等和線解決的平面向量專題

1、1、【2014寧波二模理17】已知點(diǎn)。是4ABC的外接圓圓心，且AB=3 , AC=4 .若存在非零實(shí)數(shù) x、*uuruuir uury,使得 AO xAB yAC，且 x 2y 1 ,則 cos / BAC=.uuur uuu uur uuur uuur解答：取AC中點(diǎn)D,則有AO xAB yAC xAB 2yAD，而x 2y 1,得點(diǎn)B,O,D三點(diǎn)共線，已知點(diǎn)O是ABC的外心，可得BD AC，故有BC=AB=3 ,AC=4,求得 cos BAC2、2014杭州二模文8理6】設(shè)OzXABC的外心(三角形外接圓的圓心).若AO1 一 1 -AB AC ,貝U BAC 33的度數(shù)為()A.300

2、B.450 C.600 D.900解答:uuur取AC中點(diǎn)D,則有AO1 uuu 2 uuur1AB -AD ,得點(diǎn)B,O,D三點(diǎn)共線，已知點(diǎn) O33是4ABC的外心，可得BDAC ,即有AO=BO=2DO ,故可求得 BAC60 .3、【2009浙江理樣卷6】已知uuu uiu uurrOP 2tPA tOB tAOB uuu PA utu-= PB，點(diǎn)P在直線AB上,()ABC.2D.332解答：由已知uuu 2tOP 1 2tuurOAuuirtOB，點(diǎn)P在直線AB上，得2t1 2t且滿足1t 一.當(dāng) t2uuu1時(shí)，可得OA1 uuu 1 uuir-OP -OB1 uuir,此時(shí)A為P

3、B中點(diǎn),uuu PA uur PB12時(shí),uuu可得OP1 uuu 1 uuuOA OB此時(shí)P為AB中點(diǎn),uuuPA uuu- =1.PB4、【2014浙江省六校聯(lián)考理17】已知O為ABC的外心，AB_2，2a, AC -(a a0),_o -H-BAC 120，右uurAOuur uuurxAB yAC(x,y 為實(shí)數(shù))，則 x的最小值為解答：如圖，設(shè)AOIBCE , EO m , AO R,則易知uuirAOr uur AE R muurr x1ABuury1 AC ,其中 X1y 1R 一,R ,故由已知可 2所求取值范圍是2,5、【2013學(xué)年第一學(xué)期末寧波理17】已知。為 ABC的外

4、心,AB 4, AC 2, BAC 120。若 AO 1 AB 2 AC,解法 1：如圖，設(shè) AOI BC E , EO m, AO R, AF BC 于 F 點(diǎn)，OG BC 于uuurG點(diǎn)，則易知AOR uuu AER muur x1ABuuryAC ,其中 k y1得OG,21AF2,21故可求得AF OGAF1 OGAF13解法2:uuuruuuuuu 2uuruurAOAB1AB2ACABuuuruuuruuuuiuruuur 2AOAC1ABAC2AC16 14 1解法3:uurAC13設(shè) A 0,0B 4,0,外心。是AB中垂線uuu2,逑，得AO1,囪，得 4#473，有誤，重解

5、3 22和AC中垂4,0 ，【變式1、已知向量a,b的夾角為，且|a|=4, |b|=2,|a-c|=| b-c|=| c|,若 c=xa+yb,6、【2013學(xué)年第一學(xué)期月考寧?？h正學(xué)中學(xué)文17】已知ab為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足c+ a=(c+ b)(R)則|c |的最小值為解答：如圖，由已知uur ruurOB ,r直線AB上，得C7、【2012年稽陽聯(lián)考15】A, B,P是直線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn) uuuO在直線l外，若uuu uuuOP mAP (2 muur3)OB,(mR),則-JPB-=2.o|PA|解答：8、2013杭二中高三適應(yīng)考理17如圖，在直角梯形ABCD

6、 中,AD AB ,AB / DC , AD DC 1 , AB 2 ,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切uuuuuruuu的圓上或圓內(nèi)移動(dòng)，設(shè)APADAB (,R),則 取值范圍是.解答：設(shè)API BDE, AEuuu nuuu n uuuuurm, AP n ,則 AP AE xAB yAC ,其中m m2.5 n 5_ m 2、55k表示點(diǎn)p到bc邊的距離,0,經(jīng)5,得所求取值范圍是1.2a2009 OC,且A,B,C三點(diǎn)共線（該9、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若OAa2 OB直線不過點(diǎn)O）,則S2010等于（D）A. 2010 B, 2008 C, 1010D, 1005uu

7、uuuruur10、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,若OA a? OB 22013 OC,且A,B,C三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)Q ,則S2014等于（D）11、如圖，在扇形OAB中，AOBA. 2014B. 2012C.1012D.100760 ,C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若°C xOA y OB，則x 3y的取值范圍是1,3.解答：如圖，在 OB上取一點(diǎn)D,使OB=3OD，設(shè)OC I ADuuur 則有OCm nuuEmm n uuu 肥甘小x1OA y1OD ,其中 x ymuuur uur uur uuu uuurm nOC xOA yOB xOA 3yOD，得 x 3y 1m

8、E , OE m, EC n,1 ,另有,易知當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)A重 m合日達(dá)最小值0,當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)B重合時(shí)口達(dá)最大值2,故x 3y 1,3 . mm12、如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形,OD=3,點(diǎn)P為乙BCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OPuurOCuurOD（最大值等于gA, B滿足313、在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若兩定點(diǎn)2, , R所表OA OB OA OB 2 ,則點(diǎn)集 P| OP OA OB,示的區(qū)域的面積是16 3.14、若等邊 ABC的邊長(zhǎng)為2 ,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM 1CB CA,則mAmB 32(C)a.8b.£c.999D.13g15、若等邊 ABC的邊長(zhǎng)為2

9、73,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM1 2-CB -CA,則 63MA MB -2.uuuu16、若M為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AM3 uuu 1 uur3AB AC,貝 lj ABM 與 ABC4 4'的面積之比為14.unruuuuuur uuu17、設(shè) O 是 ABC 的外心，AO xAB yAC , ABuuir4, AC6, 2x 2y 1 ,rruuu uuir貝U AB AC =418、已知。為 AABC 的外心，| aB| 16,| AC | 10V'5,若 aO xAB yAC, uuu且 32x+25y=25,則 OA =10.19、已知A、B是單位圓上的兩點(diǎn)，。為圓心，

10、且AOB 120°, MN是圓。的 uuiruuuuuir _一條直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足OC OA (1 )OB (°1),則uuuu uuurCM CN的取值范圍是(C)一 13A. ,1) B. 1,1) C. -,0) D. 1,0)2420、已知圓。的半徑為2, A、B是圓上兩點(diǎn)且 AOB 2-, MN是一條 3unruur uuuuuuu uuur ”直徑，點(diǎn)C在圓內(nèi)且滿足OC OA (1 )OB(01),則CM CN的最小值為(C)A. -2B. - 1C. -3D. -421、已知 O(0,0) , A(cos ,sin ) , B(cos ,sin ),

11、C(cos ,sin ),若 uuu uuu uuur rkOA (2 k)OB OC 0, (0 k 2),則 cos( )的最大值是.22、【2014稽陽聯(lián)誼理16】在ABC中，BAC 90 ,以AB為一邊向 ABC外 Unruur uUur作等邊 ABD,若 BCD 2 ACD , AD AB AC ,則 =.解：如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為D',且DD'交AC于點(diǎn)E.設(shè)弦定理得sin(1502 , CD'DCDsin(1503 )3 ) sin(9090CBDBD DD 'sin 2 sin 2)，從而1501503 ,在 DCD', BCDC

12、D sin(90 90而得 15 .顯然 DEAB23、已知 ABC 中，AB=4 ,AC=2 ,若AEAC uurAB，故uuurAC從而得)或150 3901 .3DCA ,中利用正180從2的最小值是2,則對(duì)于 ABC內(nèi)解：uuu 設(shè)AEP, uur ABuuuPAuuuPBAB=4得I1、uuuOC解:2uur ABuuurPCuuurACuHTAD的最小值是uuuAB 1uuur2ACuuuABuuurAD的最小值是2,則點(diǎn)E在直線AD上,AC=2 , AD=4BAC 120 ,取P與點(diǎn)G重合時(shí),ABC內(nèi)接于以u(píng)urAB =uuu3OAuuur4OBAE長(zhǎng)度最小為2時(shí)，E為BD中占I

13、 八)AEBDBC中點(diǎn)F,有最小值連結(jié)AF,1 uuur 2AF2取AF中點(diǎn)G,則有:1 uuu AB8uuur 2AC。為圓心,uuu5OC ,1為半徑的圓，且兩邊平方得uuu uuuOA OBuuur 故OCuuuAB3 uuu 4 uuu-OA -OBuur uuuOB OA2、在ABC 中，AC=2, BC=6,。是uurOCuuuuuurBA 2BC解法1：3,0uuu 由OAuuu3OBuuur4OCuuur 得OC21uuuBAuur2BCuuiT故OCuur BAuur2BC21 xx 158y2 324-40.8uuu3OA3.2uuu4OBuuur5OCr0,則11 uurOA5 5ABC內(nèi)一點(diǎn),uuuOBuuuOA,則由AC=2得x15,y1 8yx2 6x 3158uur3OBuuur r4OC 0 ,則32 y2 4,uuur uur uur得 OC B