簡單微分方程的求解

1、一、一階微分方程1、線性齊次方程分離變量法求解兩邊同時乘以，積分因子法通解：2、線性非齊次方程常數(shù)變易法兩邊同時乘以，積分因子法通解：線性微分方程得解有一些很好得性質(zhì)，例如(1)齊次方程得解或者恒等于零，或者恒不等于零(2)齊次方程任何解得線性組合仍就是它得解(3)齊次方程得任一解與非齊次方程任一解之與仍就是非齊次方程得解(4)非齊次方程任意兩解之差必就是對應(yīng)齊次方程得解(5)非齊次方程得任一解與對應(yīng)齊次方程得通解之與就是非齊次方程得通解。3、Bernoulli方程(1)時，該方程為線性非齊次方程(2)時，該方程為線性齊次方程(3)時，作變量替換，該方程轉(zhuǎn)化為，這就是關(guān)于未知函數(shù)z得一階線性方

2、程4、Riccati方程Riccati方程在一般情況下無法用初等積分求出解，只就是對一些特殊情況或者事先知道了它得一個特解，才能求出其通解。(1)當(dāng)、都就是常數(shù)時，就是可分離變量方程，用分離變量法求解。(2)當(dāng)時，就是線性方程。(3)當(dāng)時，就是Bernoulli方程。當(dāng)，設(shè)已有一特解命代得這就是一個關(guān)于z得Bernoulli方程。(4)當(dāng)Riccati方程得形式為，可利用變量替換，將方程化為可分離變量方程dz d (x) dx dx當(dāng)Riccati方程得一個特解已知時，我們利用變換，代入方程后可得2一2一p(x)(z2z(x)(x)q(x)(z(x)f(x)由于就是方程得解，從上式消去相關(guān)得項(xiàng)

3、后得，這就是一個Bernoulli方程。(5)當(dāng)Riccati方程得形式為淇中、都就是常數(shù)，且設(shè),又設(shè)與，則當(dāng)時，方程可通過適當(dāng)?shù)米儞Q化為變量可分離方程。5 可分離變量方程,通解為6 齊次方程作變量替換,則,即通解為。7 全微分方程與積分因子設(shè)就是一個連續(xù)可微得二元函數(shù),則它得全微分為:若有函數(shù)使得:則稱為全微分方程,此時,微分方程得解就就是微分方程得成立條件:設(shè)函數(shù)與在一個矩形區(qū)域R中連續(xù)且有連續(xù)得一階偏導(dǎo)數(shù),則就是全微分方程得充要條件就是微分方程得解為(線積分法)此時還可應(yīng)用偏積分法與湊微分法如:重新分組整理為如果有函數(shù),使得方程就是全微分方程(恰當(dāng)方程),則稱為方程得一個積分因子積分因子

4、一般很難求解,但有如下情況可求:(1)微分方程有一個依賴于得積分因子得充要條件就是僅于有關(guān),則積分因子可求:(2)微分方程有一個依賴于得積分因子得充要條件就是僅于有關(guān),則積分因子可求:積分因子就是求解微分方程得一個極為重要得辦法,絕大多數(shù)方程得求解都可以通過尋找到一個合適得積分因子來解決。但求一個微分方程得積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法得技巧與經(jīng)驗(yàn)。例如,當(dāng)一個微分方程中出現(xiàn)得項(xiàng)時,函數(shù)與都有可能成為其積分因子,可以根據(jù)方程中其她項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)眠x擇。下面得幾個方程與對應(yīng)得積分因子分別為:另外,若有微分方程:(M1(x,y)dxN1(x,y)dy)(M2(x,y)dxN2(x,y)dy)

5、0其中第一組與第二組各有積分因子與,使得由于對任意可微函數(shù)與，就是第一組得積分因子，就是第二組得積分因子。如果能選取得與使得：則就就是該微分方程得一個積分因子。8、變量替換法(1)形如得方程對于這種類型得方程，引入新變量則,于就是原方程就化為這就是一個變可分離方程，它得通解為此時注意：形如得微分方程，若上下二元一次方程組有解，則利用齊次解法依靠解得坐標(biāo)點(diǎn)化簡此式，若無解則利用變量替換法求解。(2)形如得方程對于這類方程引入新變量，則，原方程可以化為，這就是一個可分離變量方程。(3)用變量替換法求解微分方程就是十分靈活得，依賴于方程得形式與求導(dǎo)得經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)過程中要多積累。9、一階隱式微分方程解

6、法10、近似解法(1)逐次迭代法逐次迭代法就是利用證明初始值問題解得存在唯一性時所構(gòu)造得Picard迭代序列得前若干項(xiàng)來近似初始值問題得解，其近似序列為：當(dāng)初始值問題滿足解得存在唯一性定理得條件時，上面得迭代序列在一個區(qū)間一致收斂到它得解。故當(dāng)較大時，就就是初始值問題解得一個較好得近似。(2)Taylor級數(shù)法設(shè)初始值問題得解可以在得鄰域內(nèi)展開為收斂哥級數(shù)：由Taylor級數(shù)理論知，就是由得階導(dǎo)數(shù)確定得，即：于就是，級數(shù)形式得解實(shí)際上就就是要求出在點(diǎn)得各階導(dǎo)數(shù)值。如果我們能計(jì)算出前面一些導(dǎo)數(shù)值時，就可以利用函數(shù)來近似初始值問題得解。由復(fù)合鏈導(dǎo)法則與方程初始值得：/、d2yy(x0)dx2d-f(x,y(x)xx°dxy(3)(x0)dx(fx(x,y)fy(x,y)f(x,y)fx(x0,y(o)fy(x0,y(o)f(X0,y0)xx0fxx(x0，y0)2fxy(X0,y0)f(x0,y°)''2'''2fyy(x0,y0)f(x0,y0)fy(x0,y0)fx(x0,y0)(fy(x0,y0)f(x0,y0)根據(jù)需要,當(dāng)函數(shù)已知時,我們可以計(jì)算出解在點(diǎn)直到階導(dǎo)數(shù)值從而得出得近似表達(dá)式。