立體幾何垂直證明題常見模型及方法

1、立體幾何垂直證明題常見模型及方法證明空間線面垂直需注意以下幾點：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論。垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直=線面垂直Q面面垂直；基礎篇類型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（1）共面垂直：實際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直（只需要同學們掌握以下幾種模型）©等腰（等邊）三角形中的中線.（2菱形（正方形）的對角線互相垂直勾股定理中的三角形（4i：i：2的直角梯形中D利用相似或全等證明

2、直角。例：在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1,求證：A。OE（2）異面垂直（利用線面垂直來證明，高考中的意圖）例1在正四面體ABCD中，求證ACBD底面ABCD是矩形，已知D變式1如圖，在四棱錐PABCD中，AB3,AD2,PA2,PD22,PAB證明：ADPB;變式2如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點,將AED/DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合于A.求證：ADEF；變式3如圖，在三棱錐PABC中，/PAB是等邊三角形，/PAC=/PBC=90o證明：ABXPC類型二：線面垂直證明方法（1）利用線面垂直的判斷定

3、理例2：在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1,求證:AO平面BDE變式1：在正方體ABCDAB1cD）中，求證：AC平®BDC1變式2:如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2,/ACB=90.E為BB1的中點，D點在AB上且DE=y3.求證：CD,平面A1ABB1；變式3:如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CACBCDBD2,ABAD.2.求證：AO平面BCD;變式4如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,1求證：BD 平面PAC2利用面面垂直的性質(zhì)定理ADIIBC,ABC90°,PA平面ABC

4、D.PA3,AD2,AB2擊，BC6例3:在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC,面PAC方法點撥：此種情形，條件中含有面面垂直。變式1,在四麴tPABCD,底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等腰三角形，且面PAB底面ABCD，求證：BC面PAB類型3:面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線面垂直)例1如圖，已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,BADDE2AB,F為CD的中點.求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；例2如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCDABAD,ACCD,ABC60°,PAABBC,E是PC的中點.(1)證明CDAE；(2)證明

5、PD平面ABE；變式1已知直四棱柱ABCDA'B'CD'的底面是菱形，ABC60,E、F分別是棱CC'與BB'上的點，且EC=BC=2FB=2.(1)求證：平面AEF，平面AA'C'C;舉一反三1.設M表不平面,a、b表示直線，給出下列四個命題: a/b a Mb±M.A.過不在a、b上的一點 B.過不在a、b上的一點CA.DPL平面 PEFB.D4.設a、b是異面直線，不:一條直線和 個平面和列TF口華卸PEFD C.Pbb -軸垂直PF，平面DEFC.過a 一定可以作一個平面與b垂直 第3題圖D.過a 一定可以作一個平面與b

6、平行、5.如果直線l,m與平面“，3, 丫滿足：l=pn 丫，l/ a,ma和m± Y，那么必有（）A. a，丫且 l ±m6.AB是圓的直徑， P到AB的距離為B. a，丫且 m”3 C.m"3且l，m D. a ”3且 a，丫C是圓周上一點，PC垂直于圓所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1 ,則A.1B.2)2.5 C.5D.355aMa/Ma/bb/Mabab其中正確的命題是（）D.A.B.C.2 .下列命題中正確的是（）A.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個平面B.若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個平

7、面C.若一條直線平行于一個平面，則垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面3 .如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點.現(xiàn)在沿DE、DF及EF把AADE、ACDF和BEF折起，使A、B、C三點重合，重合后的點記為P.那么，在四面體P-DEF中，必有（）7 .有三個命題：垂直于同一個平面的兩條直線平行;個平面與a垂直;過平面a的一條斜線l有且僅有一異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直其中正確命題的個數(shù)為A.0B.1C.2D.38 .d是異面直線a、b的公垂線，平面a、3滿足a±

8、a,b13,則下面正確的結(jié)論是（）A. a與3必相交且交線m/d或m與d重合B. a與3必相交且交線m/d但m與d不重合C. a與3必相交且交線m與d一定不平行D. “與3不一定相交9 .設1、m為直線，a為平面，且l，a,給出下列命題若m，a,則m/1;若m±1,則mHa;若m/a,則m±1;若m/1,則m±a,其中真命題的序號是（）A.B.C.D.10 .已知直線1，平面a,直線但平面3,給出下列四個命題：若“/3,則1，m;若則1/m;若1/m,則a，3;若Um,則a.其中正確的命題是（）A.與B.與C.與D.與、思維激活11 .如圖所示，ABC是直角三角形

9、，AB是斜邊，三個頂點在平面a的同側(cè)，它們在a內(nèi)的射影分別為A,B',C',如果A'B'C'是正三角形，且AA'=3cm,BB'=5cm,CC'=4cm,則A'B'C'的面積是5第11題圖日。第13題圖第18題圖12 .如圖所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時,有A1CB1D1（注:填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）13 .如圖所示，在三麴隹VABC中，當三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿足條件時,有VCLAB.（注：填上你認為正確的一種條件即可）三、能

10、力提高14 .如圖所示，三棱錐V-ABC中,AHL側(cè)面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC邊上的高.（1）求證:VC±AB;（2）若二面角EABC的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15 .如圖所示，PA，矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.(1)求證：MN/平面PAD.(2)求證：MNLCD.(3)若/PDA=45°,求證：MNL平面PCD.16 .如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,=4,AD=2,側(cè)棱PB=尺，PD=33.(1)求證：BDL平面PAD.第16題圖(2)若PD與底面ABCD成60°

11、的角，試求二面角P-BC-A的大小.第15題圖a, M是AD的中點，N是BD'17 .已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,AA1二T6,M是CC1的中點，求證：AB1XA1M.18 .如圖所示，正方體ABCDA'B'C'D'的棱長為上一點，且D'N：NB=1：2,MC與BD交于P.(1)求證：NPL平面ABCD.(2)求平面PNC與平面CC'D'D所成的角.求點C到平面D'MB的距離.第4課線面垂直習題解答1 .A兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面

12、垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2 .C由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3 .A折后DP，PE,DP，PF,PELPF.4 .D過a上任一點作直線b'/b,則a,b'確定的平面與直線b平行.5 .A依題意，m，丫且ma,則必有a,丫，又因為1=3C丫則有l(wèi)丫，而m,丫則Um,故選A.6 .D過P作PD±AB于D,連CD,則CD±AB,AB=VAC2BC2V5,CDAC BC 2PD= . PC2 CD23.57 .D由定理及性質(zhì)知三個命題均正確.8 .A顯然a與3不平行.9 .D垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10

13、 .Ba/3,11a,11m11.W3cm2設正三角A'B'C'的邊長為a.2AC2=a2+l,BC2=a2+1,AB2=a2+4,32322Saa b c = a cm -又AC2+BC2=AB2,a2=2.4212 .在直四棱柱AiBiCiDiABCD中當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件AC，BD(或任何能推導出這個條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時，有AiC，BiDi(注:填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形).點評：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一，要求思維應靈活.13 .VCX

14、VA,VCXAB.由VCVA,VCLAB知VCL平面VAB.14 .(1)證明：:H為4VBC的垂心， .VCLBE,又AHL平面VBC, BE為斜線AB在平面VBC上的射影，ABVC.(2)解:由(1)知VC±AB,VC±BE, VC，平面ABE,在平面ABE上，作EDLAB,又AB，VC,AB±WDEC.AB±CD,.ZEDC為二面角E-AB-C的平面角， ./EDC=30°JAB,平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD. /VCD為VC與底面ABC所成角，又VC,AB,VCLBE, .VS面ABE,.-.VC±DE, ./C

15、ED=90°，故/ECD=60°,VC與面ABC所成角為60°.15.證明：（1）如圖所示，取PD的中點E,連結(jié)AE, EN,則有 EN / CD /AB /AM, EN= 1 CD = 1AB=AM ,故 AMNE 為平行四邊形22MN / AE.AE 平面 PAD, MN 平面 PAD, . MN /平面 PAD.(2) PAL平面 ABCD, PAX AB.又 ADAB,，AB，平面 PAD. ABXAE,即 AB± MN.又 CD / AB, MN LCD.(3)PA，平面 ABCD, PAXAD.又/ PDA = 45° , E為PD

16、的中點. AEXPD,即 MN，PD.又MN，CD, .MN,平面 PCD.第15題圖解16.如圖(1)證：由已知 AB = 4, AD=2, / BAD = 60° , 故 BD2= AD2+AB2-2AD - ABcos60° =4+16-2X2X4X1 = 12.2又 AB2 = AD2+BD2, . ABD是直角三角形，/ ADB=90° ,即 ADBD.在4PDB 中，PD =, PB=廂，BD = <12 ,第16題圖解PB2= PD2+BD2,故得 PDBD.又 PDAAD = D, .BDL平面 PAD.(2)由BDL平面PAD, BD鼻平面

17、 ABCD. 平面 PAD,平面 ABCD.作 PEXAD 于 E,又PE平面PAD,PE，平面 ABCD,PDE是PD與底面 ABCD所成的角. ./ PDE = 60° ,PE = PDsin60° = 43 -22 -作 EF，BC 于 F ,連 PF,貝U PFXBF,/PFE是二面角 PBCA的平面角.又 EF= BD= J12 ,在 RtAPEF 中,tan/PFE =PEEF32 上2.34故二面角P BCA的大小為arctan 色417.連ZACi,AC菽CC1Ci AiRtMCCisRMCiAi,1/ACiC=ZMAiCi,，/AiMCi+ZACiC=ZA

18、iMCi+ZMAiCi=90°.AiMLACi,又ABC-AiBiCi為直三棱柱，CCiXBiCi,又BiCiAiCi,.BiCi,平面ACiM.由三垂線定理知ABiXAiM.點評：要證ABiAiM,因BiCi,平面ACi,由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證ACiXAiM,而ACiXAiM一定會成立.i8.(i)證明：在正方形ABCD中，MPDs、CPB,且MD=1BC2，DP:PB=MD:BC=i：2.又已知D'N：NB=i：2,由平行截割定理的逆定理得NP/DD',又DD'，平面ABCD,.NP,平面ABCD.(2) .NP/DD'/CC',.NP、C

19、C'在同一平面內(nèi)，CC'為平面NPC與平面CC'D'D所成二面角的棱.又由CC'，平面ABCD,得CC'±CD,CC'±CM,MCD為該二面角的平面角.在RtAMCD中可知/MCD=arctan1,即為所求二面角的大小.2由已知棱長為a可得，等腰MBC面積Si=a-,等腰MBD'面積S2=a2,設所24求距離為h,即為三棱錐CD'MB的高.ii二棱錐D-BCM體積為1slDD1s2h33'S2.,Sia.6h-a.3空間中的計算基礎技能篇類型一：點到面的距離方法1:直接法一把點在面上的射影查出來

20、，然后在直角三角形中計算例1:在正四面體ABCD中，邊長為a,求點A到面BCD的距離。變式1在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長為a側(cè)棱長為b.求頂點V到底面ABCD的距離。變式2在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長為a側(cè)棱長為b.求頂點A到底面VCD的距離。方法2:等體積法求距離一在同一個三棱錐中利用體積不變原理，通過轉(zhuǎn)換不同的底和高來達到目的。例2已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3,VC=4,求點V到面ABC的距離。AEGF所截而得到的，其B變式1:如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面中AB4,BC2,CC13,BE1.(1)求BF的長

21、；(2)求點C到平面AEC1F的距離.ABC - , OA4變式2如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是四邊長為1的菱形，ABCOA面ABCD,OA2,.求點B到平面OCD的距離.變式3在正四面體ABCD中，邊長為a,求它的內(nèi)切求的半徑類型二：其它種類的距離的計算（點到線，點到點）例3如圖，在四錐OABCD中，底面ABCD是四邊長為1的菱形,面ABCD,OA2,M為OC的中點，求AM和點A到直線OC的距離.舉一反三1 .正三棱錐P-ABC高為2,側(cè)棱與底面所成角為45°,則點A到側(cè)面PBC的距離是A.4忑B.6<5C.6D.4、用2 .如圖，已知正三棱柱ABCARG的底面邊長為1,高為8,一質(zhì)點自A點出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周.到達A點的最短路線的長為A.10B.20C.30D.40二、填空題：3 .太陽光照射高為J3m的竹竿時，它在水平地面上的射影為1m,同時，照射地面上一圓球時，如圖所示