中考難點(diǎn)之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題,體驗(yàn)獨(dú)特的構(gòu)造旋轉(zhuǎn)拉直法

1、中考難點(diǎn)之費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題，體驗(yàn)獨(dú)特的構(gòu)造旋轉(zhuǎn)拉直法費(fèi)馬，法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號(hào)，費(fèi)馬一生從未受過(guò)專門的數(shù)學(xué)教育， 數(shù)學(xué)研究也不過(guò)是業(yè)余之愛(ài)好。然而，在 17世紀(jì)的法國(guó)還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵： 他是解析幾何的發(fā)明者之一；對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要 創(chuàng)始人，以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人，止匕外，費(fèi)馬對(duì)物理學(xué)也有重要貢獻(xiàn)。一代數(shù)學(xué)大師 費(fèi)馬堪稱是17世紀(jì)法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家，尤其他提出的費(fèi)馬大定理更是困惑了世間智者358年。所謂的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題就是到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論：對(duì)于一個(gè) 各角不超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的

2、張角都是120°的點(diǎn)；對(duì)于有一個(gè)角超過(guò)120° 的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)。下面給出幾個(gè)典型問(wèn)題，希望大家能夠很好地掌握。1.小穎在學(xué)習(xí)”兩點(diǎn)之間線段最短"查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)： ABCft總存在一點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn) 的連線的夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.【特例】如圖1,點(diǎn)P為等邊 ABC的中心，將4AC抽點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到4ADE 從而有 D& PC 連接 PD 得至 U PD= PA,同時(shí)/APB它 APD= 120° +60° =180° , /ADP它 ADE = 180° ,即

3、B、P、D E 四點(diǎn)共線，故 PA+PB+PC PD+PB+DE BE 在 ABC中，另取一點(diǎn) P', 易知點(diǎn)P'與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角不相等，可證明B、P'、D'、E四點(diǎn)不共線，所以P' A+P B+P C> PA+PB+PC即點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小.圖I郅【探究】（1）如圖2, P為ABCft一點(diǎn)，/ AP氏/BP諼120° ,證明PA+PB+PCKfi最小；【拓展】（2）如圖3, 4ABC中,AO6, BO8, / AC年30° ,且點(diǎn)P為4ABC內(nèi)一點(diǎn)，求 點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值.【解析】(1)將4AC酷點(diǎn)A

4、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到4ADE可得PO DEL,再證 APM等邊 三角形得PA= PD /AP5/AD母600 ,由/ AP& / BPC= 120°知B、P、D E四點(diǎn)共線, 根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短即可得答案；(2)如圖 3 ,由(2)知當(dāng)/APB 工/APC 二，BPC =12CT時(shí)，AP+BP+PC 的瞧小，把3CPB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60”得士CP8 ,由(2 )知A、P、P B關(guān)線，目AP+BP+PC =AB zPCB = -iPJCB t azPCB+zPCA = zP,CB+zPCA = 30° , azACBSO* , Vac2+b c2 = J&

5、amp;c'+sc' - 10【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性 質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，將待求線段的和通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換及全等三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來(lái) 求是解題的關(guān)鍵.2 .閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖 1, 4ABC中，/ACB= 30° , BO6, AO5,在ABCft部有 一點(diǎn)P,連接PA PB PC 求PA+PB+PCJ最小化小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分 離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短"，就可

6、以求出這三條線段和的最小值了.他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn) 通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題.他的做法是，如圖 2,將4AP微點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,得到 EDC連接PD BE,則BE的長(zhǎng)即為所求.(1)請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中，PA+PB+PCJ最小值為；(2)參考小華的思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖3,菱形ABCDK /ABC= 60° ,在菱形ABC吶部有一點(diǎn)P,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出并指明 長(zhǎng)度等于PA+PB+P最小值的線段（保留畫(huà)圖痕跡，畫(huà)出一條即可）；若中菱形ABCD勺邊長(zhǎng)為4,請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)PA+PB+PC最小時(shí)PB的長(zhǎng).3C則圖1【解析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 APC

7、即為 PA+PB+PC,再證明/ BCE=90然后在RtzXBCE中，由勾股定理求出BE=的最小值;（2）將4AP微點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,得到 DEC連接PE、DE貝線段BD即為PA+PB+PC最小值的線段;當(dāng)B P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+P俏最小，最小值為BD先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出 APC DEC則CP= CE再證明 PCE等邊三角形，得到P已CE= CP,然后根據(jù)菱形、三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定得出BP= CP,同理，得出DE= CE,則BP= P已E又1/3BD.連 接 AC,交 BD于點(diǎn) O, WJ ACL BD.在 RtzXBOg,BOC= 90°

8、, / OBC= 30° , BO4,DC3 .問(wèn)題提出即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)為生度, 32BO = 4«, JBP 二工BD 二±5 .JBO = BC-coszOBC = 4xVl-2日一BD 2（1）如圖，已知。人的，。氏3,將4OA畸點(diǎn)O©時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AOA B',連接BB' .則 BB' ;問(wèn)題探究（2）如圖，已知 ABC是邊長(zhǎng)為4,3的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊4 BCD P為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q求證： DC庫(kù)ABCP求PA+

9、PB+PC最小值；問(wèn)題解決（3）如圖，某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地 ABCD其中AB= 500米，A又800米，頂點(diǎn)A, D為 兩個(gè)出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái)P,在BC邊上（含B, C兩點(diǎn)）開(kāi)一個(gè)貨物入口 M并修建三條專用車道PA, PD PM若修建每米專用車道的費(fèi)用為10000元，當(dāng) M P建在何處時(shí)，修建專用車道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？（結(jié)果保留整數(shù)）國(guó)汾圖圖【解答】問(wèn)題提出：（1）由旋轉(zhuǎn)有，/ BOB =90° ,。氏3,根據(jù)勾股定理得，BB' =3,2;問(wèn)題探究：（2）.BDC是等邊三角形，. C5CB / DC由60° ,由旋轉(zhuǎn)得，/ PC

10、60° , PO QC./DC年 /BCP在DCCJ 口 BCP , CD=CB, ZDC（Q= B BCP CQ=CP； DC案 ABCP如圖1,連接PQ V PO CQ /PC會(huì)60° ,.CPCa等邊三角形，.PO PG 由有，DO PB, . PA+PB+PCAP+PQ+QD由兩點(diǎn)之間線段最短得， AP+PQ+QDADPA+PB+PGAD圖1 當(dāng)點(diǎn)A, P, Q D在同一條直線上時(shí)，PA+PB+P取最小值為AD的長(zhǎng)，作DnAB, ABCJ邊長(zhǎng)是4,3的等邊三角形， C氏 AO4,3, /BC/ 60° , . C氏 C氏4,3, / DCM 60°

11、; ,. D& 6, / DAE /AD。30° , . AD= 12,即：PA+PB+PC最小值為 12;實(shí)際應(yīng)用：(3)如圖2,連接AM DM將4ADP點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60° ,得 AP D',由(2)知，當(dāng)M,P, P' ,D'在同一條直線上時(shí)，AP+PM+DP小，最小值為D'N,.M在BC上，.當(dāng)D' Ml BC時(shí)，D' M取最小值，設(shè) D' M交 ADT E, . ADD 是等邊三角形，. EM= AB= 500, .BM= 400, PM= EM- PE= 500 400,3/3, . . D'

12、; E=，3/2AD= 400,3, .D' M= 400,3+500, .最少費(fèi)用為 10000X (400,3+500) = 1000000 (4,3+5)萬(wàn)元； M建在BC中點(diǎn)(B陣400米)處，點(diǎn)P在過(guò)M且垂直于BC的直線上，且在M上方(500- 400V3/3)米處，最少費(fèi)用為1000000 (4V3+5)萬(wàn)元.4. （1）知識(shí)儲(chǔ)備如圖1,已知點(diǎn)P為等邊 ABC外接圓的BC上任意一點(diǎn).求證：PB+P6 PA定義：在ABCff在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn) P為 ABC的費(fèi)馬點(diǎn),止匕時(shí) PA+PB+PCKS為 ABC的費(fèi)馬距離.（2）知識(shí)遷移我們有

13、如下探尋 ABC（其中/ A, /B, /C均小于120° ）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2,在ABC勺外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊 BCDS其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段 的長(zhǎng)度即為 ABC的費(fèi)馬距離.在圖3中，用不同于圖2的方法作出 ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P （要求尺規(guī)作圖）.（3）知識(shí)應(yīng)用判斷題（正確的打，錯(cuò)誤的打X）：i .任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)（）；ii .任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部 （）.已知正方形ABCD P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且 PA+PB+PCJ最小值為，6+，2,求正方形ABCD勺邊長(zhǎng).ABC是等邊三角形，APC= /ABC= 60又.f£=

14、PGPEC正三角形, .C& CP /AC氏 / EC之 600 , ./ACP / BCP又. /PBC= /PAC BC= AC, .AC圖 BCP （ASA ,.AE= PB,.PB+P及AE+P2 AR（2）如圖 2,得：PA+PB+PCPA+ （PB+PC =PA+PD當(dāng) A、P、D共線時(shí)，PA+PB+PCKfi最小，線段AD的長(zhǎng)度即為 ABC的費(fèi)馬距離；故答案為：AR過(guò)AB和AC分別向外作等邊三角形，連接CD BE,交點(diǎn)即為P. （3）i . （，）； ii .如 圖4,點(diǎn)P也可以在三角形的外部；（X）解：將 ABP®點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600到AAPBR,如圖5,過(guò)A

15、?作A?H，BC,交CB的延長(zhǎng)線于H,連接PP,易得：A?B= AB, PB= P?B, PA= P? A?, / P?BP= / A?BA= 60° ,. PB= P?B, /P1BP= 60° , .P?PB是正三角形，. PP?= PB,v PA+PB+P必最小值為，6+V2, a P?A?+PP+PC的最小值為，6+V2,. .A?, P1, P, C在同一直線上，即 A?C= 6+V2,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2x, =/AIB/60° , / CB/90°，/ 1 = 30° ,在 RtA?HB中，A?B= AB= 2x, /1 = 30&

16、#176; ,得：A?H= x, BH= V3x,在RtAiHC中.由勾股定理得：k2+（V2+3）、'（在+近產(chǎn)j解得：心二14二7 （舍去）.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2.【小結(jié)與思考】通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)。一般地，當(dāng)題目出現(xiàn)等腰三角 形/等邊三角形或正方形條件時(shí)，可將圖形作旋轉(zhuǎn) 60°或90°的幾何變換，將不規(guī)則圖形變 為規(guī)則圖形，或?qū)⒎稚⒌臈l件集中在一起，以便挖掘隱含條件，從而解決問(wèn)題。"費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)將三條共頂點(diǎn)的線段轉(zhuǎn)化在一條折線上，利用"兩點(diǎn)之間線段最短"解決。我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，是否需要"模型"？俗話說(shuō)”成也模式，敗也模式"，我們掌握一 定的模式，能讓我們快速找到