立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法

1、立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法證明空間線(xiàn)面垂直需注意以下幾點(diǎn)：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(xiàn)（或面）是解題的常用方法之一。明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。垂直轉(zhuǎn)化：線(xiàn)線(xiàn)垂直=線(xiàn)面垂直Q面面垂直；基礎(chǔ)篇類(lèi)型一：線(xiàn)線(xiàn)垂直證明（共面垂直、異面垂直）（1）共面垂直：實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)的垂直（只需要同學(xué)們掌握以下幾種模型）©等腰（等邊）三角形中的中線(xiàn).（2菱形（正方形）的對(duì)角線(xiàn)互相垂直勾股定理中的三角形（4i：i：2的直角梯形中D利用相似或全等證明

2、直角。例：在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1,求證：A。OE（2）異面垂直（利用線(xiàn)面垂直來(lái)證明，高考中的意圖）例1在正四面體ABCD中，求證ACBD底面ABCD是矩形，已知D變式1如圖，在四棱錐PABCD中，AB3,AD2,PA2,PD22,PAB證明：ADPB;變式2如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),將AED/DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點(diǎn)重合于A.求證：ADEF；變式3如圖，在三棱錐PABC中，/PAB是等邊三角形，/PAC=/PBC=90o證明：ABXPC類(lèi)型二：線(xiàn)面垂直證明方法（1）利用線(xiàn)面垂直的判斷定

3、理例2：在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1,求證:AO平面BDE變式1：在正方體ABCDAB1cD）中，求證：AC平®BDC1變式2:如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2,/ACB=90.E為BB1的中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=y3.求證：CD,平面A1ABB1；變式3:如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CACBCDBD2,ABAD.2.求證：AO平面BCD;變式4如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,1求證：BD 平面PAC2利用面面垂直的性質(zhì)定理ADIIBC,ABC90°,PA平面ABC

4、D.PA3,AD2,AB2擊，BC6例3:在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC,面PAC方法點(diǎn)撥：此種情形，條件中含有面面垂直。變式1,在四麴tPABCD,底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等腰三角形，且面PAB底面ABCD，求證：BC面PAB類(lèi)型3:面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線(xiàn)面垂直)例1如圖，已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,BADDE2AB,F為CD的中點(diǎn).求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；例2如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCDABAD,ACCD,ABC60°,PAABBC,E是PC的中點(diǎn).(1)證明CDAE；(2)證明

5、PD平面ABE；變式1已知直四棱柱ABCDA'B'CD'的底面是菱形，ABC60,E、F分別是棱CC'與BB'上的點(diǎn)，且EC=BC=2FB=2.(1)求證：平面AEF，平面AA'C'C;舉一反三1.設(shè)M表不平面,a、b表示直線(xiàn)，給出下列四個(gè)命題: a/b a Mb±M.A.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn) B.過(guò)不在a、b上的一點(diǎn)CA.DPL平面 PEFB.D4.設(shè)a、b是異面直線(xiàn)，不:一條直線(xiàn)和 個(gè)平面和列TF口華卸PEFD C.Pbb -軸垂直P(pán)F，平面DEFC.過(guò)a 一定可以作一個(gè)平面與b垂直 第3題圖D.過(guò)a 一定可以作一個(gè)平面與b

6、平行、5.如果直線(xiàn)l,m與平面“，3, 丫滿(mǎn)足：l=pn 丫，l/ a,ma和m± Y，那么必有（）A. a，丫且 l ±m6.AB是圓的直徑， P到AB的距離為B. a，丫且 m”3 C.m"3且l，m D. a ”3且 a，丫C是圓周上一點(diǎn)，PC垂直于圓所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1 ,則A.1B.2)2.5 C.5D.355aMa/Ma/bb/Mabab其中正確的命題是（）D.A.B.C.2 .下列命題中正確的是（）A.若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面B.若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平

7、面C.若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線(xiàn)必定垂直于這條直線(xiàn)D.若一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，則垂直于這條直線(xiàn)的另一條直線(xiàn)必垂直于這個(gè)平面3 .如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把AADE、ACDF和BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體P-DEF中，必有（）7 .有三個(gè)命題：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行;個(gè)平面與a垂直;過(guò)平面a的一條斜線(xiàn)l有且僅有一異面直線(xiàn)a、b不垂直，那么過(guò)a的任一個(gè)平面與b都不垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為A.0B.1C.2D.38 .d是異面直線(xiàn)a、b的公垂線(xiàn)，平面a、3滿(mǎn)足a±

8、a,b13,則下面正確的結(jié)論是（）A. a與3必相交且交線(xiàn)m/d或m與d重合B. a與3必相交且交線(xiàn)m/d但m與d不重合C. a與3必相交且交線(xiàn)m與d一定不平行D. “與3不一定相交9 .設(shè)1、m為直線(xiàn)，a為平面，且l，a,給出下列命題若m，a,則m/1;若m±1,則mHa;若m/a,則m±1;若m/1,則m±a,其中真命題的序號(hào)是（）A.B.C.D.10 .已知直線(xiàn)1，平面a,直線(xiàn)但平面3,給出下列四個(gè)命題：若“/3,則1，m;若則1/m;若1/m,則a，3;若Um,則a.其中正確的命題是（）A.與B.與C.與D.與、思維激活11 .如圖所示，ABC是直角三角形

9、，AB是斜邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面a的同側(cè)，它們?cè)赼內(nèi)的射影分別為A,B',C',如果A'B'C'是正三角形，且AA'=3cm,BB'=5cm,CC'=4cm,則A'B'C'的面積是5第11題圖日。第13題圖第18題圖12 .如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)足條件時(shí),有A1CB1D1（注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）13 .如圖所示，在三麴隹VABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿(mǎn)足條件時(shí),有VCLAB.（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可）三、能

10、力提高14 .如圖所示，三棱錐V-ABC中,AHL側(cè)面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC邊上的高.（1）求證:VC±AB;（2）若二面角EABC的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15 .如圖所示，PA，矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN/平面PAD.(2)求證：MNLCD.(3)若/PDA=45°,求證：MNL平面PCD.16 .如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,=4,AD=2,側(cè)棱PB=尺，PD=33.(1)求證：BDL平面PAD.第16題圖(2)若PD與底面ABCD成60°

11、的角，試求二面角P-BC-A的大小.第15題圖a, M是AD的中點(diǎn)，N是BD'17 .已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,AA1二T6,M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1XA1M.18 .如圖所示，正方體ABCDA'B'C'D'的棱長(zhǎng)為上一點(diǎn)，且D'N：NB=1：2,MC與BD交于P.(1)求證：NPL平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC'D'D所成的角.求點(diǎn)C到平面D'MB的距離.第4課線(xiàn)面垂直習(xí)題解答1 .A兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面

12、垂直，垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行.2 .C由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知.3 .A折后DP，PE,DP，PF,PELPF.4 .D過(guò)a上任一點(diǎn)作直線(xiàn)b'/b,則a,b'確定的平面與直線(xiàn)b平行.5 .A依題意，m，丫且ma,則必有a,丫，又因?yàn)?=3C丫則有l(wèi)丫，而m,丫則Um,故選A.6 .D過(guò)P作PD±AB于D,連CD,則CD±AB,AB=VAC2BC2V5,CDAC BC 2PD= . PC2 CD23.57 .D由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確.8 .A顯然a與3不平行.9 .D垂直于同一平面的兩直線(xiàn)平行，兩條平行線(xiàn)中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10

13、 .Ba/3,11a,11m11.W3cm2設(shè)正三角A'B'C'的邊長(zhǎng)為a.2AC2=a2+l,BC2=a2+1,AB2=a2+4,32322Saa b c = a cm -又AC2+BC2=AB2,a2=2.4212 .在直四棱柱AiBiCiDiABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿(mǎn)足條件AC，BD(或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時(shí)，有AiC，BiDi(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形).點(diǎn)評(píng)：本題為探索性題目，由此題開(kāi)辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線(xiàn)定理但答案不惟一，要求思維應(yīng)靈活.13 .VCX

14、VA,VCXAB.由VCVA,VCLAB知VCL平面VAB.14 .(1)證明：:H為4VBC的垂心， .VCLBE,又AHL平面VBC, BE為斜線(xiàn)AB在平面VBC上的射影，ABVC.(2)解:由(1)知VC±AB,VC±BE, VC，平面ABE,在平面ABE上，作EDLAB,又AB，VC,AB±WDEC.AB±CD,.ZEDC為二面角E-AB-C的平面角， ./EDC=30°JAB,平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD. /VCD為VC與底面ABC所成角，又VC,AB,VCLBE, .VS面ABE,.-.VC±DE, ./C

15、ED=90°，故/ECD=60°,VC與面ABC所成角為60°.15.證明：（1）如圖所示，取PD的中點(diǎn)E,連結(jié)AE, EN,則有 EN / CD /AB /AM, EN= 1 CD = 1AB=AM ,故 AMNE 為平行四邊形22MN / AE.AE 平面 PAD, MN 平面 PAD, . MN /平面 PAD.(2) PAL平面 ABCD, PAX AB.又 ADAB,，AB，平面 PAD. ABXAE,即 AB± MN.又 CD / AB, MN LCD.(3)PA，平面 ABCD, PAXAD.又/ PDA = 45° , E為PD

16、的中點(diǎn). AEXPD,即 MN，PD.又MN，CD, .MN,平面 PCD.第15題圖解16.如圖(1)證：由已知 AB = 4, AD=2, / BAD = 60° , 故 BD2= AD2+AB2-2AD - ABcos60° =4+16-2X2X4X1 = 12.2又 AB2 = AD2+BD2, . ABD是直角三角形，/ ADB=90° ,即 ADBD.在4PDB 中，PD =, PB=廂，BD = <12 ,第16題圖解PB2= PD2+BD2,故得 PDBD.又 PDAAD = D, .BDL平面 PAD.(2)由BDL平面PAD, BD鼻平面

17、 ABCD. 平面 PAD,平面 ABCD.作 PEXAD 于 E,又PE平面PAD,PE，平面 ABCD,PDE是PD與底面 ABCD所成的角. ./ PDE = 60° ,PE = PDsin60° = 43 -22 -作 EF，BC 于 F ,連 PF,貝U PFXBF,/PFE是二面角 PBCA的平面角.又 EF= BD= J12 ,在 RtAPEF 中,tan/PFE =PEEF32 上2.34故二面角P BCA的大小為arctan 色417.連ZACi,AC菽CC1Ci AiRtMCCisRMCiAi,1/ACiC=ZMAiCi,，/AiMCi+ZACiC=ZA

18、iMCi+ZMAiCi=90°.AiMLACi,又ABC-AiBiCi為直三棱柱，CCiXBiCi,又BiCiAiCi,.BiCi,平面ACiM.由三垂線(xiàn)定理知ABiXAiM.點(diǎn)評(píng)：要證ABiAiM,因BiCi,平面ACi,由三垂線(xiàn)定理可轉(zhuǎn)化成證ACiXAiM,而ACiXAiM一定會(huì)成立.i8.(i)證明：在正方形ABCD中，MPDs、CPB,且MD=1BC2，DP:PB=MD:BC=i：2.又已知D'N：NB=i：2,由平行截割定理的逆定理得NP/DD',又DD'，平面ABCD,.NP,平面ABCD.(2) .NP/DD'/CC',.NP、C

19、C'在同一平面內(nèi)，CC'為平面NPC與平面CC'D'D所成二面角的棱.又由CC'，平面ABCD,得CC'±CD,CC'±CM,MCD為該二面角的平面角.在RtAMCD中可知/MCD=arctan1,即為所求二面角的大小.2由已知棱長(zhǎng)為a可得，等腰MBC面積Si=a-,等腰MBD'面積S2=a2,設(shè)所24求距離為h,即為三棱錐CD'MB的高.ii二棱錐D-BCM體積為1slDD1s2h33'S2.,Sia.6h-a.3空間中的計(jì)算基礎(chǔ)技能篇類(lèi)型一：點(diǎn)到面的距離方法1:直接法一把點(diǎn)在面上的射影查出來(lái)

20、，然后在直角三角形中計(jì)算例1:在正四面體ABCD中，邊長(zhǎng)為a,求點(diǎn)A到面BCD的距離。變式1在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長(zhǎng)為a側(cè)棱長(zhǎng)為b.求頂點(diǎn)V到底面ABCD的距離。變式2在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長(zhǎng)為a側(cè)棱長(zhǎng)為b.求頂點(diǎn)A到底面VCD的距離。方法2:等體積法求距離一在同一個(gè)三棱錐中利用體積不變?cè)?，通過(guò)轉(zhuǎn)換不同的底和高來(lái)達(dá)到目的。例2已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3,VC=4,求點(diǎn)V到面ABC的距離。AEGF所截而得到的，其B變式1:如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面中AB4,BC2,CC13,BE1.(1)求BF的長(zhǎng)

21、；(2)求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離.ABC - , OA4變式2如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是四邊長(zhǎng)為1的菱形，ABCOA面ABCD,OA2,.求點(diǎn)B到平面OCD的距離.變式3在正四面體ABCD中，邊長(zhǎng)為a,求它的內(nèi)切求的半徑類(lèi)型二：其它種類(lèi)的距離的計(jì)算（點(diǎn)到線(xiàn)，點(diǎn)到點(diǎn)）例3如圖，在四錐OABCD中，底面ABCD是四邊長(zhǎng)為1的菱形,面ABCD,OA2,M為OC的中點(diǎn)，求AM和點(diǎn)A到直線(xiàn)OC的距離.舉一反三1 .正三棱錐P-ABC高為2,側(cè)棱與底面所成角為45°,則點(diǎn)A到側(cè)面PBC的距離是A.4忑B.6<5C.6D.4、用2 .如圖，已知正三棱柱ABCARG的底面邊長(zhǎng)為1,高為8,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周.到達(dá)A點(diǎn)的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為A.10B.20C.30D.40二、填空題：3 .太陽(yáng)光照射高為J3m的竹竿時(shí)，它在水平地面上的射影為1m,同時(shí)，照射地面上一圓球時(shí)，如圖所示