11.1數(shù)列極限microsoftword文檔doc

1、第十章極限與數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一導(dǎo)函數(shù)f簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則極限f四則運(yùn) 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義算法則與幾何意義數(shù)列的極限-無(wú)窮等比數(shù)列的和判斷函數(shù)的單調(diào)性 一判斷函數(shù)的極在、小值求函數(shù)的最大、小值11. 1數(shù)列極限一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)1 .理解數(shù)列極限的概念，掌握數(shù)列極限的運(yùn)算法則；2 .會(huì)通過(guò)恒等變形，依據(jù)數(shù)列極限的運(yùn)算法則，依據(jù)極限為0的幾種形式，求數(shù)列的極根；3 .會(huì)求公比絕對(duì)值小于 1的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和.二.建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)1 .數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù) n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列an的項(xiàng)an無(wú)限 地趨近于某個(gè)常數(shù) a （即|an-a|無(wú)

2、限地接近于0）,那么就說(shuō)數(shù)列an以a為極限.注：a不一定是 an中的項(xiàng).2 .幾個(gè)常用的極限： lim C=C （C 為常數(shù)）； lim 1 =0;n >:-n >二 n limn=0（ 口1< 1）.無(wú)窮等比數(shù)列an,當(dāng)公比的絕對(duì)值|q|<1時(shí)，前n項(xiàng)和的極限 嗎Sn =六.稱(chēng)之為 “各項(xiàng)和”或“所有項(xiàng)的和”.3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)數(shù)列an、bn,當(dāng) lim-n=a, limbn=b 時(shí)，lim(an土 M =a±b;nj 二二lim(an , » =a - b;n-)二二lim 包=a(bw0).n-' bnb說(shuō)明：極限的四則運(yùn)算

3、法則，只適合于有限次的四則運(yùn)算.對(duì)于數(shù)列前n項(xiàng)和的極限，必須先求和(式)，再取極限.三、雙基題目練練手 lim qn=0n_):：1 .下列極限正確的個(gè)數(shù)是 lim =0 (a >0) n n -2n -3n lim - = 1n_. 2n -3nlim C=C (C為常數(shù))n j二二值是B.2. (2006 陜西)A.13.已知4.5.limn 一 ooC. 41D,都不正確2n(4n2+1 - /n2 1)C.D.a、b、c是實(shí)常數(shù),B. 3(2006 重慶)limn 二annim二 bn1 3 III (2n -1)2n2 - n 1將無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.12化為分?jǐn)?shù)是等于(c=2,c

4、bn2 - clim 2i ： cn - b2 an c=3,則 lim 2 n J cn aD. 66.(545n)5 4545(6 一5)(62 一52'(6n簡(jiǎn)答:1-3 . BBDan c 一3.由 lim =2,得 a=2b.n bn clim 2C=3/I|b=3c,，c=1b.n一cn b3c2a.aan cn2 a, , 6 . lim 2= lim 6.cn cn - a n, a cc n4. 1.分子先求和，再求極限.25. 0.1智0. 12+0. 0012+ - 0. 12/(110 01) 4/33.6. -1四、經(jīng)典例題做一做【例1】求下列極限：2n2 n

5、 7(1) lim 9;(2)limn一5n2 7n，二Yn2 +n n);(3)242nlim ( -2 + + + -+ + 2 n-nnn分析：（1）因?yàn)榉肿臃帜付紵o(wú)極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過(guò)變形分子分母同除以n2后再求極限；（2）因Jn2 +n與n都沒(méi)有極限，可先分子有理化再求 極限；（3）因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限.解：（1）221 -lim 曳4-limn 5n2 7 n7K十52n2 4 6- 2n(3)原式limn ”二lim n(n2 1) lim (1 + 1) -1 . n n n n ，一 2一、lim (2n2n 7).特

6、別提示：:對(duì)于(1)要避免下面兩種錯(cuò)誤：原式 =*Z= -=1lim (5n2 7)n )二：lim (2n 2+n+7) , lim (5n?+7)不存在，原式無(wú)極限.對(duì)于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤: lim ( Jn2 +n n) = lim Vn2 +n lim n=0° 00 =0;原式n_：=lim Vn2 +n lim n=8n-)二二n_：2.400不存在. 對(duì)于(3)要避免出現(xiàn)原式=lim = + lim )+ n n ，二 n2n+ lim 不=0+0+0=0這樣的錯(cuò)誤. n' n【例2】 已知數(shù)列 an是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列, 其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)

7、.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式及前 n和Sn；a1=3,且滿(mǎn)足 lgan=lgan 1+lgc,2n 1 -an 求lim nan的值.52 am解：(1)由已知得an= c an-1, an是以a=3,公比為c的等比數(shù)列，則 an=3 - c 丁13n(c=1)“一"且 ”1)._ n 4lim二 2n - am=limn ”二2n-3cn2n 3cn當(dāng)c=2時(shí)，原式=-;4業(yè)“(2尸一31當(dāng)c > 2時(shí)，原式=lim =;n - 2 (2)n4 3c cc1 -3(-)nJ1當(dāng)0V c v 2時(shí)，原式=lim 2= 12 3c (曠2評(píng)述:求數(shù)列極限時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)

8、用.【例 3】 已知直線(xiàn) l:xny=0 (nC N *),圓 M: (x+1) 2+ (y+1) 2=1,拋物線(xiàn)中：y= (xT) 2,又l與M交于點(diǎn)A、B, l與學(xué)交于點(diǎn)C、D,求lim|AB |22分析:要求lim網(wǎng)!的值，必須先求它與n 4|CD |2n的關(guān)系.解:設(shè)圓心M ( 1,1)到直線(xiàn)l的距離為2d,則 d2=2 n2 122、 8n又 r=1,，|AB| =4 (1d ) =21 n設(shè)點(diǎn) C(X1,y1), D (x2,y2),x-ny=02 一 .、 一由12 = nx (2n+1) x+n=0,y =(x -1)，2n 1 .一 x1 + x2= , xi x2=1 .n

9、/ - -、2 ,、24n 1, 一、2 , xix2、2 4n 1(x1 x2) = x x1 + x2) - 4x1x2=2 , ( y1 y2) = ( - ) =4-nn n n |CD |2= (xl x2)2+ (y1一y2)12=(4n+1) (n2+1).|AB |22|CD |2n8n58=lim 22 = lim =2.(4n 1)(n2 1)2 n >:(4 . 1)(1 . 1)2n n評(píng)述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題.要求極限，需先求|ab |22 |CD|2，這就要求掌握求弦長(zhǎng)的方法.【例4】若數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1，且對(duì)任意nCN *, an與an

10、+1恰為方程x2-bnx+cn=0 的兩根淇中0v|c|<1,當(dāng)lim (b1+b2+ - +bn) w 3時(shí)，求c的取值范圍. n :，解:首先，由題意對(duì)任意n N*, an an+1=cn恒成立.n 1an 1 an -2 an 2 c = - =c.又 a1 a2=a2=c.an an 1 an c，ai,a3,a5,a2n-1,是首項(xiàng)為1,公比為c的等比數(shù)列，a2,a4,a6,a2n,是首項(xiàng)為 c,公比 為c的等比數(shù)列.其次，由于對(duì)任意nCN*,an+an+i = bn恒成立.bn 2 _ an 2 ' an 3bnan ' an 1=c.又 bi=ai+a2=1

11、 + c,b2=a2+a3=2c,，b1,b3,b5,b2n-1,是首項(xiàng)為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,，b2n,是首項(xiàng)為2G 公比為c的等比數(shù)列，lim(b1+b2+b3+-+bn)n_.=lim (b+b3+b5+)+ lim(b2+b4+)1 c 2c=+3.1 -c 1-c11解得 c< 或 c>1 . < 0<|c|<1,.-.0<c< 或一1 vcv 0.33故c的取值范圍是(一1,0) U ( 0, 2 =2 - ( -r2)1 r .3提煉方法：本題的解題目標(biāo)是將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式，即將 bn的各項(xiàng)和

12、表示為關(guān)于 c的解析式；關(guān)鍵是對(duì)數(shù)列特點(diǎn)的分析和運(yùn)用；顯然“起點(diǎn)”應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【研討.欣賞】在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí)，先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，然后采用如下 方法進(jìn)行：從原點(diǎn)出發(fā)，在x軸上向正方向前進(jìn) a (a>0)個(gè)單位后，向左轉(zhuǎn)90° ,前進(jìn)a r (0 vr<1=個(gè)單位，再向左轉(zhuǎn)90° ,又前進(jìn)a r2個(gè)單位，如此連續(xù)下去.(1)若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營(yíng)失去聯(lián)系，且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同則大本營(yíng)在何處尋找小分隊(duì) ？(2)若其中的r為變量，且0vrv1,則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條曲線(xiàn)上？剖析：(1)小分隊(duì)按原

13、方案走，小分隊(duì)最終應(yīng)在運(yùn)動(dòng)的極限位置.(2)可先求最終目的地關(guān)于r的參數(shù)形式的方程.解：(1)由已知可知即求這樣運(yùn)動(dòng)的極限點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的極限位置為 Q (x,y),則x=a ar2+ar4 ,a a35ary=ar ar +ar =,1 r a ar大本營(yíng)應(yīng)在點(diǎn)( 上w,上下)附近去尋找小分隊(duì).1 r 1 rX 2 ，1 +r消去2即行動(dòng)的最終目的地在以（-,0）為圓心，亙?yōu)榘霃降膱A上. 22r 得(x 2) 2+y2=a_ (其中 x>a,y>0),242五.提煉總結(jié)以為師1 .極限的四則運(yùn)算法則只用于有限次的運(yùn)算，對(duì)于n項(xiàng)和的極限，要先求和再求極限02 .對(duì)“0、一、七8”型的極

14、限，要分別通過(guò)“約去使分母為零的因式、同除 0以分子、分母的最高次哥、有理化分子”等變形，化歸轉(zhuǎn)化后再求極限值。3 .對(duì)含參數(shù)的題目要看是否需要分類(lèi)討論；4 .在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中，注意化歸思想、分類(lèi)討論思想和極限思想的運(yùn)用.同步練習(xí)【選擇題】A .2.1、lm子n (1 -)0 B. 1(2003北京)若數(shù)列4C. 2an二3.5D.an的通項(xiàng)公式是3q 25(-1)n(35-2q)1124217 B.24（2004湖南）數(shù)列an中C.(1L)1等于 () n 2,n=1,2,，則 lim (a+a2+ an)等于c 19C.24,a1二 一 ,an+an+1 =n_):：c 25D.246.、

15、一gn4,n C N *，則 lim(a1+a2+an)等于4D.254. （2006山東）若i 1一,如(. n a fn)5. （2004上海）設(shè)等比數(shù)列an （nCN）的公比q=工，且吧（a+a3+a5+a2n-1)=8，則 a1 =36. （2004春上海）在數(shù)列an中，a1=3,且對(duì)任意大于1的正整數(shù) "點(diǎn)（花,癡 -1 ）在直線(xiàn)x-y-擲=0上，則liman 2n 1二（n 1）簡(jiǎn)答.提示:1-3. CCC;234 n 1 _1. 原式 =lim nx x x 1345 n 2=lim 2n =2.n- 1 n 223 .)2- (n為奇數(shù))，an= 3 (n為偶數(shù)).a

16、1+a2+-+an= (2 1+2 3+2 5+)+ (3 2+3 4+3 6+)- lim (a1+a2+ . +an)n_):：11493. 2 (a+a2+an)=a1+ (a+a2)+ (a2+a3)+ (an-1+an)1 +an1 6= -+ +55266F + +an-535n6原式=+ 25 + lim an】25 1 _1n，二5=1 ( 1 + + lim an).25 10 n，二an+an+1= _,.,. lim an+ lim an+1=0.5nl n )二nj：. nm0.答案：c4. 2; 5. 2; 6. 3.【解答題】7.求下列極限:圳十(1)lim n :

17、二2n 1)；1 2 42n(2)lim(-).n 1 3 9 "I 3n1“，八35斛：(1)lim ( 2 十 2nr ： n1 n 172n 1、2-2)n 1 n 1n3 (2n 1)= lim 3 5 7 ”(2n 1n , n2 1=limn :2n2 1= lim n : n2 11 2= limn = 1nn lim(n ;1 2 4 |ll 2nd2n -11 3 9川3n)=lim n-2(3n-1)= lim中n : 3n -1n-= lim-3- =0n 二 “1%8.已知數(shù)列an、bn都是無(wú)窮等差數(shù)列，其中a1=3,b1=2,b2是a?與a3的等差中項(xiàng)，li

18、mn-j 二：anbnn一j 二二+aQ a2 b2+ )的值.an bn解:an、bn的公差分別為di、d2.2b2=a2+a3,即 2 (2+d2)= (3+di) + (3+2d1)， .,2d2-3d1=2.-V an 3 (n-1)d1d11日又 lim -= lim - =-,IPd2=2d1,n bn n二 2 (n7)d2d22,"d1=2,d2=4.an=a1+ (n 1) d1=2n+1,bn=b1+ (n1) d2=4n 2.111/11、-=(一).an bn(2n 1) (4n - 2) 4 2n -1 2n 1原式=lim 1 (1-)=.4 2n 149

19、. (2003年北京)如圖，在邊長(zhǎng)為 l的等邊 ABC中，圓O1為 ABC的內(nèi)切圓， 圓O2與圓。1外切，且與 AB、BC相切，圓On+1與圓On外切，且與 AB、BC相切，如 此無(wú)限繼續(xù)下去，記圓On的面積為% (nC N*).(1)證明an是等比數(shù)列；(2)求lim (a+a2+an)的值n_：(1)證明：記rn為圓On的半徑,l貝U r 1= tan30 =2rn J -rn =sin30rn J - rn1一n13(n>2).2qC _. 2.兀1a1=兀 r 1 =12anan Janan JS) 2=1rn9an成等比數(shù)歹U.(2)解：因?yàn)閍n =1)9n 1 a1(nCN*),a1所以 lim (a+a2+ + an)=n二d 11 -93 M23210.已知數(shù)列 an、bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比分別為p、q淇中p>q且pW1,qW1,設(shè)Cn=an+bn,Sn為數(shù)歹U 品的前n項(xiàng)和，求1mSnSn解:Sn=a1(1pn)+b1(1-qn),1。p 1 -qq(1 -pn)“(1 -qn)Sn_1 _ p 1 _qSn4a1(1 - pn')b1(1 -qnb1 -p1-q當(dāng)p>1時(shí)，p>q>0,得0v q <1,上式分子、分母同除以pl1,得p/ 1、卜 / 1 qn、ai（F -P）bif