2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題2平面向量的基本定理練習(xí)含解析

1、5.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【套路秘籍】-千里之行始于足下一、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1 .向量坐標(biāo)的求法(1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)uuuuuu(2)設(shè)A(xi,y。，B(X2,y2),則 ABAB=(X2-X1,y2-y0.2 .向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2),貝Ua+b=(X2+X1,y2+y。，a-b=(xiX2,yiy2),入a=(入xi,入yi),Ial=JM+y；,|a+b|=J(x+x2)2+(yi+y2)2.3 .平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(xi,yi),b=(X2,y2)，貝Ua/b?大乎一X2yi=0.4 .

2、向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b,作uA=a,摺巾，則/AO=0(00e.，11 .設(shè)O4(1,2),OB=(a,1),OG=(-b,0),a0,b0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A,B,C三點(diǎn)共線，則-+ar 的最小值是()bA.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】由題意可得，OA=(1,2),OB=(a,1),OC=(-b,0),所以AB=OB-OA=(a1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2).又A,B,C三點(diǎn)共線，AB/AC即(a1)X21x(b1)=0,，2a+b=1,一,1212.b4a-,b4a,又0,b0,.1.a，+b=g+b(2a+b)=4+占+4+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)鼻=石時(shí)，取

3、=故選 D.2 .已知點(diǎn) R1,2),線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-1).若向量PQ肖向量 a=(入，1)共線，則入=.【答案】-3【解析】點(diǎn) R1,2),線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),向量PQ=2PM=2(1+1,12)=(4,6).又亂向量 a=(入，1)共線，4X1+6 入=0,即入=2.33.已知 a=(5,-2),b=(-4,3),若 a-2b+3c=0,則c等于()A.1,8B.一李8333134134C.3，3D.3，3.口 0,2),且|CM=1,；x2+y+22=1,貝 Ux2+即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心、1 為半徑的圓,A0,1),B(1,0), OAFO跳OM=(

4、x+1,y+1),則|OAFOBOM=、x+12+y+12,幾何意義表示：點(diǎn) Mx,y）與點(diǎn) N（-1,1）之間的距離，即圓 C 上的點(diǎn)與點(diǎn)N1,1）的距離，點(diǎn)N(-1,-1)在圓C外部,.|OAbO小OM的最大值是|NC+1=M0+12+2+12+1=1 萬+1.故選 A.【舉一反三】【答案】【解析】由已知 3c=a+2b=(5,2)+(8,6)=(13,4).所以 c=13考向二平面向量在幾何中的運(yùn)用【例 2】已知ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,1),B(1,0),C(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|ClM=1,則|OAbO跳OM的最大值是（A.2+1B.7+1C.2-1【答案】AD.

5、G1【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,V），(y+2)2=1,A.21.在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l:xky10l:xky10 與圓 C:xC:x2y y24 4 相交于 A,BA,B 兩點(diǎn),uumOMuuuuuuOAOB.若點(diǎn)M M 在圓C上，則實(shí)數(shù)【答案】C【解析】設(shè)a1均1aax21bh卜符直虢方程代八=4整理得，(+l)vi-2A-j=Qf2Jt2所以.妨一i=-?，兩/兩=fc（vi-hv,）-2=-一）OMOAOB，一二一）.*十IKS由于點(diǎn)M在圓C上，所以，（二二一）；+（二）；=4，t*+1+1解得，L=。，故選C.考向三向量中的坐標(biāo)嘲Iuuuuim【例 3】給定兩個(gè)長度

6、為 1 的平面向量OA,OB,它們的夾角為120.如圖 1 所示,uuiTuuuiiur點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OCxOAyOB,其中x,yR,則xy的最大值是.【答案】2unruuuuuu【解析】解法1（考慮特值法）當(dāng)C與 A A 重合時(shí)，OC1OA0OB,xy1,urnruuuuuu當(dāng)C與 B B 重合時(shí)，OC0OA1OB,xy1,當(dāng)C從AB的端點(diǎn)向圓弧內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，xy1,于是猜想當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，xy取到最大值.當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，由平面幾何知識(shí)OACB是菱形,uuiruuuunn:.OCOAOB,:.xy解法二（考慮坐標(biāo)法）建立如圖3,所小的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)1x禧35y

7、.30o時(shí)，（x丫福2.解法 3 不等式法求最值yc猜想xy的最大值是 2 2.A(1,0),B(2,),C(cos,sin).uuir是OCuuuuuirxOAyOB可化為:(cos,sin13)x(1，0)y(”)，解法 2函數(shù)法求最值由方程組x(1)得：cos1.-sin32.3sin.J3sincos2sin(30o),又0o120,112.cossin由方程組(1)得:1sin2cos2x2y2xy(xy)2121xy-(xy)二，33由x0,y0,及 xy2xy得：(xy)24xy,(xy)24,xy2,當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)取等號(hào).,(xy)max2.思考方向三考慮向量的數(shù)量積的運(yùn)算解

8、法 4 兩邊點(diǎn)乘同一個(gè)向量uuirOCiurxOAuuuyOB,uuiruuuuuuuuruuuuuuOC OAxOAOAyOBOA,uuiruuiruuuunruuu uurOC OBxOAOByOBOB.rnuruunuiu,則BOC120o,又|OC|OA|OB|1,1cosxy,2o1cos(120)-xy.xy2coscos(120o)2sin(30),當(dāng)30o時(shí)，(xy)max2.解法 5 兩邊平方法uuirurnuunuuiT2uuuuuu2.OCxOAyOB,.OC(xOAyOB),設(shè)AOC/22/、21xyxy(xy)3xy,(xy)max2.思考方向四考慮平行四邊形法則過C

9、作CM/OB交OA于M,作CN/OA交OB于N,則OMCN是平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則得:uuiruuuuruuirOCOMON,在OMC中，設(shè)AOC則BOC120o,且|OM|x,|MC|y.解法 6 利用正弦定理OMMCOCsinOCMsinCOMsinOMCxy2sin(30o),當(dāng)30o時(shí)，(xy)max2.解法 7 利用余弦定理|OC|2|OM|2|MC|22|OM|MC|cos60o,(xy)2(xy)2(xy)2y2,當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)取等號(hào),xysin(60o)sin1sin60o,由等比性值得:xy1sin(60o)sinsin60o./22/、21xyxy(xy)

10、3xy則OC=麗OA,因?yàn)镺ATOB勺夾角為 120,OATOC勺夾角為 3。所以/BOG=90.在 RtOBC中，/OCB=30,|O(P=23,所以|OB|=2,|BC=4,2(xy)2(xy)3f(xy)2y2,當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)取等號(hào),(xy)max2.【舉一反三】i.如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量OAOBOC其中O嗝OB勺夾角為 120。，O嗝O的夾角為30,且|OA=|OB=i,|OC=273.若OC入斷WOB入，CR),求入十科的值.【答案】6【解析】方法一如圖，作平行四邊形OBCA,所以|OA|=|BiC|=4,所以O(shè)C4O/V2OB所以入=4,(1=2,所以入+(i=6.方法二以O(shè)

11、為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0),B12由 OoOo 入OAFOB八、13一入一 2W,得33丫 32W,入 =4,解得(1=2.2.如圖，四邊形ABCO正方形，延長入+!1=.【解析】由題意，設(shè)正方形的邊長為所以入+(i=6.CD至E,使得DE=CD若點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，且AF=入AB+AE則1,建立平面直角坐標(biāo)系如圖,【運(yùn)用套路】-紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行1 .在？ABC由，Ag 一條對(duì)角線，AB=(2,4),AC=(1,3)，則向量BD勺坐標(biāo)為【答案】(3,-5)解析.AB+BC=ACCb=CcAAB=(-1,-1),則 R1,0),E(1,1),AB-(1,0)

12、,AE=(-1,1),AP=入ABFAE=(入一(1,w),又P為CD勺中點(diǎn),、1入一(！2,1=1,.、3.入=2，(i=1,-5入+=2-，BD=AD-AB=BCAB=(-3,5).2 .已知向量 a=(41),b=(0,1),c=(k,班),若 a2b與c共線，則 k=.【答案】1【解析】a2b=(*3,3),且 a-2bIIc,.3x3k=0,解得 k=1.3 .線段AB的端點(diǎn)為A(x,5),B(-2,y),直線AB上的點(diǎn)C(1,1),使|AC=2|BC,則x+y=.【答案】2 或 6【解析】由已知得AC=(1x,4),2BC=2(3,1-y).,一/nr.1X=6，由|AC=2|BC

13、,可得AC=2BC則當(dāng)AC=2BC寸，有-4=2-2y,x=-5,解得此日x+y=2;y=3,x=7,解得此日x+y=6.綜上可知，x+y=2 或 6.y=-1,4 .已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A：4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB勺交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【答案】(3,3)【解析】方法一由O,P,B三點(diǎn)共線，可設(shè) OF3=XOB=(4 入，4 入)，則AP=OP-OA=(4 入-4,4 入).又AC=OC-OA=(-2,6),由APIAfe線， 得(4 入-4)X64 入 X(2)=0,解得入=4,所以O(shè)P=3OB=(3,3),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).方法二設(shè)點(diǎn)Rx,y),則OP=(x

14、,y),當(dāng)AC=2BCM,有1-x=-6,4=2+2y,因?yàn)镺B=(4,4),且0內(nèi)例曲線，所以 4=y,即 x=y.又XP=(x-4,y),Xb=(-2,6),且APfto 線，所以(x4)X6yx(2)=0,解得 x=y=3,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).x5 .已知向量a=8,2,b=(x,1),其中x0,若(a2b)/(2a+b),貝 Ux=.【答案】4,一，一xx【解析】.向量 a=8,2，b=(x,1),a-2b=8-2x,52,2a+b=(16+x,x+1),x_(a2b)/(2a+b),.(8-2x)(x+1)(16+x)2=0,即一|x2+40=0,又0,x=4.6.在矩形AB

15、C珅，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若扉=入超則入+(1 的最大值為.【答案】3【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E,連結(jié)CE則CHBD.CD=1,BC=2,BD=AJ12+22=5,BC-CD225EO=-,BD55即圓 C 的半徑為華，54.P 點(diǎn)的軌跡萬程為(x2)2+(y1)2=g.而AP=(X0,yo),AB=(0,1),Ab=(2,0).AP=入超Ab=入(0,1)+(2,0)=(2 科，入)，1.5.25.n.(1=5X0=1+-cos9,入=y0=1+5sin.兩式相加，得入+(1=1+-5-sin9+

16、1+-cos9=2+sin(0+6)w3 其中 sin()=普，cos 巾=5，兀當(dāng)且僅當(dāng) 0=+2kTt6,kCZ 時(shí)，入取得最大值 3.7 .在直角梯形ABC麗，ABADDC/ABAD=DC=2,AB=4,EF分別為ABBC的中點(diǎn),圓心，AD為半徑白圓弧DEME變動(dòng)（如圖所示）.若AP=入EA11AF,其中入，CR,則 2 人圍是.廿設(shè)P(X0,y0),則【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則收 0,0),E(2,0),D(0,2),F(3,1),P(cosa,sinOC)a,a),E(-2,2),AF=(3,1)AP=入EAF,(cosa,sina)=入(2,2)+w(3,1),cos

17、a=2X+3(i,sina=2 入+,a-cosa),1(cos4=：sina：cosa=sina22247t7tXB+贏當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，與邊BC交于點(diǎn)P,點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn).連結(jié)OP貝1!危=成OPO 由桂共線，存在實(shí)數(shù)t,使得OP=tFB,則AP=MtFfB=AB+AF+t（AB-麗=（1+t）AB+（i-1）AF,，此時(shí)n=1+t+11=2,取得最小值.當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，取AD的延長線與圓Q的交點(diǎn)為P,則AP=2A&2（AB+AF）=5AB+2AF,此時(shí)m+n=5,為最大值.一 2 一一一9.在ABC,AB=3,AC=2,ZBAC=60,點(diǎn)P是ABCft一點(diǎn)（含邊界），

18、若AP=;AB+入AC則|Ap的【解析】以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系,1 .AB=3,AC2,/BA&60,2 .40,0),B(3,0),qi,3),設(shè)點(diǎn) P 為(x,y),0 x3,0y、3,2-TLAP=AB+3(x,y)=2(3,0)+入(1,3)=(2+X,3 入),x=2+入，y=、3入，3 .y=3(x-2),直線 BC 的方程為 y=-3(x-3),7x=-,3聯(lián)立，解得此時(shí)|AP最大，|周:1 愣十1：213.93310.已知三角形ABC中，AB=ACBC=4,ZBAC=120,BE=3EC若點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則APAE勺取值范圍是.21033入AC最大值為【解析】因?yàn)锳B=ACBC=4,BBAG=1