 利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對所求式子作適當(dāng)變形， 從而達(dá)到求其極限的目的， 這種方法靈活， 有相當(dāng)?shù)募记尚?。例：求n1 n 11.limnsinnnn解=n1 n 1limnnnn 1n1limn n1sinn1sinn1n=lim 1n 111sin=n nn1lim 1n n1n1sin 1n11nn= e 1 1= e51例：求極限lim sin xx a .xa sin a1解 lim s

8、in xx a sin axa1=lim 1sin x sin a x asin ax axax a2 cossin= lim 122x asin a1 sin a cosax a cos a sin axsin aa cos a ( x a )= lim 12 cosasin2sin ax acos asin axa= lim 12 cosasin2sin ax asin acos a ( xa)ctga=ectgasin xa x a227、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。（I ）若： lim f (x)則10limf (x)(II)若:limf (x)0且 f(x)0 則1limf (x)

9、例:求下列極限1 lim1lim5x1xxx 11解:由lim (x5)故lim0xxx56由 lim ( x 1) 0故lim1 =x 1x 1 x18.變量替換例求極限.7分析 當(dāng)時, 分子、分母都趨于, 不能直接應(yīng)用法則 , 注意到, 故可作變量替換 .8解原式 =(令,9引進(jìn)新的變量 , 將原來的關(guān)于的極限轉(zhuǎn)化為的極限 .)10=.(型, 最高次冪在分母上 )9. 分段函數(shù)的極限11例設(shè)討論在點處的極限是否存在 .12分析所給函數(shù)是分段函數(shù) ,是分段點 ,要知是否存在 , 必須從極限存在的充要條件入手 .13解 因為14所以不存在 .注1因為從的左邊趨于15, 則, 故.16注2因為從

10、的右邊趨于, 則17, 故.10 、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限）。(i )若 f ( x)在 x x0處連續(xù)，則 limf ( x)f ( x0 )xx0(ii )若 f ( x)是復(fù)合函數(shù)，又lim( x)a且xx0f (u)在 ua處連續(xù)，則 limf (x)f lim ( x) f (a)x x0x x0例：求下列函數(shù)的極限、ex cosx5（2）limln(1 x)(1) lim2x 0 1x ln(1x)x0x18解：由于 x0屬于初等函數(shù)excos x5的定義域之內(nèi)。f (x)ln(11 x2x)故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：excos x5lim2ln(1f (0)

11、x 0 1 xx)(2)、由 ln(1x)ln(1 x)x61x1令x(1x) x 故有：ln(1x)11limlim ln(1 x) xln( lim (1 x) x ) ln e 1x 0xx 0x 011 、洛必達(dá)法則（適用于未定式極限）定理：若(i ) lim f ( x)0, lim g( x)0xx0x x0(ii ) f與 在的某空心鄰域0內(nèi)可導(dǎo)，且'( x) 0gx0u( x0 )g(iii ) limf '(x)可為實數(shù)，也可為或 ），則'( x)A( Axx0 glimf ( x)limf ' (x)Ax x0g (x)xx0g '

12、( x)此定理是對 0 型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法0則。注：運用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點：1 、要注意條件，也就是說，在沒有化為0時不可求導(dǎo)。,02 、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3 、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會引起錯誤。194、當(dāng) limf '(x)不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，x a g'(x)此時求極限須用另外方法。例： 求下列函數(shù)的極限ex(12x)1ln x2 lim(a lim2ax 0ln( 1x )xx

13、解：令 f(x)=ex(11g(x)= l2x) 2 ,f ' ( x)ex(12x)2,g '(x)2x11x2f " (x)ex(12x)2, g "( x)2(1x2)3(1 x2 ) 2由于 f ( 0)f ' (0)0, g(0)g ' (0)0但 f " (0)2, g "(0)20, x0)n(1x 2 )從而運用洛必達(dá)法則兩次后得到ex(11ex(11ex(1322x) 22x) 22x) 2limln( 1x2)lim2xlim2(1x2)1x 0x 0x 021x 2(1x2 )2 由 lim ln x

14、, lim x a故此例屬于型，由洛必達(dá)法則xx有：ln x11limlimxlim0( a 0, x 0)xaaxa 1axaxxxsin x 22 = 1limx2x 0sin x2cos x2x 2注: 此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個重要極限法。 解法二 :20lim1cos x 22sin 2x 2sin x 21sin x21x2sin x2= lim2lim22x 0x2sin x2x2sin x2x22x 0x 02x 222注：此解法利用 “三角和差化積法 ”配合使用兩個重要極限法。 解法三 :lim1cos x21cos x 2lim2x sin x 22xsin x 212

15、2lim223lim22x 0xsin xx 0 xxx 04xx 0 4xx注: 此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及洛必達(dá)法則解法四 :1cos x 21cos x2x2(x 2 )2x21lim2lim2 sin x 2limx 4sin x2sin x22x0 xx 0x 0x4注: 此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。解法五 :2 sin2 x2x2)21422(xlim 1 cos xlim2lim2lim21x0 x2 sin x 2x 0x 2 sin x2x 0x2 (x 2 )x 0x 42注: 此解法利用 “三角和差化積法 ”配合使用無窮小代

16、換法。解法六 ：令 ux 2lim 1cos x 2lim 1 cosulimsin ux0x 2 sin x2u 0usin uu 0 sin u u cosulimcosu1cosuu sin u2u0 cosu注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達(dá)法則。21解法七 :lim 1 cos x2limsin x2sin x2lim11x0 x 2 sin x 2x 0x 2 cosx 2x 0x 2212tgx注: 此解法利用了洛必達(dá)法則配合使用兩個重要極限。12 、利用函數(shù)極限的存在性定理（夾逼準(zhǔn)則）定理 :設(shè)在 x0 的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x) f(x)h(x)且有:limg(x)h x

17、)Alim (x x0x x0則極限limf ( x)存在 ,且有x x0lim f ( x)Ax x0例:求xn(a>1,n>0)limxxa解:當(dāng) x1時, 存在唯一的正整數(shù) k, 使k xk+1于是當(dāng) n>0時有 :xn(k1) naxa k及x nk nk n1a xa k1aka又當(dāng) x時,k有(k1) nlim( k1) na0 a 0limakak1kk及l(fā)imk nlimkak 1akknk1 0 1 0aa22lim xn=0xxa13 、用左右極限與極限關(guān)系( 適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形) 。定理：函數(shù)極限lim f (x) 存

18、在且等于A 的充分必要條件是左極限xx0lim f (x) 及右極限 limf ( x) 都存在且都等于 A。即有：x x0xx0lim f (x)Alimf ( x) = limf ( x) =Ax x0x x0x x012e x , x0例：設(shè) f ( x) =xxx ,0x1求 limf ( x) 及 lim f ( x)x 0x 1x2 , x 1解： limf ( x)lim (12e x )1x0x0lim f (x)xx)lim ( x1) 1lim (xx 0x 0x 0由 lim() lim(x)1f xfx 0x0lim f ( x)1x 0又limf ( x)lim xx

19、x1x1xlimf ( x)limx21x 1x 1由 f (10)f (10)lim f ( x)不存在x114 、約去零因式（此法適用于lim（x1)0x 1x x0時 , 0 型 ） 0例:求 limx 3x216 x20x2 x 37x 216x12解: 原式 = limx33x210x(2x26x20)x35x26x(2x 210x12)x223=( x2)( x 23x10)lim2)( x25x 6)x2 ( x= lim (x 23x10) = lim( x5)( x 2)x 2( x25x 6)x 2 ( x 2)( x 3)= limx 57x 2 x315 、利用化簡來求

20、極限 ( 分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形 )比如 求 limx322x2x 1 x此題要用到兩個知識點將分子有理化分母分解因式解： limx3 2lim( x 3 2)( x 3 2) = lim11x 1 x2x 2x 1 ( x 1)(x 2)( x 3 2)x 1 ( x 2)( x 3 2)12通分法（適用于型）16 、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便，下列為常用的展開式：1、 ex1 xx2x no( xn )2!n!2、 sin xxx3x5(1)n 1x2 n1o(x 2 n )3!5!(2n1)!3、 cos x1x2x4(1

21、)n x2 no( x2n1 )2!4!(2n)!4、 ln(1x)xx2( 1) n 1 x n(n )2no x5、 (1 x)1x(1) x2(1) (n 1) xno(xn )6、 12!n!x1 x x 2xno( xn )124上述展開式中的符號o( xn ) 都有 :limo( xn )0xnx 0例: 求 lima2xax (a0)x0x解: 利用泰勒公式，當(dāng) x0有1x1xo( x)2于是 lima2xaxxx0a (12x1x )= limaaxx0a 11 ( 2x ) o(x) 11 xo(x)= lim2a2axx0axo( x)1xo(x)lim 2 a= lim2

22、a1x0xx0x2 a17 、利用拉格朗日中值定理定理 : 若函數(shù) f 滿足如下條件：(I) f在閉區(qū)間上連續(xù)(II)f在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)則在 (a ,b)內(nèi)至少存在一點, 使得f ' ( )f (b)f (a)ba此式變形可為 :f (b)f (a)f ' (a(b a)(01)ba25例:求lim exesin xx 0 xsin x解: 令 f ( x)ex對它應(yīng)用中值定理得exesin xf (x)f (sin x)( xsin x) f ' (sin x(x sin x) (01)即:exesin xf'(sin x( xsin x)(01)xsin

23、 xf ' ( x)ex 連續(xù)lim f ' (sin x(xsin x)f ' (0)1x 0從而有 :limexesin x1xsin xx018. 利用定積分和積分中值定理求極限比如設(shè) xn =(n1)(n2)L( nn) ， (n1,2,L ) ，求 lim xnnn解因為 ln xn1nln(1in i)1n所以 lim xn1ni ) =1limln(1ln(1 x) dx 2ln 2 1nnn i 1n019 、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1) 有理式的情況，即若 :P( x) a0 x ma1 x m 1am(a00,b0 0)R( x)b1x n 1bnQ( x) b0 xn(I)當(dāng) x時，有a0mnb0mm 1limP( x)lim a0 x na1 xn 1am0mnxQ(x)xb0 xb1 xbnmn(II)當(dāng) x0時有 :26若若Q (x0 )0Q (x0 )0則而P(x)P(x0 )limQ( x0 )x 0 Q( x)P( x0 ) 0則 lim P( x)x 0 Q( x)若 Q ( x0 ) 0, P(x0 )0 ,則分別考慮若x0 為