n維向量組(1)

1、2015整理ppt1第三章第三章 n 維向量維向量整理ppt23.1 向量向量知識點(diǎn)：知識點(diǎn)：向量的概念向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算向量空間向量空間整理ppt3一一. 向量的概念向量的概念 定義：由 n 個(gè)有順序的數(shù) 組成的有序數(shù)組稱為 n 維向量，數(shù) 稱為向量 的分量（或坐標(biāo)）， 稱為 的第 j 個(gè)分量（或坐標(biāo)）。 行向量行向量： 列向量列向量： naaa,21naaa,21naaa,21), 2 , 1(njajnaaa,21nTnbbbbbb2121,也叫行矩陣也叫列矩陣整理ppt4二二. 向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算 1. 幾個(gè)常用知識點(diǎn) （1）若 n 維向量 的對應(yīng)分量都相

2、等，即 時(shí)，稱 與 相等，記作 （2）分量都是零的向量稱為零向量，記作 O，即 （3）向量 稱為向量 的負(fù)向量，記作 2. 向量的線性運(yùn)算 （1）向量的加法),(),(2121nnbbbaaa，), 2 , 1(nibaii) 0 , 0 , 0 (O),(21naaa),(21naaa整理ppt5 定義定義3.1.2：設(shè) ，那么向量 稱為 與 的和，記為 ，即【注】【注】由此可知向量的減法 （2）向量的數(shù)乘 定義定義3.1.3：設(shè) 為 n 維向量， ，向量 稱為數(shù) 與向量 的乘積，記作 向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。),(),(2121nnbbbaaa，),(2211nnbababa

3、nnbababa,)(2211nnbababa,2211),(21naaaR),(21naaa整理ppt6 （3）向量的線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算規(guī)律 例：設(shè) ，求 和 )()()()(1)()()(OO) 1 , 4 , 3() 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (321，2132123整理ppt7 解：) 1 , 1 , 0() 1 , 4 , 3() 1 , 1 , 0(2)0 , 1 , 1 ( 323) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (32121整理ppt8三三. 向量空間向量空間 定義定義3.1.4：設(shè) V 為 n 維向量的集合，如果 V 非空，

4、且 V 對于向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉，則集合 V 為向量空間。 封閉封閉：若 ，則 ；若 ，則 定義定義3.1.5：設(shè)有向量空間 及 ，若 ，則稱 是的子空間。 例：證明集合 是一個(gè)向量空間。V,VRV，V1V2V21VV 1V2VRxxxxVnn,| ), 0(221整理ppt9 證明：設(shè) ，則即 對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉，所以是一個(gè)向量空間。 1212), 0(), 0(VbbVaann，12122), 0(), 0(VaaVbabannn1V整理ppt103.2 向量組及其線性組合向量組及其線性組合知識點(diǎn)向量組的概念向量組的線性組合（即線性表出）整理ppt11一一. 向量組的概念向量

5、組的概念 定義定義3.2.1：若干個(gè) n 維行向量（列向量）所組成的集合稱為 n 維行（列）向量組。 例如向量組 由此可知，對于矩陣（1）若令 ，則矩陣 A 可由行向量組 表示成) 1 , 6 , 4()5 , 1, 2()7 , 4 , 3() 1 , 2 , 1 (4321，8114324114321A)8 ,11, 4 , 3()2, 4, 1, 1()4 , 3 , 2 , 1 (321，321,整理ppt12（2）若令則矩陣 A 可由列向量組 表示成321A82411434123114321，4321,4321,A整理ppt13二二. 向量組的線性組合向量組的線性組合 1. 定義定義

6、3.2.2：設(shè) 都是 n 維向量，如果存在一組數(shù) ，使得關(guān)系式 成立，則稱向量 是向量組 的線性組合，并稱向量 可由向量組 線性表示（或線性表出）?！咀ⅰ浚ā咀ⅰ浚?）向量 是向量組 的線性組合，和向量 可由向量組 線性表出是一個(gè)意思。（2）O 向量是任意向量組的線性組合，或者說 O 向量可由任意向量組線性表出。（3）設(shè)有 n 個(gè) n 維單位向量：s,21skkk,21sskkk2211s,21s,21s,21s,21) 1 , 0 , 0( )0 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (21neee，整理ppt14組成的向量組稱為 n 維單位向量組，且任意 n 維向量都可以被該向量組線性表出

7、。（有的書上用 表示單位向量組。） （4）向量組 中任意向量都可以用這個(gè)向量組線性表出，即 例例：設(shè)有四個(gè)三維向量試將向量 表示為 的線性組合。 解：設(shè)存在一組數(shù) ，使得關(guān)系式成立，則有 ，即， )0 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (21)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 ()2 , 4 , 0(321，) 1 , 0 , 0(n321,321,kkk332211kkk)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 ()2 , 4 , 0(321kkkm,21miiii0010001121整理ppt15由克萊姆法則得 ，所以向量 可以

8、表示為向量組 的線性組合，且 2. 如何判斷一個(gè)向量可由一個(gè)向量組線性表出 定理定理3.2.1：設(shè) n 維向量組為令 111321kkk，321,321223432032321321321kkkkkkkkk),(),( ),(),(2121222212112111nnnnnnnnbbbaaaaaaaaa，整理ppt16若 ，則向量 可由向量組 線性表出。 命題命題1：設(shè) m 維向量組為則向量 可由向量組 線性表出的充分必要條件是線性方程組nA210A),(21nbbbn,21),(),( ),(),(2121222212112111mnmnnnmmbbbaaaaaaaaa，),(21mbbbn

9、,21整理ppt17有解?！咀ⅰ俊咀ⅰ慷ɡ?.2.1和命題1的區(qū)別是，定理3.2.1中向量組是 ，共有 n 個(gè)向量，且每個(gè)向量都是 n 維，而命題1中向量組是 ，共有 n 個(gè)向量，但每個(gè)向量都是 m 維。其實(shí)，當(dāng) 時(shí)，命題1就是定理3.2.1，所以命題1的使用范圍更廣。mnnmmmnnnnbkakakabkakakabkakaka22112222211211221111,21n,n,21nm 整理ppt18 定理定理3.2.2：若向量 可由 m 維向量組線性表出，則矩陣 的 行經(jīng)初等行變換可將其化為零行。 推論推論3.2.1：向量組 構(gòu)成的矩陣 經(jīng)初等行變換出現(xiàn)零行的充分必要條件是至少有一個(gè)向

10、量可由其他向量線性表出。nA21n,21nA21整理ppt19 3. 求線性表出的方法 已知向量組 ，如何判斷向量 能否由向量組 線性表出呢？ 第一步第一步：用向量組 構(gòu)造矩陣 ，且把原始原始向量的序號序號 標(biāo)注在矩陣右側(cè)右側(cè)； 第二步第二步：對矩陣 A 作初等行變換行變換，化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣，且將每次變換的過程標(biāo)注在右側(cè)過程標(biāo)注在右側(cè)；,21nn,21,21nnA21,21n整理ppt20 第三步第三步：若最后的行階梯形矩陣中，標(biāo)注有 的行不是零行不是零行，則向量 不能不能被向量組 線性表出；若標(biāo)注有 的行是零行是零行，則令標(biāo)注的表達(dá)式為零，通過移項(xiàng)化簡，則能能用向量組 將向量 線

11、性表出。 例：設(shè)向量組問：向量 可否由 線性表出？解：n,21n,21)2 , 1 , 2 , 0()0 , 0 , 1, 1 () 1, 1, 1, 1()2 , 2 , 0 , 4(321，321,3123212120001122041111212000111111220421 rrA整理ppt21132121221213212232122213212242/ 12/ 122/ 1200001000112011112/ 122/ 12/ 1210000000112011112/ 1221201120112011114212011202240111143423223121 rrrrrrrrr

12、rr所以，向量 不能由向量組 線性表出。321,整理ppt22同樣的題目，我們利用4.1的方法該如何做呢？ 解：以 為列向量構(gòu)造矩陣 A，則有要 能被向量組 線性表出，即要求非齊次線性方程組有解，而由定理4.1.1知，該方程組有解的充要條件是,3212012101221100114A321,2212204212132321xxxxxxxxx)()(ArAr整理ppt233.3 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性知識點(diǎn)知識點(diǎn)線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念與向量組線性相關(guān)有關(guān)的結(jié)論向量組線性相關(guān)的矩陣判別法整理ppt24一一. 線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念 1. 定義3.3.1：設(shè)

13、有 n 維向量組 ，若存在不全為不全為0 的數(shù) ，使得 ，則稱向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)。 根據(jù)上述定義，線性無關(guān)可定義為： 設(shè)有 n 維向量組 ，若只有當(dāng)只有當(dāng) 時(shí)，才有 成立，則稱向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)。 2. 幾點(diǎn)說明 （1）只含一個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是該向量是零向量；只含一個(gè)向量的向量組線性無關(guān)的充分必要條件m,21mkkk,21Okkkmm2211m,21m,21021mkkkOkkkmm2211,21m整理ppt25是該向量是非零向量。 （2）兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是兩向量的各分量對應(yīng)成比例；兩個(gè)向量線性無關(guān)的充分必要條件是這兩個(gè)向量至少有兩個(gè)對應(yīng)分量不成比

14、例。 （3）若向量組中有一部分向量（稱為部分組或子組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則其任一子組皆線性無關(guān)。 整理ppt26 2. 判斷線性相關(guān)（無關(guān)）的方法 命題3.2.2：對 m 維向量組 ，記下列三結(jié)論等價(jià) （1） 線性相關(guān)； （2） 有非零解； （3） 或者也可以換個(gè)角度，下列三結(jié)論等價(jià) （1） 線性無關(guān)； （2） 只有零解； （3）n,21nA,21n,21OAX nAr)(n,21OAX nAr)(整理ppt27 推論推論1：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，對時(shí)，對 n 個(gè)個(gè) n 維向量維向量 ，記，記 ，下列三結(jié)論等價(jià)，下列三結(jié)論等價(jià) （1） 線性相關(guān)（無關(guān)）；線性相關(guān)（無關(guān)）

15、； （2） 有非零解（只有零解）；有非零解（只有零解）； （3） 推論推論2：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則 n 個(gè)個(gè) m 維向量維向量 一定線一定線性性相關(guān)。相關(guān)。nm n,21An,21n,210AX00 Amn n,21整理ppt28 例例3：討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性 解：解：(1)設(shè)設(shè)因?yàn)樵撓蛄拷M是由因?yàn)樵撓蛄拷M是由3個(gè)個(gè)3維向量組成的，即滿足推論維向量組成的，即滿足推論1，所以，我，所以，我們只需計(jì)算們只需計(jì)算 8 , 1 , 71, 1, 29 , 2 , 5) 1 (321，2, 1, 4 , 30 , 1, 5 , 23 , 0 , 2, 1)2(321，819

16、112725819112725,321TTTAA053263141840819112725A整理ppt29所以所以 線性相關(guān)。線性相關(guān)。 (2)作初等行變換作初等行變換顯然顯然 ，所以，所以 線性無關(guān)。線性無關(guān)。321,000100110321203110452321,321TTTAnAr3)(321,整理ppt30 例例4：若向量組若向量組 線性無關(guān)，則向量組線性無關(guān)，則向量組 也線性無關(guān)。也線性無關(guān)。 證明：假設(shè)證明：假設(shè) 線性相關(guān)，則存在不全為線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)零的常數(shù) ，使得，使得 成立，即成立，即由于由于 不全為不全為0，所以，所以 不全為不全為0，設(shè)，設(shè) ，從而有存在不

17、全為零的常數(shù)，從而有存在不全為零的常數(shù) 使得使得 線性相關(guān)，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，原命線性相關(guān)，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，原命題為真。題為真。 321,322113133221,321,kkk0133322211kkk0332221131kkkkkk322131,kkkkkk321,kkk323212311,kkckkckkc1c32,cc321,整理ppt31四四. 關(guān)于線性組合與線性相關(guān)的定理關(guān)于線性組合與線性相關(guān)的定理 命題命題3.2.3：向量組：向量組 線性相關(guān)的充分必要條件為線性相關(guān)的充分必要條件為向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余的向量組中至少有一個(gè)向量可以由其余的 個(gè)向量線性表

18、出。個(gè)向量線性表出。 向量組向量組 線性無關(guān)的充分必要條件為向量組中任線性無關(guān)的充分必要條件為向量組中任一向量都不能由其余的一向量都不能由其余的 個(gè)向量線性表出。個(gè)向量線性表出。 命題命題3.2.4：若向量組：若向量組 線性相關(guān)，且線性相關(guān)，且 線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 可由可由 線性表出，且表出式唯一。線性表出，且表出式唯一。 定義定義3.2.3：設(shè)有兩個(gè)向量組：設(shè)有兩個(gè)向量組：若若(A)中每個(gè)向量均可由中每個(gè)向量均可由(B)線性表出，則稱向量組線性表出，則稱向量組(A)可由向量可由向量組組(B)線性表出。線性表出。1m1mm整理ppt32 例如：向量組例如：向量組有有 ，故向量組，故向量組

19、(A)可由可由向量組向量組(B)線性表出。線性表出。 若向量組若向量組(A)和和(B)可以相互線性表出，則稱向量組可以相互線性表出，則稱向量組(A)等價(jià)等價(jià)于于向量組向量組(B). 向量組等價(jià)具有：（向量組等價(jià)具有：（1）反身性；（）反身性；（2）對稱性；（）對稱性；（3）傳遞）傳遞性。性。 1 , 0 , 00 , 1 , 00 , 0 , 1: 2 , 2 , 00 , 2 , 2:32121，；，BA32123211220022，整理ppt33 命題命題3.2.5：若向量組：若向量組(A)： 線性無關(guān)，且可由線性無關(guān)，且可由向向量組量組(B)： 線性表出，則線性表出，則 推論推論1：若向

20、量組：若向量組(A)： 可由向量組可由向量組(B)： 線性表出，且線性表出，且 ，則向量組，則向量組(A)必線性相關(guān)。必線性相關(guān)。 推論推論2：等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含的向量個(gè)數(shù)相同。：等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含的向量個(gè)數(shù)相同。 命題命題3.2.6：如果向量組：如果向量組 線性無關(guān)，其中線性無關(guān)，其中那么在每個(gè)向量上任意添加任意那么在每個(gè)向量上任意添加任意 s 個(gè)分量得到的個(gè)分量得到的 維向量組維向量組 也線性無關(guān)，其中也線性無關(guān)，其中sm msm sn整理ppt34 推論推論：如果：如果 維向量組維向量組 線性相關(guān)，其中線性相關(guān)，其中那么在每個(gè)向量上減少那么在每個(gè)向量上減少 s 個(gè)相應(yīng)的分量得

21、到的個(gè)相應(yīng)的分量得到的 n 維向量組維向量組 也線性相關(guān)，其中也線性相關(guān)，其中 例例5：判斷下列向量組是否線性相關(guān)：判斷下列向量組是否線性相關(guān)： sn,21；，；，416 711 000 914)2( 416 391 1131 761) 1 (05000 21200 23001 10030)3(，整理ppt35解：解：(1)顯然顯然該向量組前三個(gè)向量所成子組線性相關(guān)，故全組線性相關(guān)。該向量組前三個(gè)向量所成子組線性相關(guān)，故全組線性相關(guān)。（據(jù)（據(jù)P88，結(jié)論，結(jié)論3） (2)該向量組含零向量，所以線性相關(guān)。（據(jù)該向量組含零向量，所以線性相關(guān)。（據(jù)P88，結(jié)論，結(jié)論4） (3)取四個(gè)向量的前四個(gè)分量

22、構(gòu)成一個(gè)新的向量組：取四個(gè)向量的前四個(gè)分量構(gòu)成一個(gè)新的向量組： ，設(shè)，設(shè)顯然顯然 ，即，即 線性無關(guān)（據(jù)線性無關(guān)（據(jù)P89，推論，推論1），由命），由命題題3.2.6得原向量組線性無關(guān)。得原向量組線性無關(guān)。0003911131761250001200300100304321，4321,A0A4321,整理ppt363.4 向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩一一. 向量組的最大無關(guān)組（也叫極大無關(guān)組、極大無關(guān)子組）向量組的最大無關(guān)組（也叫極大無關(guān)組、極大無關(guān)子組） 1. 定義：設(shè)向量組 為向量組 的一個(gè)子組，如果： （1） 線性無關(guān)；（2）向量組 中任意一向量都可以被線

23、性表出 則稱子組 是向量組 的最大無關(guān)組（或稱為極大無關(guān)組、極大無關(guān)子組）。相關(guān)結(jié)論：相關(guān)結(jié)論：（1）一個(gè)向量組的最大無關(guān)組是指它的線性無關(guān)子組中含有向量個(gè)數(shù)最多的一個(gè)。riii,21m,21riii,21m,21riii,21riii,21m,21整理ppt37（2）若一個(gè)向量組本身線性無關(guān)，則其最大無關(guān)組就是它自己。（3）全由零向量組成的向量組沒有最大無關(guān)組，任何一個(gè)含非零向量的向量組一定存在最大無關(guān)組。（4）一個(gè)向量組的最大無關(guān)組不是唯一的。 例例：向量組 顯然，子組 線性無關(guān)，且 中每個(gè)向量都可被 線性表出，所以 是向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。此外，還可驗(yàn)證 和 也是該向量組的最大無關(guān)組。

24、)0 , 1 , 3() 1, 0 , 1 () 1 , 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (54321，321,521,321,321,421,532,整理ppt38 2. 最大無關(guān)組的性質(zhì) 性質(zhì)1：向量組與它的任一最大無關(guān)組等價(jià)。 推論：向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組彼此等價(jià)。 性質(zhì)2：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相同。整理ppt39二二. 向量組的秩向量組的秩 1. 定義定義：向量組 的最大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩，記為 或者相關(guān)結(jié)論：相關(guān)結(jié)論：（1）只含零向量的向量組秩為零。（2）n 維基本單位向量組 是線性無關(guān)的，所以它的最大無關(guān)組就是

25、它本身，從而有（3）向量組 線性無關(guān)的充分必要條件充分必要條件是 向量組 線性相關(guān)的充分必要條件充分必要條件是（5）向量組 的子組 為最大無關(guān)組的m,21),(21mR),(21mrneee,21neeern),(21m,21mrm),(21m,21mrm),(21m,21riii,21整理ppt40的充分必要條件是 線性無關(guān)，且向量組中任意 個(gè)向量（只要存在）都線性相關(guān)。（5）如果向量組 的秩為 r，則該向量組中任意 r 個(gè)線性無關(guān)的子組均是其最大無關(guān)組。 命題命題1：若向量組 能由向量組 線性表出，則 命題命題2：若向量組 與向量組 等價(jià)，則riii,21m,211rm,21m,21n,2

26、1),(),(2121nmrrm,21n,21),(),(2121nmrr整理ppt41三三. 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 定義3.3.3：矩陣 A 的行向量組的秩稱為矩陣 A 的行秩，A 的列向量組的秩稱為 A 的列秩。 例：設(shè)矩陣 求 A 的行秩和列秩。 000210111A整理ppt42 解：首先，易知矩陣 A 的秩為2，A 的行向量為顯然 線性無關(guān)， 線性相關(guān)，所以 是 A 的行向量組的極大無關(guān)子組，A 的行秩為2. A 的列向量為 顯然 線性無關(guān)， 線性相關(guān)，所以 是 A 的列向量組的極大無關(guān)子組，A 的列秩為2. 0 , 0 , 02 , 1 , 01 ,

27、 1 , 1321，21,321,21,021011001321，21,321,21,整理ppt43 命題命題3.3.3：矩陣 A 的秩等于其列秩，也等于其行秩。 結(jié)論結(jié)論1：設(shè) A 和 B 均為 矩陣，則 結(jié)論結(jié)論2：若乘積矩陣 AB 存在，則有四四. 向量組的秩和極大無關(guān)子組的求法向量組的秩和極大無關(guān)子組的求法 1.向量組秩的求法 （1）已知向量組 ，以它們?yōu)榱邢蛄浚ㄈ羰切邢蛄縿t取轉(zhuǎn)置）構(gòu)成矩陣 ； （2）初等行變換化 A 為行階梯形矩陣 （3）nm)()()(BrArBAr)()(min)(BrArABr，m,21),(21mA)(),(21Arrm整理ppt44 例：求下列向量組的秩

28、解：設(shè) 9224711191126311322154321，3433063550613304121197963211322111241211,54321A整理ppt45所以 2. 極大無關(guān)子組的求法 定理定理：矩陣的初等行（列）變換不改變列（行）向量的線性相關(guān)或線性無關(guān)的關(guān)系。0000031000011104121131000434000231110412113)(Ar整理ppt46 極大無關(guān)子組的求法極大無關(guān)子組的求法：設(shè)有 n 維列向量組 （1）以 為列向量構(gòu)造矩陣 （2）對 A 作初等行變換化為行最簡階梯形矩陣 （3）矩陣 B 中列向量的極大無關(guān)子組即為 B 的首非零元所在列的向量，從而

29、得出 A 中列向量的極大無關(guān)子組即是 B 中極大無關(guān)子組所在的位置。（如 是 的極大無關(guān)子組，則 就是 的極大無關(guān)子組。）初等行變換初等行變換21,21,行最簡階梯形矩陣m,21m,21),(21mA),(21mA),(21mBm,21m,21整理ppt47 例：求下列向量組的秩與極大無關(guān)子組，并把其余向量用該極大無關(guān)子組線性表出。 (1) (2) 解：(1)對矩陣 進(jìn)行初等行變換2 , 5 , 31 , 3 , 20 , 1 , 12 , 4 , 24321TTTT，1 , 0 , 0 , 3 , 01 , 1, 6 , 0 , 30 , 2, 4 , 2, 20 , 1 , 2 , 1,

30、14321，4321,A4321, 0000111012101000011103212111011103212210253143212A整理ppt48由最后一個(gè)矩陣可知： 線性無關(guān)，為 的一個(gè)極大無關(guān)子組，且 可由 線性表出。 設(shè)根據(jù)命題3.2.1知，要求 被 表出的線性表出式，則只需對線性方程組 求解，利用高斯-若爾當(dāng)消元法由于其增廣矩陣分別為：21,4321,43,21,0110121001001,423121bbC，43,21,21bCYbCX ，整理ppt49所以得所以得從而有從而有進(jìn)一步有，相應(yīng)的進(jìn)一步有，相應(yīng)的 也線性無關(guān)，為也線性無關(guān)，為 的一個(gè)極大的一個(gè)極大無關(guān)子組，且有無關(guān)子

31、組，且有 00011021011C0001101012C111212121yyxx，21421321，21,4321,21421321，整理ppt50 例：已知向量 （1）t 為何值時(shí)， 線性相關(guān)？ （2）當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，求出此向量組的最大無關(guān)組，并把其余向量用最大無關(guān)組線性表示。 解：), 3 , 1 ()4 , 2 , 1 () 1 , 1 , 1 (321t，321,321,整理ppt51三三. 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)（默認(rèn)為列向量）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)（默認(rèn)為列向量） 若向量組 中的某個(gè)向量可以由其余向量線性表出，則說明向量組內(nèi)部是有關(guān)系的，我們把這種關(guān)系稱為線性相關(guān)。 若向

32、量組 中的任一向量都不能由其余向量線性表出，則說明向量組內(nèi)部是沒有關(guān)系的，我們把這種關(guān)系稱為線性無關(guān)。 嚴(yán)格定義如下 ： 1.定義定義3.2.2：對于向量組 ，若存在一組不全為零的常數(shù) ，使得 成立，則稱整理ppt52向量組 線性相關(guān)；否則，稱向量組 線性無關(guān)。 對于線性無關(guān)的向量組當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)全為0時(shí)，即時(shí)，才有 一些簡單結(jié)論： （1）只含一個(gè)向量的向量組線性相關(guān)的充分必要條件充分必要條件是該向量為零向量；只含一個(gè)向量的向量組線性無關(guān)的充分必要條充分必要條件件是該向量為非零向量。整理ppt53 （2）兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件充分必要條件是兩向量的各分量對應(yīng)成比例，即兩個(gè)向量線性無關(guān)的充

33、分必要條件充分必要條件是兩向量中至少有兩個(gè)分量不成比例。 （3）若向量組中有一部分向量（稱為部分組或子組）線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則其任一子組皆線性無關(guān)。 （4）含有零向量的向量組線性相關(guān)。 （5）n 維基本單位向量組 線性無關(guān)。 整理ppt54 2. 判斷線性相關(guān)（無關(guān)）的方法判斷線性相關(guān)（無關(guān)）的方法 命題3.2.2：對 m 維向量組 ，記下列三結(jié)論等價(jià) （1） 線性相關(guān)； （2） 有非零解； （3） 或者也可以換個(gè)角度，下列三結(jié)論等價(jià) （1） 線性無關(guān)； （2） 只有零解； （3）n,21nA,21n,210AXnAr)(n,210AXnAr)(整理ppt5

34、5 推論推論1：當(dāng) 時(shí)，對 n 個(gè) n 維向量 ，記 ，下列三結(jié)論等價(jià) （1） 線性相關(guān)（無關(guān)）； （2） 有非零解（只有零解）； （3） 推論推論2：當(dāng) 時(shí)，則 n 個(gè) m 維向量 一定線性相關(guān)。nm n,21An,21n,210AX00 Amn n,21整理ppt56 例例3：討論下列向量組的線性相關(guān)性 解：(1)設(shè)因?yàn)樵撓蛄拷M是由3個(gè)3維向量組成的，即滿足推論1，所以，我們只需計(jì)算 8 , 1 , 71, 1, 29 , 2 , 5) 1 (321，2, 1, 4 , 30 , 1, 5 , 23 , 0 , 2, 1)2(321，819112725819112725,321TTTAA053263141840819112725A整理ppt57所以 線性相關(guān)。 (2)作初等行變換顯然 ，所以 線性無關(guān)。321,000100110321203110452321,321TTTAnAr3)(321,整理ppt58 例例4：若向量組 線性無關(guān)，則向量組 也線性無關(guān)。 證明：假設(shè) 線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù) ，使得 成立，即由于 不全為0，所以 不全為0，設(shè) ，從而有