《海倫-秦九韶公式》教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、閱讀與思考海倫一秦九韶公式教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)內(nèi)容】：人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十六章“閱讀與思考”內(nèi)容【教學(xué)對(duì)象】：八年級(jí)下冊(cè)學(xué)生【教材分析】：本行內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十六章，是閱讀與思考部分中的內(nèi)容，教 材中只占用一頁(yè)篇幅，敘述了秦九韶公式與海倫公式的記載歷史，并未給出證明和應(yīng)用。初 中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中并沒(méi)有做要求，本節(jié)內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)三角形，二次根式等相關(guān) 知識(shí)，它是三角形而積公式的延續(xù)與拓展。本節(jié)課意在引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)海倫公式與 秦九貂公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，我把這節(jié)課放在學(xué)習(xí)勾股定理之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，加深了本行課學(xué)習(xí)的要 求，要會(huì)推導(dǎo)海倫-秦九韶公式且會(huì)有簡(jiǎn)單應(yīng)用，讓同學(xué)們從中體會(huì)到數(shù)學(xué)之美

2、?！緦W(xué)情分析】：八年級(jí)學(xué)生在進(jìn)入本fj課的學(xué)習(xí)之前，需要熟悉前面已學(xué)過(guò)的二次根式、三 角形面積公式以及平方差公式和完全平方公式等知識(shí)，為了讓學(xué)生能夠理解海倫-秦九韶公 式的證明過(guò)程，這節(jié)課我是調(diào)整到學(xué)習(xí)勾股定理之后進(jìn)行講解的?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1 、知識(shí)與技能：（1）理解秦九韶公式與海倫公式的本質(zhì)相同；（2）會(huì)證明秦九韶公式與海倫公式，并理解其本質(zhì)；（3）會(huì)選用合適的方法解決簡(jiǎn)單的涉及到三角形三邊與面積之間關(guān)系的問(wèn)題2、過(guò)程與方法；（1）經(jīng)歷證明秦九韶公式及海倫公式的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維：（2）提高學(xué)生應(yīng)用海倫公式解決涉及三角形三邊與面積之間關(guān)系問(wèn)題的能力3、情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)：（1）體會(huì)

3、到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美：（2）通過(guò)閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生體會(huì)到我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就是許多數(shù)學(xué)家們心血和 汗水的結(jié)晶，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家秦九韶善于繼承又勇于創(chuàng)新、攀登高峰的高尚品德【教學(xué)重點(diǎn)】如何利用勾股定理證明秦九韶海倫公式的過(guò)程【教學(xué)難點(diǎn)】海倫-秦九韶公式的證明【教學(xué)方法】 本節(jié)課采用“情境教學(xué)法”、“啟發(fā)式教學(xué)法”充分發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng) 性，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈?索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣 泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)【教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)】一、創(chuàng)設(shè)情境 引入新知師：生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)能解決現(xiàn)代生活中許

4、多問(wèn)題，它能不能解決 古代問(wèn)題，請(qǐng)看大屏幕，我請(qǐng)一位同學(xué)幫我朗讀一下。生：?jiǎn)栍猩程镆欢?，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三?步，欲知為用幾何？師：通過(guò)朗讀你獲得了什么信息？生：它告訴我們有塊沙田，有三個(gè)邊，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。師：他可以轉(zhuǎn)化成什么問(wèn)題？生：數(shù)學(xué)問(wèn)題師：它讓我們求什么呢？生：求面積師：那我們把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題？如圖1,在三角形ABC中，A=15, B=14, C=13,求三角形ABC的面積，運(yùn)用我們己經(jīng) 學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)可以直接求解嗎？生：可以師：我們都知道三角形面積是二分之一底乘高，現(xiàn)在有底了缺什么嗎？生：缺三角形的高師：那我

5、們?nèi)绾吻笕切蔚母?？生：作底邊上的高，用勾股定理求高師：思路有了，現(xiàn)在我們開(kāi)始拿出紙和筆來(lái)求三角形的面積（找一位同學(xué)到黑板前演練，其他同學(xué)在下面練習(xí)）設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的是提出問(wèn)題，有了問(wèn)題，數(shù)學(xué)思考就有了方向，思考就有了 動(dòng)力，通過(guò)復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，提出問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，推動(dòng)學(xué)生們的思考。為下面的題目把 三邊具體的數(shù)轉(zhuǎn)化成字母常數(shù)做鋪墊，把數(shù)學(xué)題目從特殊轉(zhuǎn)化成一般過(guò)程。二、 自主探究，學(xué)習(xí)新知師：如圖2.在AABC中，AD為邊BC上的高，a、b、c分別是三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形 的而積？（老師已經(jīng)幫你把未知數(shù)設(shè)好了，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)已知關(guān)系，列方程組，找一位 同學(xué)到黑板前演練，其他同學(xué)在下而

6、練習(xí)）清同學(xué)們先自己研究，做好后小組討論交流解題過(guò)程：在ABC中，AD為邊BC上的高，根據(jù)勾股定理，有卜2+ '；解方程，得y + z = ar 屋+b'4 - V =2a2這是我們南宋末年秦九韶發(fā)現(xiàn)的用三角形三邊求出的而枳設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確：三角形三邊確定了，三角形的而積就隨之確定，自然可以用三邊長(zhǎng)表示出面積，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，小組合作交流，引出秦九韶公式，增強(qiáng)體驗(yàn)深刻性三、新課講授師：同學(xué)們通過(guò)觀(guān)察這個(gè)式子雖然它通過(guò)三角形的三邊求出三角形的面積，但是過(guò)于繁瑣,不方便記憶,我們仔細(xì)觀(guān)察這個(gè)公式發(fā)現(xiàn)被開(kāi)方數(shù)里而符合平方差公式的特點(diǎn)，可以因式分解。師：追問(wèn)1:同學(xué)們可不可以嘗

7、試把這個(gè)被開(kāi)方數(shù)轉(zhuǎn)化成不能再因式分解的式子?（找一位同學(xué)到黑板前演練，其他同學(xué)在下面練習(xí)） 公式轉(zhuǎn)化過(guò)程：X 2«C- - C42 + C-5 2）（-+ "N（先讓學(xué)生們獨(dú)立做題，選代表演示解法，最后師生集體評(píng)價(jià)。）師：追問(wèn)2：這個(gè)式子還是不太方便我們記憶，有沒(méi)有別的辦法幫忙再轉(zhuǎn)化一下，有一個(gè)三角形，邊 a + b + c長(zhǎng)分別為a、b、c,若 =L，三角形的面積S怎么表示？（學(xué)生自己動(dòng)手轉(zhuǎn)化）結(jié)果為：s = J （/一。）（一 ）（一。）由此推出海倫公式。設(shè)計(jì)意圖：自己動(dòng)手推導(dǎo)，教師巡視，給予個(gè)別指導(dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)：秦九韶公式、海倫 公式是等價(jià)的，形異質(zhì)同師：追問(wèn)3：通過(guò)

8、預(yù)習(xí)同學(xué)們知道什么是海倫公式嗎？為什么叫海倫-秦九韶公式？海倫公式：三角形的面積§ =其中：a、b、c分別是三角形的三邊長(zhǎng)，2師：課后我也讓同學(xué)們收集了海倫和秦九韶的生平事跡，同學(xué)們都收集嗎？現(xiàn)在我們共同 來(lái)了解一下海倫和秦九韶兩位數(shù)學(xué)家。占占奈黑百加費(fèi)frtiprhQ 一盡 酣叫常裝玄¥小-!密,、 可春換支詔弭: QI - tABII1海倫，古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、機(jī)械學(xué)家。海倫有許多學(xué)術(shù)著作，都用 希臘文撰寫(xiě)，但大部分已失傳。主要著作是度量論一書(shū)。該書(shū)共3 卷，分別論述平面圖形的面積，立體圖形的體枳和將圖形分成比例的問(wèn)題。 其中卷I第8題給出著名的已知三邊長(zhǎng)求三角形面積

9、的海倫公式。通國(guó)南宋末年數(shù)學(xué)家秦九韶，共著作數(shù)書(shū)九章卷五第二題即三斜求積?！皢?wèn)沙田一段， 有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知為田幾何？ ” 其術(shù)文是：“以小斜靠并大斜塞，減中斜事，余半之，自乘于上：以小斜塞乘大斜耗，減上,公式表示即為:余四約之為實(shí)，開(kāi)平方得積若以大斜記為a ,中斜記為b，小斜記為c ,用現(xiàn)代/ 1 7 2, b + “一 一力- 25 =匕（°2一廠(chǎng)）總結(jié)：三角形的而積5 = 4 （一0）（一）（一。）其中：a、b、c分別是三角形的三邊長(zhǎng),2、'和5一/五" °（2> >是等價(jià)的，實(shí)質(zhì)是一樣的

10、。師：追問(wèn)4：剛才我們推導(dǎo)的海倫公式是在銳角三角形中推導(dǎo)的，同學(xué)們思考一下，當(dāng)三角形為直角三 角形或鈍角三角形時(shí)，用勾股定理的方法你是否可以證明海倫-秦九韶公式的成立？這作為我們今天課后練習(xí)，小組討論并證明。體會(huì)海倫公式簡(jiǎn)潔設(shè)計(jì)意圖：在推導(dǎo)過(guò)程中自然地解釋海倫公式中為什么令= 的魅力，并了解一些數(shù)學(xué)家的故事。，讓學(xué)生通過(guò)等式變形，學(xué)會(huì)知識(shí)間的融會(huì)貫通，感受 數(shù)學(xué)變中之不變的美感，讓學(xué)生體會(huì)中西數(shù)學(xué)家的珠聯(lián)璧合，交相輝映.東西方數(shù)學(xué)家為數(shù) 學(xué)的發(fā)展都作出應(yīng)有的貢獻(xiàn)，不同的表達(dá)方式，講述了相同的內(nèi)容，學(xué)生可從中感受數(shù)學(xué)統(tǒng) 一性之美。四、知識(shí)鞏固師：在回到開(kāi)頭，我們用勾股定理的方法求的這道題，現(xiàn)在我

11、們可以嘗試用海倫秦九韶公 式來(lái)解決一下，看看誰(shuí)做的又快又好。如圖，在三角形ABC中，A=15, B=14, C=13,求三角形ABC的面積，運(yùn)用我們己經(jīng)學(xué) 習(xí)過(guò)的知識(shí)可以直接求解嗎？則， /IRdJ a = 15,= 13,S = J P 3 />>3 c)= 13) = 84設(shè)計(jì)意圖：1.讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用海倫公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程：2.培養(yǎng)學(xué)生利用海倫公式解決 三角形三邊與面積之間關(guān)系問(wèn)題的意識(shí)，體現(xiàn)海倫公式的方便。五、課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容六、作業(yè)布置作業(yè)1：課后練習(xí)：小組討論并證明：當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，當(dāng)AABC為鈍角三角形時(shí)，用勾股定理的方 法你是否可以證明海倫-秦九韶公式的成立？作業(yè)2.課本16面練習(xí)七、課后反思我把這節(jié)課安排在勾股定理之后學(xué)習(xí)，求三角形的而積就是通過(guò)需要利用高， 利用勾股定理建立等量關(guān)系求出三角形的高，然后求出三角形的面積，主要目的是為 了引導(dǎo)學(xué)生能夠自己利用所學(xué)的知識(shí)證明秦九韶公式，這樣大大降低了學(xué)生的證明難 度，但是由于公式的證明涉及到字母常數(shù)，在證明過(guò)程中，對(duì)部分學(xué)生還是有難度的, 在通過(guò)秦九韶公式的轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步推出海倫公式，同學(xué)們比較容易發(fā)現(xiàn)海倫公式，秦 九韶公式之間