數(shù)學(xué)建模試題數(shù)學(xué)建模隊(duì)員的選拔

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽隊(duì)員的選拔和組隊(duì)問(wèn)題摘要該模型解決了選拔參賽隊(duì)員及確定最佳組隊(duì)的問(wèn)題。該問(wèn)題涉及面很廣，是我們身邊經(jīng)常會(huì)遇到的。本文主要采用了層次分析法，綜合考慮個(gè)人的指標(biāo)以及整隊(duì)的技術(shù)水平，最終從15名隊(duì)員中選出9名優(yōu)秀隊(duì)員組成三隊(duì)，并建立了最佳組隊(duì)的方案。問(wèn)題二：在選拔隊(duì)員時(shí)，我們?nèi)婵疾炝岁?duì)員的七項(xiàng)指標(biāo)，并按照相應(yīng)的權(quán)重得到15名隊(duì)員的綜合排名，最后淘汰掉排名靠后的6 名隊(duì)員,依次為：， ， ，。為了組成3個(gè)隊(duì)，使得這三個(gè)隊(duì)整體技術(shù)水平最高,我們首先引入了刻畫(huà)每個(gè)隊(duì)競(jìng)賽技術(shù)水平的函數(shù)：本問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為尋找該函數(shù)的最大值。根據(jù)題目要求，為使三名隊(duì)員的技術(shù)水平可以互補(bǔ)，參賽學(xué)生最好來(lái)自不同專業(yè)

2、，我們算得此種情況下有36種組合方式。經(jīng)計(jì)算比較后得到最佳組合方案。如下表：分 組隊(duì)員一隊(duì)員二隊(duì)員三該組水平第一組0.0991791第二組0.0914192第三組0.0914192問(wèn)題三，我們只考慮計(jì)算機(jī)能力而不再考察其它情況，選出最佳隊(duì)員和。比較分析前面的綜合排名，的綜合能力排第七，而的綜合能力排第十一?？梢?jiàn)這種選拔方式，有可能影響隊(duì)伍的總體水平，所以不可取。問(wèn)題四：根據(jù)有違規(guī)記錄的學(xué)生所在的位置來(lái)確定其對(duì)組隊(duì)后整體技術(shù)水平的影響。經(jīng)分析可得：如果被選入組隊(duì)，對(duì)組隊(duì)后三隊(duì)整體水平有影響，三隊(duì)整體水平降低。關(guān)鍵詞：層次分析法；技術(shù)水平指標(biāo)；最佳組隊(duì)一、 問(wèn)題重述一年一度的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

3、是全國(guó)所有高校的重要賽事，如何選拔最優(yōu)秀的隊(duì)員和科學(xué)合理組隊(duì)問(wèn)題是一個(gè)首先需要解決的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。由于競(jìng)賽場(chǎng)地、后勤服務(wù)、經(jīng)費(fèi)設(shè)施等原因，需要選拔出優(yōu)秀的同學(xué)代表學(xué)校參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，以減少參賽成員因放棄、不遵守規(guī)則、合作不默契等造成的數(shù)學(xué)建模成績(jī)的影響和學(xué)院資源的浪費(fèi)。以數(shù)學(xué)建模選修課的筆試成績(jī)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)記錄，數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課簽到記錄，成績(jī)的班級(jí)排名，上機(jī)操作與軟件編程能力，思維敏捷程度以及知識(shí)面寬廣為依據(jù)從15名學(xué)生中選拔出9名學(xué)生，分為3小組，每個(gè)學(xué)生的基本條件如表（見(jiàn)附錄）需要解決的問(wèn)題如下：1根據(jù)所了解的數(shù)學(xué)建模知識(shí)，明確選拔數(shù)學(xué)建模隊(duì)員主要考察的相應(yīng)素質(zhì)以及考察方法。2

4、根據(jù)基本條件表的信息，建立建模隊(duì)員選拔的數(shù)學(xué)模型，從中選出9位同學(xué)，并組成3個(gè)隊(duì)，使得這三個(gè)隊(duì)具有良好的知識(shí)機(jī)構(gòu)。3判斷直接錄用一個(gè)計(jì)算機(jī)編程高手，而不再考察其它情況這種選拔方式是否可取。4建立有一個(gè)學(xué)生有違規(guī)記錄（如晚提交論文或引用他人文獻(xiàn)沒(méi)有給出出處等）的危害模型。二、 問(wèn)題分析2.1 問(wèn)題一分析根據(jù)我們所了解的數(shù)學(xué)建模知識(shí)，在選拔數(shù)學(xué)建模隊(duì)員時(shí)應(yīng)考察學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及必要的數(shù)學(xué)建模的知識(shí)、良好的編程能力以及熟練地使用數(shù)學(xué)軟件的能力、較強(qiáng)的語(yǔ)言表述能力和寫(xiě)作能力、良好的團(tuán)隊(duì)合作精神。同時(shí)還要求隊(duì)員思維敏捷、不怕苦不怕累、對(duì)數(shù)學(xué)模型有較好的悟性。數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)能力是建模的關(guān)鍵，組隊(duì)時(shí)，我們應(yīng)該

5、優(yōu)先考慮有這方面才能的人。數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)建模的知識(shí)可以通過(guò)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模筆試成績(jī)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況來(lái)考察，而計(jì)算機(jī)能力主要通過(guò)上機(jī)測(cè)試成績(jī)來(lái)考察。2.2 問(wèn)題二分析問(wèn)題二就是在15名學(xué)生中剔除6名實(shí)力最弱的。由題意可知，該問(wèn)題是半定量半定性、多因素的綜合選優(yōu)排序問(wèn)題，是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題，我們主要利用層次分析法，分別算出各指標(biāo)對(duì)選擇隊(duì)員的權(quán)重，以及各隊(duì)員對(duì)各指標(biāo)的權(quán)重，然后綜合考察每個(gè)隊(duì)員的權(quán)重進(jìn)行排名，最后剔除排名落后的六名學(xué)生。2.3 問(wèn)題三分析問(wèn)題三我們?cè)谇耙粏?wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行假設(shè)，假設(shè)計(jì)算機(jī)是隊(duì)員選拔的關(guān)鍵因素，選拔出幾名隊(duì)員，與問(wèn)題二的綜合排名進(jìn)行對(duì)比。通過(guò)結(jié)果確定直接錄取而不考慮其他方面

6、的做法是否可取。2.4 問(wèn)題四分析畫(huà)出有違規(guī)記錄學(xué)生所在的位置，分析他對(duì)組隊(duì)后三隊(duì)整體水平的影響。三、 模型假設(shè)1、假設(shè)參賽隊(duì)員的外部環(huán)境相同，競(jìng)賽中不考慮其它的隨機(jī)因素。在正式比賽對(duì)過(guò)程中隊(duì)員都能正常的發(fā)揮自己的水平。2、假設(shè)競(jìng)賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項(xiàng)條件,且認(rèn)為表中測(cè)量的數(shù)據(jù)都是客觀公正的。3、假設(shè)數(shù)學(xué)建模選修成績(jī)，機(jī)試成績(jī)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況，思維敏捷程度，知識(shí)面寬廣程度，數(shù)學(xué)建模選修課聽(tīng)課次數(shù)以及其他計(jì)算機(jī)應(yīng)用情況，這7項(xiàng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模綜合能力的影響占主要地位，且影響程度是依次遞減的。4、假設(shè)在組隊(duì)后各隊(duì)的發(fā)揮是相互獨(dú)立對(duì)，不受其他組的影響。5、假設(shè)組隊(duì)后的整體水平由該隊(duì)每項(xiàng)的

7、最佳隊(duì)員的指標(biāo)表征。四、 符號(hào)說(shuō)明一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)一致性檢驗(yàn)指標(biāo)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的特征向量方案層對(duì)準(zhǔn)則層的特征向量方案層對(duì)目標(biāo)層的特征向量最大特征值隊(duì)員的第項(xiàng)水平指標(biāo)隊(duì)員組隊(duì)的第項(xiàng)水平指標(biāo)技術(shù)水平指標(biāo)有違規(guī)記錄的學(xué)生15名隊(duì)員的編號(hào)五、 模型的建立與求解5.1 問(wèn)題二模型的建立及求解參賽隊(duì)員的選取：由每個(gè)學(xué)生的基本條件表可知，該問(wèn)題是半定量半定性、多因素的綜合選優(yōu)排序問(wèn)題，是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。為了從15名隊(duì)員中選出9名參賽者，我們主要利用層次分析法，分別算出各指標(biāo)對(duì)選擇隊(duì)員的權(quán)重，以及各隊(duì)員對(duì)各指標(biāo)的權(quán)重，然后綜合考察每個(gè)隊(duì)員的權(quán)重進(jìn)行排名。根據(jù)題目給出的八項(xiàng)指標(biāo)，我們首先將各指標(biāo)量化

8、，為了區(qū)分各項(xiàng)條件中的檔次差異，確定量化原則如下：選修筆試成績(jī)按照滿分10分計(jì)；思維敏捷、機(jī)試和知識(shí)面的A、B、C、D等級(jí)分別按4分、3分、2分、1分計(jì)算；數(shù)學(xué)競(jìng)賽沒(méi)獲獎(jiǎng)按1分來(lái)計(jì)算，獲三等獎(jiǎng)1次為2分，獲三等獎(jiǎng)2次為3分，獲二等獎(jiǎng)2次為5分，獲一等獎(jiǎng)1次為6分，獲一等獎(jiǎng)2次為7分；聽(tīng)課次數(shù)按一次1分計(jì)；其他情況如考過(guò)程序員，學(xué)過(guò)MATLAB的各加1分，過(guò)計(jì)算機(jī)三級(jí)的加2分；班級(jí)排名情況由于統(tǒng)計(jì)的不是很全，所以不好進(jìn)行量化，因此這項(xiàng)指標(biāo)可以不用考慮。 表（）15名學(xué)生量化分?jǐn)?shù)表學(xué)生選修筆試機(jī)試數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)思維敏捷知識(shí)面聽(tīng)課次數(shù)其他情況9.63744219.33143639.21222418.2

9、3334418.22133318.236416183523517.93144427.82242427.73143527.64123617.42144217.84131217.63144516.6312361運(yùn)用層次分析法： 將從15名學(xué)生中選拔9名優(yōu)秀隊(duì)員看作一個(gè)目標(biāo)，作為目標(biāo)層。將刻畫(huà)隊(duì)員的7個(gè)指標(biāo)作為標(biāo)準(zhǔn)層。將15名學(xué)生作為方案層。如圖（1）選拔優(yōu)秀隊(duì)員選修成績(jī)機(jī)試成績(jī)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)思維敏捷知識(shí)面聽(tīng)課次數(shù)其他情況. . . . . . . . . .目標(biāo)層：準(zhǔn)則層：方案層：圖（1）：層次結(jié)構(gòu)圖 由題目已知及假設(shè)可得，準(zhǔn)則層的七項(xiàng)指標(biāo)依次遞減，并認(rèn)為相鄰兩項(xiàng)的差距不大，且都假設(shè)是相等的，這里都認(rèn)為

10、相差為1，于是兩兩對(duì)比得如下比較矩陣：這里我們用和法來(lái)計(jì)算，以下為步驟：將的每一列向量歸一化得將按行求和得將歸一化得 為近似特征向量；計(jì)算最大特征值；由以上公式計(jì)算可得最大特征值。特征向量根據(jù)一致性指標(biāo)公式 可得：一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo)可根據(jù)表（2）查得：。表（2） 隨機(jī)一致性指標(biāo)的值n234567891011RI00.580.91.121.241.321.411.451.491.51根據(jù)公式得到隨機(jī)一致性比率：，我們認(rèn)為成對(duì)比較矩陣具有滿意的一致性，所以通過(guò)一致性檢驗(yàn)。我們也可以用MATLAB編程計(jì)算得到（見(jiàn)附錄程序1）。根據(jù)問(wèn)題的條件和模型的假設(shè)，對(duì)每個(gè)人各項(xiàng)條件的量化指標(biāo)能夠充分反映出

11、每個(gè)人的綜合實(shí)力。由此可以分別構(gòu)造層對(duì)準(zhǔn)則的比較矩陣：其中，。顯然，所有的均為一致陣。由一致陣的性質(zhì)可知：的最大特征值，其任一列向量都是的特征向量。將其歸一化可得對(duì)的權(quán)重向量。記作，記為層對(duì)層的權(quán)重，且一致性比率指標(biāo)為，表（3）為層的特征向量：表（3）：層的特征向量C-P0.07920.07140.20590.08160.09090.03130.05000.07670.07140.02940.08160.06820.09380.15000.07590.02380.05880.04080.04550.06250.05000.06770.07140.08820.06120.09090.06250.

12、05000.06770.04760.02940.06120.06820.04690.05000.06770.07140.17650.08160.02270.09380.05000.06600.07140.14710.04080.06820.07810.05000.06520.07140.02940.08160.09090.06250.01000.06440.04760.05880.08160.04550.06250.01000.06350.07140.02940.08160.06820.07810.01000.06270.09520.02940.04080.06820.09380.05000.

13、06110.04760.02940.08160.09090.03130.05000.06440.09520.02940.06120.02270.03130.05000.06350.07140.02940.08160.09090.07810.05000.05450.07140.02940.04080.06820.09380.0500由于標(biāo)準(zhǔn)層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重為，方案層 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)層權(quán)重為，則對(duì)的權(quán)重為：其組合一致性比率指標(biāo)為：因此，組合權(quán)重可作為目標(biāo)決策的依據(jù)。根據(jù)權(quán)重，得到15人的排序結(jié)果見(jiàn)表（4）。表（4）：15人的最終排序結(jié)果特征向量0.095430.084910.077730.072020.0

14、70980.065490.064230.06403隊(duì) 員S1S6S7S4S2S8S11S10特征向量0.064020.061070.060930.055710.055370.054720.05355隊(duì) 員S14S9S13S15S12S5S3由表可以作隊(duì)員的權(quán)重圖 見(jiàn)圖(2)：圖（2）15名隊(duì)員權(quán)重圖根據(jù)題目要求，在15名學(xué)生中選取9名參賽隊(duì)員，即選取權(quán)重排前9名的學(xué)生。由圖表可知，依次為：S1, S6, S7, S4, S2, S8, S11, S10, S14。最佳組隊(duì)方案的確定：第二小問(wèn)是確定最佳的組隊(duì)，使競(jìng)賽技術(shù)水平最高。顯然是要考慮隊(duì)員之間各項(xiàng)指標(biāo)的互補(bǔ)性，找到三人讓其各項(xiàng)權(quán)重達(dá)到最大

15、值。組隊(duì)原則：三名隊(duì)員的技術(shù)水平可以互補(bǔ)（最好來(lái)自不同專業(yè)），技術(shù)水平最高則為該隊(duì)的水平指標(biāo)。任取3名隊(duì)員組合，求出相應(yīng)的技術(shù)水平指標(biāo)之和的最佳組隊(duì)方案對(duì)分組的影響主要取決于前四項(xiàng)指標(biāo)：數(shù)學(xué)建模選修成績(jī)，機(jī)試成績(jī)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)情況，思維敏捷程度。9名學(xué)生分為3組，總共有種組隊(duì)方式。按照不同專業(yè)學(xué)生分在不同組的原則，有36種組隊(duì)方式。：三名隊(duì)員組成的一個(gè)隊(duì)。：隊(duì)員的第項(xiàng)水平指標(biāo)。：隊(duì)員組隊(duì)的第項(xiàng)水平指標(biāo)：技術(shù)水平指標(biāo)。經(jīng)計(jì)算得出組隊(duì)結(jié)果：分 組隊(duì)員一隊(duì)員二隊(duì)員三該組水平第一組0.0991791第二組0.0914192第三組0.09141925.2 問(wèn)題三解答直接錄用編程高手而不考慮其他情況，這種

16、做法是不可取的。根據(jù)我們所建立的上述選取模型可知，我們是根據(jù)學(xué)生綜合情況來(lái)選取的，而不是考慮某一項(xiàng)。如果只考慮計(jì)算機(jī)能力這一點(diǎn)，可得到與的計(jì)算機(jī)能力最強(qiáng)。但是，的綜合能力排第七，而的綜合能力排第十一，如果老師直接錄取，有可能影響隊(duì)伍的總體水平，而且也有失公平選拔這一原則。由此說(shuō)明，直接錄用一個(gè)計(jì)算機(jī)編程高手，而不再考察其它情況這種選拔方式是不可取的。5.3 問(wèn)題四模型建立及求解假設(shè)有違規(guī)記錄的學(xué)生為，若該學(xué)生處在被排除的人中，則對(duì)整體競(jìng)賽水平?jīng)]有影響，若該隊(duì)員處在被選中的人中，則整體競(jìng)賽水平需根據(jù)以下模型計(jì)算。，分別為當(dāng)X處在A，B，C組時(shí)，三組的整體水平。且假設(shè)X處在各組中時(shí)對(duì)該組的影響概率

17、相同都為，（）。當(dāng)不考慮X違規(guī)時(shí)的三組的水平分別，。則如果不考慮違規(guī)的影響，組隊(duì)后整體水平為，考慮違規(guī)的影響時(shí)：大于，?？芍诒贿x中的9人之中時(shí)，其有違規(guī)記錄都會(huì)影響組隊(duì)之后的整體水平使整體水平降低。六、 模型的評(píng)價(jià)及推廣6.1 模型的優(yōu)點(diǎn)運(yùn)用了層次分析法，對(duì)各隊(duì)員的選拔具有了較高的公平性。在考慮組隊(duì)的思想上還是加入了權(quán)重，建立了刻畫(huà)各隊(duì)競(jìng)賽技術(shù)水平的指標(biāo)函數(shù)，形象的說(shuō)明了各隊(duì)的優(yōu)劣狀況。而且在考慮組隊(duì)的過(guò)程中，盡量讓問(wèn)題簡(jiǎn)化，只是在剩余的隊(duì)員中找最佳組，讓問(wèn)題很明了，思路很清晰。也達(dá)到了問(wèn)題的求解6.2 模型的缺點(diǎn)對(duì)于問(wèn)題四，我們沒(méi)有提出一個(gè)更好的辦法與思想來(lái)求解，我們的解法在一定程度上還是

18、不夠精確，存在偏差。應(yīng)該在問(wèn)題三模型一與二上找到一定的算法，讓問(wèn)題更具有說(shuō)服力。6.3 模型的推廣在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到各式各樣的選拔，比如足球隊(duì)員的選拔，三好學(xué)生的選拔等等，都可以用本模型。類似地還可以推廣到人們對(duì)于較復(fù)雜，較模糊問(wèn)題的決策上，比如物種的保留，基因的研究，人才的錄用，成績(jī)的評(píng)定等。在一些科研、教育領(lǐng)域，都可以運(yùn)用本模型。七、 對(duì)建模選拔機(jī)制的建議根據(jù)前面所建的模型，我們認(rèn)為用此模型來(lái)選拔隊(duì)員非常公平，合理。因此，我們對(duì)學(xué)校提出如下建議： 學(xué)?？梢詤⒖急绢}，盡可能地將報(bào)名參賽的同學(xué)信息統(tǒng)計(jì)完整以便于更好地選取隊(duì)員。 對(duì)本題題目所統(tǒng)計(jì)的信息，我們認(rèn)為應(yīng)該稍加改進(jìn)，有些指標(biāo)相對(duì)于其

19、他指標(biāo)對(duì)隊(duì)員的影響較弱的我們可以不進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，比如說(shuō)聽(tīng)課的次數(shù)以及在班級(jí)里的排名情況，這對(duì)數(shù)學(xué)建模的影響不是很大。這樣做，可以有效提高統(tǒng)計(jì)的效率。 對(duì)于其他幾項(xiàng)我們要進(jìn)行著重的調(diào)查，比如說(shuō)數(shù)學(xué)的功底，計(jì)算機(jī)的實(shí)際操作能力（包括編程、計(jì)算機(jī)的工作軟件的應(yīng)用和與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用），這兩項(xiàng)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)能力，也是主要的能力。我們建議在這兩方面我們可以進(jìn)行一個(gè)全方位的調(diào)查，可以根據(jù)平時(shí)的總體表現(xiàn)來(lái)定位，而不是只依照一次或者幾次的考試成績(jī)來(lái)判斷，我想這可以用數(shù)學(xué)建模中統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)進(jìn)行定量的運(yùn)算。 當(dāng)確定每項(xiàng)指標(biāo)的定量數(shù)據(jù)之后，我們就可以用到上述的層次分析方法對(duì)每一個(gè)學(xué)生進(jìn)行定量的計(jì)算和分析，

20、以此來(lái)選拔數(shù)學(xué)建模的優(yōu)秀人才。（對(duì)此模型的優(yōu)點(diǎn)我們已經(jīng)在第六點(diǎn)“模型的評(píng)價(jià)及推廣中”介紹過(guò)） 最后我們?cè)谶x出的幾位同學(xué)中進(jìn)行組隊(duì)，學(xué)?？梢越M織一個(gè)實(shí)力最強(qiáng)的隊(duì)伍。其余的同學(xué)可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法，分決策過(guò)程為n個(gè)階段（n為所要組成的隊(duì)伍數(shù)），按組隊(duì)原則完成，每一階段確定一個(gè)決策變量，然后建出模型進(jìn)行最優(yōu)化組合。八、 參考文獻(xiàn)1. 陳東彥，李冬梅，數(shù)學(xué)建模,北京：科學(xué)出版社，2007。2. 姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。 3. 韓中庚，最佳組隊(duì)方案及模型，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1997，27（2）：133-144。 九、 附錄15名學(xué)生的部分信息表學(xué)生專業(yè)校內(nèi)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)考勤記錄模擬成績(jī)知識(shí)面思維敏捷其它情況S1信計(jì)二等獎(jiǎng)1096AAS2計(jì)科二等獎(jiǎng)1593BA過(guò)計(jì)算機(jī)三級(jí)S3機(jī)制成功參賽獎(jiǎng)1292CCS4機(jī)制二等獎(jiǎng)1282AB上過(guò)建模選修課