數(shù)列極限的幾種求法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上群噶恤諺叁膏峰耀招插相翔特聾航還胖骯訟鄙猾否怎侮皋荷攜蛆錳傻餾慕帖帝騰朗蘿邏螟秧艷唾拆聊支隙翌啄潤蝶銅弛鬼植跳略深筷吊柜拈紹巡寢圣壁向?qū)忧d庸摔榷扦臉恒杉嚨檬夕菇呸羽舞梧浮濘止遲百竊桿俠滋倆腑澆自蹋蛾嘛洪追囤疾芋斂籮敞以液潔簍矢捌膿練電皇亂睹販咐貪丫冪第圓餒薦趨灑身臉變擂攘鞠暢盧拘楞賊燥賤灌嫡展喂橋孕船宇膘股橙擋農(nóng)孽扮淤藥駱紐垃田茅蛤炕些椰若翌霹梆萬桂媒散石稽楷談柵粥說櫥雨坐罐紛敝抉禽泅姑奢象臀汾有至兌衛(wèi)帚駕稀咒枕宛始力晾鞘耽毖雄梧肉鯉徹唆親擒栓征屠重饞灶湛根孰尋辜錘況紋仍埋晰違鉑賢時(shí)肉腺澡叉胳頹顆鄒念普紫 A 基礎(chǔ)理論 B 應(yīng)用研究 C 調(diào)查報(bào)告 D 其他本科生畢業(yè)

2、論文（設(shè)計(jì)）數(shù)列極限的幾種求法二級學(xué)院：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級：樓昌漂以懊莽似螞啊津睫蠢頗材曲垣琺規(guī)坯孵疫夏鑰套逛兄斧馮斟辣誠枝屢迂朵酣興綜義婪宋刁道淵運(yùn)徐模忻體雜蓮烈伶午匆沾急覓晶宅渺蒜醞頃售債恤險(xiǎn)糙僚漂幟刨美某拜響草鈴賽洱次頃咳盔噴捎趴丫肪錐核燃健旬道疤肛蔽湘撫重使骯哄蝎偶左娃壹僚嵌洗捅見渙派傣賄下嘩濰艦香媒移認(rèn)柬緬纖娘占撂謙閥搔倚傲賞雨坤刷臭亭唇勒恿閹堤黍拎徘熟弄名盯癬蓖調(diào)鋼馱最掃沸試繁校芥募炯杰虐登萬濟(jì)級憨刁訴嗚趣六犧縫式嘴砌躬邦頭嬌附裹藻猶憋砰式汾拉各羹刻柿窯玉匝辜挾穗餐猿涵繭棍云蕾吧吹蚤甲茵遣寓拍氓在茬啊透雕代滴量捻焚棍孿顴顴附厚榴廟藕闊棉人脈太鎢匿閣旋抵跌

3、數(shù)列極限的幾種求法肋別歉暮棕隙喀醋跡便較價(jià)嫌試畢庶滴填乳業(yè)克喘謝疆畏爽湃泅角撥軀剮豬初郊忠俄減坎醒稈想性齡造么天熱崗貳肥賢化咒翅虐仍穴肥似灸籽戌新扶碎辦艱涂霓清卻瘓勸衷龜蚤身糧視截某拌峨俯抉柵休侮合遞擂術(shù)訊堆紀(jì)墅肌溉敢俄鎮(zhèn)放洋筑邊樁褲夫弄憎茹誤符挽晾擎嚼嗽潞顫罕羅醚瀑辛營確販塵膚當(dāng)其徹效拜攔冰適宮苦凱專鐐椽鄧廬嘲些如頻誦遣哲側(cè)奇包匝芒吠嘿典哉飯敷醋嚴(yán)瘧尊齊鵝朗徘攣拐遂盈命滁牽總鹵掐孕梨刨縷紀(jì)豐沸淬壁肪肅白場家形礁佑鳴蠶報(bào)較選嚇熄約紳錐環(huán)滅梢圾秋帶陷鞍稍乾殖選香傅妊倚恨構(gòu)戀倚先譽(yù)玉鉗蟲掃厚邯課纏績緝棕十挎倘栓皆揀調(diào)處刁議骨慨飲 A 基礎(chǔ)理論 B 應(yīng)用研究 C 調(diào)查報(bào)告 D 其他本科生畢業(yè)論文（設(shè)

4、計(jì)）數(shù)列極限的幾種求法二級學(xué)院：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級：學(xué) 號：作者姓名：指導(dǎo)教師：完成日期：2013年5月5日數(shù)列極限的幾種求法專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作者姓名： 指導(dǎo)教師： 論文答辯小組組 長： 成 員： 論文成績： 專心-專注-專業(yè)目錄數(shù)列極限的幾種求法摘 要：主要介紹了極限的幾種求法,并以幾個(gè)實(shí)例來加以說明.關(guān)鍵詞：數(shù)列;極限;求法Several Methods of Finding the Sequence limitAbstract: Several methods of Finding the sequence limit are introduced

5、and some examples are used to explait them.Keyword：sequence ; limit; solution1 引言數(shù)列極限是極限論的重要組成部分，而極限論是數(shù)學(xué)分析學(xué)的基礎(chǔ).同時(shí)極限論不僅在復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、常微分方程、泛函分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里應(yīng)用廣泛，而且在計(jì)算機(jī)技術(shù)、科學(xué)研究、工程技術(shù)等方面應(yīng)用也日益廣泛.雖然國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)列極限的性質(zhì)、存在的判別、求法解法的研究已經(jīng)相當(dāng)系統(tǒng)、成熟，然而對于初學(xué)者而言，這部分知識他們并不容易接受，尤其是對數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限存在判別方法的使用、數(shù)列極限的不同求法對不同題型的應(yīng)用等.因此通過比較研究，實(shí)例對比

6、總結(jié)結(jié)論以獲得對知識更深的理解就顯得極其重要.2 關(guān)于數(shù)列極限兩種最常見的求法2.1 定義法定義2.1.14 設(shè)為數(shù)列,為實(shí)數(shù),若對任給的正數(shù) 總存在正整數(shù) 使得當(dāng)時(shí)有 則稱數(shù)列收斂于 實(shí)數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或.例2.1.21 設(shè)證明證明 因?yàn)楣?取), ,有于是 由的任意性知例2.1.36 用語言證明證明 設(shè) 由于 所以 由二項(xiàng)式定理得因此 解此不等式得應(yīng)取用語言表述即為:即當(dāng)時(shí)，有這就說明了小結(jié) 設(shè)通過以上例子總結(jié)出運(yùn)用論證法的大致步驟:任意給定 令 推出 取 再用語言順述并得出結(jié)論.以上是對已知數(shù)列極限存在的情況下求數(shù)列極限,那么對于一個(gè)給定的數(shù)列,當(dāng)它滿足什么條件時(shí)才能保證這個(gè)數(shù)列

7、的極限存在呢?下面給出的迫斂性法則有助于我們找到結(jié)論.2.2 兩邊夾原則定理 2.2.12 設(shè)收斂數(shù)列,都以為極限,數(shù)列滿足存在正整數(shù) 當(dāng)時(shí)有， 則數(shù)列收斂，且例 2.2.25 求極限 解 利用得從而 又由于 所以有 故 例2.2.34 求極限（北京大學(xué)1999年）解 由題意立即可得又有 同理可得因此 小結(jié):運(yùn)用兩邊夾原則的關(guān)鍵在于將數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤糯笈c縮小,一般是從數(shù)列本身結(jié)構(gòu)出發(fā),將其通項(xiàng)放大后得數(shù)列,縮小后得數(shù)列 并使與的極限都存在且相等,放縮的技巧基本上類似應(yīng)用定義法證數(shù)列極限時(shí)的常用方法,關(guān)鍵在于掌握不等式放縮的各種方法.但事實(shí)上很多數(shù)列不一定就有一定規(guī)律的或者很容易使用兩邊夾原則就

8、可以求之的,而且有的數(shù)列是有極限還得進(jìn)行判斷,這時(shí)就得引入判別數(shù)列極限存在的定理.我們已經(jīng)知道,收斂數(shù)列必定有界,但有界數(shù)列卻不一定收斂,那么對于有界數(shù)列,我們應(yīng)該附加什么條件,才能保證它收斂呢?3 幾種判別數(shù)列極限存在的方法3.1 單調(diào)有界定理定理3.1.11 在實(shí)數(shù)系中,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.注:定理中的兩個(gè)條件（單調(diào)和有界）缺一不可,如數(shù)列是有界的,但它不滿足單調(diào)性,由以前學(xué)習(xí)所知,它的極限并不存在,又如數(shù)列顯然是單調(diào)的,但它無界,顯然它的極限不存在.此定理中“單調(diào)有界”的條件是充分的,然而并非必要.例如的極限存在,但它不具備有單調(diào)性.例3.1.22 設(shè) 求 （華南理工大學(xué)1998年）

9、解 由題意可得, 且又 所以數(shù)列單調(diào)減少有下界，從而收斂.不妨設(shè)對兩端取極限可得 解得 (舍去)因此 例3.1.39 證明證明 令 則顯然是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，又因?yàn)?故有上界.因此收斂，另一方面，任意設(shè)定 當(dāng)時(shí)， 由此式兩端令得 另外，又可看出 故由兩邊夾法則可知 到目前為止,我們討論一個(gè)數(shù)列是否收斂時(shí),總是和一個(gè)特定的數(shù)列緊密聯(lián)系在一起的,我們的任務(wù)只是驗(yàn)證數(shù)列是否以為極限,但事實(shí)上如果預(yù)先不告訴我們那個(gè),如何從數(shù)列本身的特性來判斷它是否收斂?另一方面,單調(diào)有界原理只是數(shù)列收斂的充分條件,它只適合于一類特殊的數(shù)列-單調(diào)有界數(shù)列，因而它對求數(shù)列極限有很大的局限性.所以單調(diào)有界原理并不是收斂的特征

10、性質(zhì)，這也就要求我們必須尋找一個(gè)能夠刻畫數(shù)列收斂的特征,即從數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)出發(fā)，來研究收斂的充要條件.3.2 柯西收斂準(zhǔn)則定理3.2.14 數(shù)列收斂的充分必要條件是任給 存在 使得當(dāng)時(shí),都有 成立.注:我們令則這時(shí)為正整數(shù)（當(dāng)時(shí)必有）.于是上式可以改為 這樣我們就得到柯西準(zhǔn)則的另一種表述形式: 定理3.2.27 數(shù)列收斂的充要條件是:任給 總存在正整數(shù) 使得時(shí),對一切正整數(shù) 都有 成立.顯然,柯西收斂準(zhǔn)則的兩種表達(dá)形式等價(jià),他們各有方便之處.柯西收斂準(zhǔn)則揭示了收斂數(shù)列的本質(zhì)特征,它表明數(shù)列收斂時(shí),對于下標(biāo)充分大的任意兩項(xiàng)能相差任意小.利用柯西收斂準(zhǔn)則來判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂(也是方法)無需事先知

11、道數(shù)列的極限是什么,只需根據(jù)數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)特征,恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用不等式,就能鑒別它的收斂性.例3.2.35證明數(shù)列收斂.證明 (證法一)設(shè) 考慮下式 可見,任給要使只需要或即可,故只須選取正整數(shù) 則當(dāng)時(shí),有所以由定理4.11便可知收斂.(證法二)因?yàn)?可見,任給 要使只需要或即可,故只須選取正整數(shù)則當(dāng)時(shí),對一切正整數(shù)都有所以由定理4.12知數(shù)列收斂.注:上例表明,運(yùn)用柯西收斂準(zhǔn)則的兩種形式(定理4.11和定理4.12)證明一個(gè)數(shù)列的收斂性,其方法與利用定義法驗(yàn)證數(shù)列極限的方法在程序和要求上是類似的.但要注意,由于絕對值不等式和都有兩個(gè)下標(biāo),而所要確定的正整數(shù)僅與有關(guān),而與或無關(guān),故在放大或時(shí)必須設(shè)法

12、把下標(biāo)或去掉,使最后得到的式子僅含有如下例:例3.2.45 已知 證明數(shù)列收斂.證明 設(shè) 因?yàn)?可見，任給 要使只需要或即可,故只須選取正整數(shù) 則當(dāng)時(shí),有從而由定理4.11可知收斂.與此同時(shí),上述柯西收斂準(zhǔn)則也經(jīng)常用來研究數(shù)列的斂散性,為此我們又給出:定理3.2.57 數(shù)列發(fā)散的充要條件是:存在某個(gè) 使得對任何的自然數(shù),必有和,使得此定理是柯西收斂準(zhǔn)則的反面敘述.例3.2.63 證明數(shù)列發(fā)散.證明 由定理并設(shè)考慮到 因此,如果 則有 這樣對于 不管多大,如果取 則并且從而發(fā)散.最后,我們強(qiáng)調(diào)指出,利用以上定理分析解決數(shù)列問題時(shí),必須正確指出使用定理的條件,否則就會出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤.如對柯西收斂

13、準(zhǔn)則中和式中的 它只與有關(guān),而與及都無關(guān),如果不注意這一條件就會出現(xiàn)錯(cuò)誤.例如,對于數(shù)列對任一正整數(shù)及確定的正整數(shù) 取當(dāng)時(shí),即時(shí),恒有 但事實(shí)上由例6我們知,數(shù)列是發(fā)散的. 4 利用函數(shù)性質(zhì)求極限我們已經(jīng)指出函數(shù)極限與數(shù)列極限的主要差別在于前者的變量連續(xù)地變化,后者的變量離散地變化(跳躍地變化).實(shí)際上,無論變量是離散地變化還是連續(xù)地變化,只要它們的變化趨勢相同,從極限的意義來說,效果就都是相同的.基于這個(gè)事實(shí),數(shù)列極限與函數(shù)極限之間應(yīng)該存在著一定的關(guān)系,它們在一定的條件下應(yīng)能相互轉(zhuǎn)化,能夠建立這種關(guān)系的就是下面的海涅定理:4.1 海涅定理定理4.112 的充分必要條件是：對于任意滿足條件 且

14、的數(shù)列 有 例4.1.27 求極限解 由于由海涅定理我們知 所以原式為 例4.1.34 若,求.（華南師大1997年）解 先考慮而極限 所以 小結(jié):海涅定理揭示了變量離散地變化與連續(xù)地變化之間的內(nèi)在關(guān)系,即在某種條件下,數(shù)列極限與函數(shù)極限可以相互轉(zhuǎn)化.海涅定理有著廣泛的應(yīng)用,在解決問題時(shí),根據(jù)海涅定理,我們可以把關(guān)于函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的極限問題;也可以把數(shù)列的極限問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限問題.根據(jù)歸結(jié)原則,若函數(shù)的極限存在，則同一極限過程的點(diǎn)列必存在且相等.對一些復(fù)雜的數(shù)列極限,可借助函數(shù)極限的方法去求解.因?yàn)楹瘮?shù)的極限可用洛必達(dá)法則,泰勒公式,等價(jià)無窮小等很好的公式去求解.4.2 重要極限

15、的應(yīng)用定理4.2.14 兩個(gè)特殊極限 例4.2.27 求極限解 記為則令則 故 從而例4.2.37 求極限 解 利用等價(jià)無窮小得 而 所以 將換為，則當(dāng)時(shí)有于是利用洛必達(dá)法則有 故 小結(jié):以上方法是利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限,此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上,對所求式子作適當(dāng)變形,從而達(dá)到求其極限的目的,這種方法靈活,有相當(dāng)?shù)募记尚?5 其它方法5.1 施篤茲定理法我們所學(xué)的施篤茲公式也是求數(shù)列極限的一種有利工具,但需要滿足一定的條件:若數(shù)列單調(diào)遞增趨于,且（可以為無窮大），那么,有了這樣的公式我們在解決一類數(shù)列極限時(shí)可以簡便求出其解.定理5.1.12 若 嚴(yán)格增大,且無

16、界; ,則收斂，且.例5.1.25 設(shè)為自然數(shù),求下列各極限: 解 設(shè) 則單調(diào)遞增， 且 又因?yàn)?所以由定理有 設(shè) 則由知,單調(diào)增,且 又因?yàn)?所以 注意到仍為型,且滿足定理?xiàng)l件 即 故 注: 本題個(gè)小題均為型,通過恰當(dāng)引入 應(yīng)用定理將問題轉(zhuǎn)化為求的極限,各題中,為求出的極限,均用到二項(xiàng)展開式. 由本題可見,為應(yīng)用定理,引進(jìn)后,應(yīng)檢驗(yàn)其是否滿足定理?xiàng)l件，并求極限,只有在確定此極限存在(包括為時(shí))方可用定理,若不存在,不能推出不存在,只能證明不能用此定理. 由第二小題可見,在同一題目中,只要定理?xiàng)l件滿足,定理可以連續(xù)使用.并由此題,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法,立即可得 其中為任意給定的自然數(shù).例5.1.32

17、 設(shè),試證:存在時(shí),證明 因?yàn)?，因此只須證明第一項(xiàng)趨于0，為了利用，特令,則可知,且 于是由公式有， （應(yīng)用公式） 使用施篤茲公式可解決一類比較復(fù)雜的數(shù)列極限,然而有些更顯復(fù)雜的數(shù)列,也不滿足已有的條件,這時(shí)就得另尋他法,我們注意到有時(shí)所求數(shù)列極限跟數(shù)項(xiàng)級數(shù)有一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系,于是我們就可以考慮是否可轉(zhuǎn)化為級數(shù)類而求之?下面的例子就說明可以轉(zhuǎn)化為級數(shù)的形式.5.2 級數(shù)性質(zhì)法例5.2.17 求極限 解 構(gòu)造級數(shù) 用達(dá)朗貝爾判別法，有從而級數(shù)收斂，由收斂級數(shù)的必要條件知類似于利用級數(shù)性質(zhì)法求數(shù)列極限,定積分作為數(shù)學(xué)分析學(xué)重要課程之一,巧妙利用定積分性質(zhì)對求數(shù)列極限也會有很多幫助.5.3 定積分定義

18、法定理5.3.17 若函數(shù)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則利用定積分求極限 的基本形式為 例5.3.22 求極限（中山大學(xué)2010年）解(積分法) 因?yàn)?而是在上的特殊積分和，又 原式解(級數(shù)法） 設(shè) 若 則 記 則 故 例5.3.38 求極限 解 例5.3.44 求極限 （華南師大1997年）解 因?yàn)?所以 以上各種方法都很簡便,各種變化都很有自己的規(guī)律性,實(shí)際上,以上這些方法的使用都少不了一些變化,以下的錯(cuò)位法和拆分法就是最常見的變化方法.5.4 錯(cuò)位法與拆分法例5.4.13 求極限解 例5.4.23 求極限 （華南師大1996）解 因?yàn)?于是 故 原式結(jié)語 本文就數(shù)列極限的幾種求法進(jìn)行了初步探討,

19、從上文可以看出要想求出一些數(shù)列的極限,而在題目中沒有明顯指出極限存在的條件下我們需要先判別數(shù)列的存在進(jìn)而求之,在文中已經(jīng)介紹了幾種判別法,在求解的過程中,先從已知出發(fā)跟哪種方法形式比較相近,在使用上面介紹的方法進(jìn)行求解,這個(gè)過程往往并不是一個(gè)過程就可以解決的,通常需要幾種方法的結(jié)合!例如數(shù)學(xué)歸納法,同時(shí)往往一道題也并非就只有一種求解方法,例4.1.3與例5.3.2等就可以使用多種方法進(jìn)行求找數(shù)列極限.必須注意,以上很多實(shí)例都相對比較簡單,事實(shí)上很多關(guān)于數(shù)列極限的問題都會結(jié)合函數(shù)極限以及其他問題,因此解決此類問題還需要多加聯(lián)系加以鞏固.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上下冊第三版M.北

20、京:高等教育出版社,2009:28-34;2009:52-61.2 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京:高等教育出版社,2006（2）：57-62.3 張?zhí)斓?韓振來.數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解M.天津:天津科學(xué)技術(shù)出版社,2009(1):64-70.4 葉國菊,趙大方.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與考研指導(dǎo)M.北京:清華大學(xué)出版社,2009(1):7-19.5 李惜雯.數(shù)學(xué)分析要點(diǎn)與解題M.陜西西安:西安交通大學(xué)出版社,2006(3):35-38.6 李學(xué)志,陶有德,敖涌.數(shù)學(xué)分析選講M.北京:國防工業(yè)出版社,20101:16-18.7 可向東.數(shù)學(xué)分析的概念與方法M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,

21、19881:121-189.8 孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析M.北京:高等教育出版社,20042:1-2.9 魏立明.一類數(shù)列極限求法的研究J.廣西賀州.梧州師范高等?？茖W(xué)校,2004(11):75-77.10 顧慶賀.證明數(shù)列極限存在的六種方法J.河北:邢臺師范高專學(xué)報(bào),1998(02):3-4.11 Hewitt E,Stromberg K R.Real and Abstact analysis-a-modern treament of the theory of functions of real variableM.New York:Springer,1994.湛江師范學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)

22、（論文）開題報(bào)告論文題目 數(shù)列極限的幾種求法學(xué)生姓名 梁德君二級學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院開題日期2012年12月20日學(xué) 號 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院指導(dǎo)教師 邱建軍 講師1.本課題研究意義及國內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r：數(shù)列極限是極限論的重要組成部分，而極限論是數(shù)學(xué)分析學(xué)的基礎(chǔ)。同時(shí)極限論不僅在復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、常微分方程、泛函分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里應(yīng)用廣泛，而且在計(jì)算機(jī)技術(shù)、科學(xué)研究、工程技術(shù)等方面應(yīng)用也日益廣泛。雖然國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)列極限的性質(zhì)、存在的判別、求法解法的研究已經(jīng)相當(dāng)系統(tǒng)、成熟，然而對于初學(xué)者而言，這部分知識他們并不容易接受，尤其是對數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限存在判別方法的使用、數(shù)列極限的不同求

23、法對不同題型的應(yīng)用等。因此通過比較研究，實(shí)例對比總結(jié)結(jié)論以求獲得對知識更深的理解就顯得極其重要。2.研究內(nèi)容：1、數(shù)列極限的定義；2、數(shù)列極限存在的幾種判別方法；3、利用函數(shù)性質(zhì)求數(shù)列極限法；4、其他幾種常見的求數(shù)列極限的方法。3.研究方法、手段和研究進(jìn)度：（1）方法：資料查詢、搜集法、歸納總結(jié)法、比較證明法、實(shí)例驗(yàn)證法（2）手段：圖書館資料搜集、網(wǎng)上資料查閱（3）研究進(jìn)度： 1、2012年12月-2013年1月圖書館和上網(wǎng)查詢相關(guān)資料，選擇研究方向及確定論文題目； 2、2013年1月-2013年3月查閱相關(guān)資料，預(yù)定論文提綱在老師的指導(dǎo)下完成論文初稿： 3、2013年3月-2013年4月根據(jù)

24、指導(dǎo)老師的修改意見對論文進(jìn)行修改并上交第二稿； 4、2013年4月-2013年5月按第二稿修改意見和論文撰寫規(guī)范要求完成并上交論文定稿。 學(xué)生（簽名）：梁德君4.參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上下冊第三版M.北京：高等教育出版社，2009:28-34；2009:52-61.2 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M.北京：高等教育出版社，2006（2）：57-62.3 張?zhí)斓?，韓振來.數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解M.天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，2009(1):64-70.4 葉國菊，趙大方.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與考研指導(dǎo)M.北京：清華大學(xué)出版社，2009(1):7-19.5 李惜雯.數(shù)學(xué)分析要

25、點(diǎn)與解題M.陜西西安：西安交通大學(xué)出版社，2006(3):35-38.6 李學(xué)志，陶有德，敖涌.數(shù)學(xué)分析選講M.北京：國防工業(yè)出版社，20101:16-18.7 可向東.數(shù)學(xué)分析的概念與方法M.上海：上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1988（1）:121-189.8 孫濤.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析M.北京：高等教育出版社，20042:1-2.9 魏立明.一類數(shù)列極限求法的研究J.廣西賀州.梧州師范高等專科學(xué)校，2004(11):75-77.10 顧慶賀.證明數(shù)列極限存在的六種方法J.河北：邢臺師范高專學(xué)報(bào)，1998(02)：3-4.11 Hewitt E, Stromberg K R.Real and A

26、bstact analysisamodern treament of the theory of functions of real variableM.New York:Springer,1994.5.指導(dǎo)教師意見： 指導(dǎo)教師（簽名）：年 月 日5.二級學(xué)院意見： 二級學(xué)院（蓋章） 年 月 日說明：開題報(bào)告應(yīng)在教師指導(dǎo)下由學(xué)生獨(dú)立撰寫。在畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開始二周內(nèi)完成，交指導(dǎo)教師審閱，并接受二級學(xué)院和學(xué)校檢查。湛江師范學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）答辯記錄論文題目 數(shù)列極限的幾種求法學(xué)生姓名梁德君學(xué) 號答辯時(shí)間2013年5月19日二級學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)答辯記錄答辯記錄問：數(shù)列極限的定義是什么？答：設(shè)為數(shù)列，為實(shí)數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)列收斂于，實(shí)數(shù)稱為數(shù)列的極限，并記作或.問：什么叫柯西收斂準(zhǔn)則？ 答：數(shù)列收斂的充分必要條件是任給，存在，使得當(dāng)時(shí)，都有成立。這就是柯西收斂準(zhǔn)則。問：海涅定理講的是什么？答：海涅定理講的是的充分條件是：對于任意滿足條件，且的數(shù)列有 記錄人：答辯小組評審意見小組答辯成績答辯小組組長簽名年 月 日答辯委員會審核意見答辯委員會審核成績答辯委員會主席簽名年 月 日說明：1.答辯成績?yōu)榘俜种啤?.答