項(xiàng)目四無窮級數(shù)光盤版

1、項(xiàng)目四 無窮級數(shù) 實(shí)驗(yàn) 無窮級數(shù)（基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)） 實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠^察無窮級數(shù)部分和的變化趨勢,進(jìn)一步理解級數(shù)的審斂法以及冪級數(shù)部分和對函數(shù)的逼近. 掌握用Mathematica求無窮級數(shù)的和, 求冪級數(shù)的收斂域, 展開函數(shù)為冪級數(shù)以及展開周期函數(shù)為傅里葉級數(shù)的方法. 基本命令 1. 求無窮和的命令Sum 該命令可用來求無窮和. 例如,輸入 Sum1/n2,n,l,Infinity則輸出無窮級數(shù)的和為 命令Sum與數(shù)學(xué)中的求和號相當(dāng). 2. 將函數(shù)展開為冪級數(shù)的命令Series 該命令的基本格式為 Seriesfx,x,x0,n它將展開成關(guān)于的冪級數(shù). 冪級數(shù)的最高次冪為余項(xiàng)用表示. 例如,輸入 Seri

2、esyx,x,0,5則輸出帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林級數(shù) 3. 去掉余項(xiàng)的命令Normal在將展開成冪級數(shù)后, 有時(shí)為了近似計(jì)算或作圖, 需要把余項(xiàng)去掉. 只要使用Normal命令. 例如,輸入 SeriesExpx,x,0,6 Normal%則輸出 4. 強(qiáng)制求值的命令Evaluate如果函數(shù)是用Normal命令定義的, 則當(dāng)對它進(jìn)行作圖或數(shù)值計(jì)算時(shí), 可能會(huì)出現(xiàn)問題. 例如,輸入fx=NormalSeriesExpx,x,0,3Plotfx,x,-3,3則只能輸出去掉余項(xiàng)后的展開式 而得不到函數(shù)的圖形. 這時(shí)要使用強(qiáng)制求值命令Evaluate, 改成輸入 PlotEvaluatefx,x,-3

3、,3則輸出上述函數(shù)的圖形.5. 作散點(diǎn)圖的命令ListPlot ListPlot 為平面內(nèi)作散點(diǎn)圖的命令, 其對象是數(shù)集,例如,輸入ListPlotTablej2,j,16,PlotStyle-PointSize0,012則輸出坐標(biāo)為的散點(diǎn)圖(圖1.1).圖1.16. 符號“/；”用于定義某種規(guī)則,“/；”后面是條件. 例如,輸入Clearg,gf;gx_:=x/;0=x1gx_:=-x/;-1=x=1則得到分段的周期函數(shù)再輸入 gf=Plotgx,x,-1,6則輸出函數(shù)的圖形1.2.圖1.2注:用Which命令也可以定義分段函數(shù), 從這個(gè)例子中看到用“(表達(dá)式)/; (條件)”來定義周期性分

4、段函數(shù)更方便些. 用Plot命令可以作出分段函數(shù)的圖形, 但用Mathematica命令求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分時(shí)往往會(huì)有問題. 用Which定義的分段函數(shù)可以求導(dǎo)但不能積分. Mathematica內(nèi)部函數(shù)中有一些也是分段函數(shù). 如:Modx,1,Absx,Floorx和UnitStepx.其中只有單位階躍函數(shù)UnitStepx可以用Mathematica命令來求導(dǎo)和求定積分. 因此在求分段函數(shù)的傅里葉系數(shù)時(shí), 對分段函數(shù)的積分往往要分區(qū)來積. 在被積函數(shù)可以用單位階躍函數(shù)UnitStep的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算表達(dá)時(shí), 計(jì)算傅里葉系數(shù)就比較方便了. 實(shí)驗(yàn)舉例 數(shù)項(xiàng)級數(shù)例1.1 (教材 例1.1)

5、(1) 觀察級數(shù)的部分和序列的變化趨勢.(2) 觀察級數(shù)的部分和序列的變化趨勢.輸入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n,100;ListPlotdata;NSum1/k2,k,InfinityNSum1/k2,k,Infinity,40則輸出(1)中級數(shù)部分和的變化趨勢圖1.3.圖1.3級數(shù)的近似值為1.64493.輸入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.02;則輸出(2)中級數(shù)部分和的的變化趨勢圖1.4.圖1.4例1.2 (教材 例1.2) 畫出級數(shù)的部分和分布圖.輸入

6、命令Clearsn,g;sn=0;n=1;g=;m=3;While1/n10-m,sn=sn+(-1)(n-1)/n;g=Appendg,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1/n,Linesn,0,sn,1;n+;Showg,PlotRange-0.2,1.3,Axes-True;則輸出所給級數(shù)部分和的圖形（圖1.5）,從圖中可觀察到它收斂于0.693附近的一個(gè)數(shù).圖1.5例1.3 求的值.輸入 Sumx(3k),k,1,Infinity得到和函數(shù) 例1.4 (教材 例1.3) 設(shè) 求. 輸入Cleara;an_=10n/(n!);vals=Tablean,n,1,25;Li

7、stPlotvals,PlotStyle-PointSize0.012則輸出的散點(diǎn)圖（1.6）,從圖中可觀察的變化趨勢. 輸入 Suman,n,l,Infinity則輸出所求級數(shù)的和.圖1.6求冪級數(shù)的收斂域 例1.5 (教材 例1.4) 求的收斂域與和函數(shù). 輸入Cleara;an_=4(2n)*(x-3)n/(n+1);stepone=an+1/an/Simplify則輸出 再輸入 steptwo=Limitstepone,n-Infinity則輸出 這里對an+1和an都沒有加絕對值. 因此上式的絕對值小于1時(shí), 冪級數(shù)收斂; 大于1時(shí)發(fā)散. 為了求出收斂區(qū)間的端點(diǎn), 輸入ydd=Sol

8、vesteptwo=1,xzdd=Solvesteptwo=-1,x則輸出 由此可知,當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂,當(dāng)或時(shí),級數(shù)發(fā)散. 為了判斷端點(diǎn)的斂散性, 輸入 Simplifyan/.x-(49/16)則輸出右端點(diǎn)處冪級數(shù)的一般項(xiàng)為因此,在端點(diǎn)處,級數(shù)發(fā)散. 再輸入 Simplifyan/.x-(47/16)則輸出左端點(diǎn)處冪級數(shù)的一般項(xiàng)為因此,在端點(diǎn)處, 級數(shù)收斂. 也可以在收斂域內(nèi)求得這個(gè)級數(shù)的和函數(shù). 輸入 Sum4(2n)*(x-3)n/(n+1),n,0,Infinity則輸出 函數(shù)的冪級數(shù)展開 例1.6 (教材 例1.5) 求的6階麥克勞林展開式. 輸入 SeriesCosx,x,0,6則輸

9、出 注:這是帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林展開式. 例1.6 (教材 例1.6) 求在處的6階泰勒展開式.輸入 SeriesLogx,x,1,6則輸出例1.7 (教材 例1.7) 求的5階泰勒展開式.輸入serl=SeriesArcTanx,x,0,5;Poly=Normalserl則輸出的近似多項(xiàng)式 通過作圖把和它的近似多項(xiàng)式進(jìn)行比較. 輸入PlotEvaluateArcTanx,Poly,x,-3/2,3/2,PlotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0,AspectRatio-l則輸出所作圖形（圖1.7）, 圖中虛線為函數(shù),實(shí)線為它的近似多項(xiàng)式.圖1.7 例1.9 求在處的8

10、階泰勒展開, 并通過作圖比較函數(shù)和它的近似多項(xiàng)式. 輸入Clearf;fx_=Exp-(x-1)2*(x+1)2;poly2=NormalSeriesfx,x,1,8PlotEvaluatefx,poly2,x,-1.75,1.75,PlotRange-2,3/2,PlotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0則得到近似多項(xiàng)式和它們的圖1.8. 圖1.8例1.10 求函數(shù)在處的階泰勒展開, 通過作圖比較函數(shù)和它的近似多項(xiàng)式, 并形成動(dòng)畫進(jìn)一步觀察. 因?yàn)?所以輸入DoPlotSum(-1)j*x(2j+1)/(2j+1)!,j,0,k,Sinx,x,-40,40,PlotSt

11、yle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1,k,1,45則輸出為的3階和91階泰勒展開的圖形. 選中其中一幅圖形,雙擊后形成動(dòng)畫. 圖1.9是最后一幅圖.圖1.9例1.11 利用冪級數(shù)展開式計(jì)算(精確到).因?yàn)楦鶕?jù)在處的展開式有故前項(xiàng)部分和為輸入命令sn_=3(1-1/(5*34)-SumProduct5i-1,i,1,k-1/(5k k!3(4k),k,2,n-1);rn_=Product5i-1,i,1,n-1/5n/n!3(4n-5)/80;delta=10(-10);n0=100;DoPrintn=,n,sn=,Nsn,20;Ifrndelta,Break;Ifn=

12、n0,Printfailed,n,n0則輸出結(jié)果為 傅里葉級數(shù)例1.12 (教材 例1.8) 設(shè)是以為周期的周期函數(shù),它在的表達(dá)式是 將展開成傅里葉級數(shù). 輸入Clearg;gx_:=-1/;-Pi=x0gx_:=1/;0=xPigx_:=gx-2Pi/;PiRGBColor0,1,0; 則輸出的圖形 (圖1.10).圖1.10因?yàn)槭瞧婧瘮?shù), 所以它的傅里葉展開式中只含正弦項(xiàng). 輸入b2n_:=b2n=2 Integrate1*Sinn*x,x,0,Pi/Pi;fourier2n_,x_:=Sumb2k*Sink*x,k,1,n;tun_:=Plotgx,Evaluatefourier2n,x

13、, x,-Pi,5 Pi,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor1,0.3,0.5,DisplayFunction-Identity; (*tun是以n為參數(shù)的作圖命令*)tu2=Tabletun,n,1,30,5; (*tu2是用Table命令作出的6個(gè)圖形的集合*)toshow=Partitiontu2,2; (*Partition是對集合tu2作分割, 2為分割的參數(shù)*)ShowGraphicsArraytoshow (*GraphicsArray是把圖形排列的命令*)則輸出6個(gè)排列著的圖形（圖1.11）,每兩個(gè)圖形排成一行. 可以看到越大, 的傅里葉級數(shù)的前項(xiàng)和與越接近. 圖1.11實(shí)驗(yàn)習(xí)題1.求下