高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(工科類(lèi))

1、第八講 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面三、曲面的切平面與法線(xiàn)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面三、曲面的切平面與法線(xiàn)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例引入空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程),(tx ),(ty ),(tz , tzkyjxir ktjtittf)()()()( )(tfr 映射3, :Rf 一元向量值函

2、數(shù)定義設(shè)數(shù)集,RD 則稱(chēng)映射nRDf:為一元向量值函數(shù)，通常記為：因變量自變量定義域Dttfr ),(l注(1) 一元向量值函數(shù)是一元函數(shù)的推廣一元函數(shù)一元向量值函數(shù)自變量因變量實(shí)數(shù)值實(shí)數(shù)值實(shí)數(shù)值n維向量(2) 這里只研究n=3的情形表示法在3R中, 若向量值函數(shù)Dttf ),(的三個(gè)分量函數(shù)依次為,),(),(),(321Dttftftf 則向量值函數(shù)f可表示為Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或Dttftftftf ),(),(),()(321圖形xyzOMr設(shè),OMr 當(dāng)t 改變時(shí),終點(diǎn)M的軌跡(記作曲線(xiàn))稱(chēng)為向量值函數(shù)Dttfr ),(的終端曲線(xiàn)，曲線(xiàn)也稱(chēng)為向量值函數(shù)

3、Dttfr ),(的圖形一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例定義設(shè)向量值函數(shù))(tf在點(diǎn)0t的某一去心鄰域內(nèi)有定義, 如果存在一個(gè)常向量,0r對(duì)于任意給定的正數(shù), 總存在正數(shù), 使得當(dāng)t 滿(mǎn)足 |00tt時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(tf都滿(mǎn)足:,|)(|0 rtf那么,常向量0r就叫做向量值函數(shù))(tf當(dāng)0tt 時(shí)的極限，記作,)(lim00rtftt 或00,)(ttrtfl注向量值函數(shù))(tf當(dāng)0tt 時(shí)的極限存在的充要

4、條件:)(tf的三個(gè)分量函數(shù))(),(),(321tftftf當(dāng)0tt 時(shí)的極限存在,且有: )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定義l注 向量值函數(shù))(tf在0t連續(xù)的充要條件:設(shè)向量值函數(shù))(tf在點(diǎn)0t的某一鄰域內(nèi)有定義, 若)()(lim00tftftt 則稱(chēng)向量值函數(shù))(tf在0t連續(xù).)(tf的三個(gè)分量函數(shù))(),(),(321tftftf都在0t連續(xù).定義設(shè)向量值函數(shù).),(Dttf 若,1DD )(tf在1D中的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng))(tf在1D上連續(xù),并稱(chēng))(tf1D為上的連續(xù)函數(shù).一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)

5、的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例定義.|dd0tttr 設(shè)向量值函數(shù))(tf在點(diǎn)0t的某一鄰域內(nèi)有定義, 如果ttfttftrtt )()(limlim0000存在,那么就稱(chēng)這個(gè)極限向量為向量值函數(shù))(tfr 在0t處的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?記作)(0tf 或l注)(tf的三個(gè)分量函數(shù))(),(),(321tftftf都在0t可導(dǎo).0t向量值函數(shù))(tf在可導(dǎo)的充要條件:當(dāng))(tf在0t可導(dǎo)時(shí),.)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0

6、tf 設(shè)向量值函數(shù).),(Dttf 若,1DD )(tf在1D中的每一點(diǎn)都存在導(dǎo)向量在上可導(dǎo).那么就稱(chēng)運(yùn)算法則(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(ddtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 設(shè))(),(),(ttvtu 可導(dǎo),C是常向量,c是任一常數(shù)，則幾何意義xyzOr割向量0 t向量向量值函數(shù)Dttfr ),(的終端曲線(xiàn),為空間曲線(xiàn)割向量切向量與t 的增長(zhǎng)方向

7、一致0 t與t 的增長(zhǎng)方向相反與t 的增長(zhǎng)方向一致與t 的增長(zhǎng)方向一致向量值函數(shù)Dttfr ),(的終端曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量,其指向與t 的增長(zhǎng)方向一致.MNr tr trt 0lim: )(0tf ),(0tfOM )(0ttfON 指向, 0)(0 tf設(shè)一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（一）向量值函數(shù)的概念（二）向量值函數(shù)的極限和連續(xù)（三）向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（四）舉例u例1).(lim4tft 設(shè),)(sin)(cos)(tkjtittf 求u例2u例3(1)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻t 的速度

8、向量和加速度向量;(2)滑翔機(jī)在任意時(shí)刻t 的速率;(3)滑翔機(jī)的加速度與速度正交的時(shí)刻.設(shè)空間曲線(xiàn)的向量方程為,),62 , 34 , 1()(22Rttttttfr 求曲線(xiàn)在與20 t相應(yīng)的點(diǎn)處的單位切向量.一個(gè)人在懸掛式滑翔機(jī)上由于快速上升氣流而位置向量為ktjtittfr2)sin3()cos3()( 的路徑螺旋式向上. 求多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面三、曲面的切平面與法線(xiàn)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面三、曲面的切平面與法線(xiàn)過(guò)點(diǎn) M 與切線(xiàn)垂直的平面空間曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的割線(xiàn)的極限位置空間曲線(xiàn)

9、在點(diǎn) M 處的切線(xiàn)空間曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的法平面xyzOM二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面（一）參數(shù)式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面（一）參數(shù)式方程的情形（二）一般式方程的情形)(, )(, )(:tztytx切線(xiàn)方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0tM(x0,y0,z0)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt)(0tf T)(),(),(000ttt 切向量l注不全為0)(),(),(000ttt zyxo),0(20kRMu例4切線(xiàn)方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt

10、0)(00zzt求曲線(xiàn) 32,tztytx的切線(xiàn)方程和法平面方程.在點(diǎn)(1,1,1)處u例5求螺旋線(xiàn) kzRyRx,sin,cos2對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和在法平面方程.特例)(, )(:xzxy視為參數(shù)方程 ),(, )(,xzxyxx 參數(shù)為x， 切線(xiàn)方程000zzyyxx1)(0 x)(0 x法平面方程0)()()(00000zzxyyxxxT)(),(, 1 (00 xx 二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面（一）參數(shù)式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面（一）參數(shù)式方程的情形（二）一般式方程的情形光滑曲線(xiàn)0),(0),(:zyxGzyxFF,G有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)0),(

11、),(),(000 zyxzyGF在),(0000zyxM的某鄰域內(nèi))(xy )(xz 0)(),(, xxxF 0)(),(, xxxG 兩邊對(duì)x求導(dǎo)0dddd xzzFxyyFxF0dddd xzzGxyyGxGT)(),(, 1 (00 xx 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxzGFzyGF切線(xiàn)方程法平面方程 000zzyyxxMzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),(MzyGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zzT 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxz

12、GFzyGFu例6 求曲線(xiàn)處的切線(xiàn)及法平面方程. 0, 6222 zyxzyx在點(diǎn)) 1 , 2, 1 ( 處多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面三、曲面的切平面與法線(xiàn)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面三、曲面的切平面與法線(xiàn)三、曲面的切平面與法線(xiàn)（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形三、曲面的切平面與法線(xiàn)（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形, 0),(: zyxF設(shè)有光滑曲面MT 上過(guò)點(diǎn) M 的任何曲線(xiàn)在該點(diǎn)的切線(xiàn)都在同一平面上.此平面稱(chēng)為 在該點(diǎn)的切平面.有關(guān)概念過(guò)該點(diǎn)垂直于切平面的直線(xiàn)稱(chēng)為 在該點(diǎn)的法線(xiàn).推導(dǎo)在

13、上取一點(diǎn)M(x0,y0,z0)，對(duì)應(yīng)于參數(shù)t=t0考慮內(nèi)過(guò)M的任意曲線(xiàn), )(, )(, )(:tztytx在上0) )(, )(, )(tttF兩邊在t=t0處求導(dǎo)得：)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t令),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ).(, )(, )(000tttT 0)( ),()( ),()( ),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx曲面 在點(diǎn) M 的法向量曲面的法線(xiàn)方程 000zzyyxx曲面曲面的切平面方程的切平面方程),(000zyxFx),

14、(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx由于曲線(xiàn) 是任意的, 這些切線(xiàn)都在以為法向量的平面上,nnT 切向量三、曲面的切平面與法線(xiàn)（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形三、曲面的切平面與法線(xiàn)（一）隱式方程情形（二）顯式方程情形)( ),(000 xxyxfx),(:yxfz 1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx)( ),(000yyyxfy0zz曲面的切平面方程曲面的法線(xiàn)方程令,),(),(zyxfzyxF 1, zyyxxFfFfF法向量) 1,( yxffn)( ),(000 xxyxfx)( ),(000yy