初中數學知識要點及典型例題

1、初中數學知識要點及典型例題雞足山鎮(zhèn)中學 雷鵬軍第一章 實數 中考要求及命題趨勢 1.正確理解實數的有關概念； 2.借助數軸工具，理解相反數、絕對值、算術平方根等概念和性質； 3.掌握科學計數法表示一個數，熟悉按精確度處理近似值。4.掌握實數的四則運算、乘方、開方運算以及混合運算5.會用多種方法進行實數的大小比較。6.用實際生活的題材為背景，結合當今的社會熱點問題考查近似值、有效數字、科學計數法依然是中考命題的一個熱點。實數的四則運算、乘方、開方運算以及混合運算，實數的大小的比較往往結合數軸進行，并會出現(xiàn)探究類有規(guī)律的計算問題。 應試對策 牢固掌握本節(jié)所有基本概念，特別是絕對值的意義，真正掌握數

2、形結合的思想，理解數軸上的點與實數間的一一對應關系，還要注意本節(jié)知識點與其他知識點的結合，以及在日常生活中的運用。 第一講 實數的有關概念【回顧與思考】知識點：有理數、無理數、實數、非負數、相反數、倒數、數的絕對值課標要求：1 使學生復習鞏固有理數、實數的有關概念2 了解有理數、無理數以及實數的有關概念；理解數軸、相反數、絕對值等概念，了解數的絕對值的幾何意義。3 會求一個數的相反數和絕對值，會比較實數的大小4 畫數軸，了解實數與數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示實數，會利用數軸比較大小?？疾橹攸c：1 有理數、無理數、實數、非負數概念；2相反數、倒數、數的絕對值概念；3在已知中，以非負數a

3、2、|a|、(a0)之和為零作為條件，解決有關問題。實數的有關概念(1)實數的組成 (2)數軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸(畫數軸時，要注童上述規(guī)定的三要素缺一個不可)，實數與數軸上的點是一一對應的。數軸上任一點對應的數總大于這個點左邊的點對應的數，(3)相反數實數的相反數是一對數(只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數，零的相反數是零)從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱(4)絕對值 從數軸上看，一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離(5)倒數實數a(a0)的倒數是(乘積為1的兩個數，叫做互為倒數)；零沒有倒數【例題經典】理解實數的有關概念例1 a的相反數

4、是-,則a的倒數是_實數a、b在數軸上對應點的位置如圖所示:則化簡b-a+=_去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學記數法表示為約_例2.(-2)3與-23( )(A)相等 (B)互為相反數 (C)互為倒數 (D)它們的和為16分析：考查相反數的概念，明確相反數的意義。答案：A例3.-的絕對值是 ；-3 的倒數是 ；的平方根是 分析：考查絕對值、倒數、平方根的概念，明確各自的意義，不要混淆。答案：，-2/7，±2/3例4.下列各組數中，互為相反數的是 ( )D A-3與 B-3與一 C-3與 D-3與分析：本題考查相反數和絕對值及根式的概念掌握實數的分類例1 下列實數、

5、sin60°、（）0、3.14159、-、（-）-2、中無理數有（ ）個A1 B2 C3 D4【點評】對實數進行分類不能只看表面形式，應先化簡，再根據結果去判斷第二講 實數的運算【回顧與思考】知識點：有理數的運算種類、各種運算法則、運算律、運算順序、科學計數法、近似數與有效數字。課標要求：1 了解有理數的加、減、乘、除的意義，理解乘方、冪的有關概念、掌握有理數運算法則、運算委和運算順序，能熟練地進行有理數加、減、乘、除、乘方和簡單的混合運算。2 了解有理數的運算率和運算法則在實數運算中同樣適用，復習鞏固有理數的運算法則，靈活運用運算律簡化運算能正確進行實數的加、減、乘、除、乘方運算。

6、3 了解近似數和準確數的概念，會根據指定的正確度或有效數字的個數，用四舍五入法求有理數的近似值（在解決某些實際問題時也能用進一法和去尾法取近似值），會按所要求的精確度運用近似的有限小數代替無理數進行實數的近似運算。4 了解電子計算器使用基本過程。會用電子計算器進行四則運算?？疾橹攸c：1 考查近似數、有效數字、科學計算法；2 考查實數的運算；實數的運算(1)加法同號兩數相加，取原來的符號，并把絕對值相加；異號兩數相加。取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；任何數與零相加等于原數。(2)減法 a-b=a+(-b)(3)乘法兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何

7、數都得零即 (4)除法 (5)乘方 (6)開方 如果x2a且x0，那么x； 如果x3=a，那么在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減有括號時，先算括號里面3實數的運算律 (1)加法交換律 a+bb+a (2)加法結合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交換律 abba (4)乘法結合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意實數運用運算律有時可使運算簡便【例題經典】例1、若家用電冰箱冷藏室的溫度是4，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22，則冷凍室的溫度（）可列式計算為 A 422 18 22418 22（4）26 42226點評

8、：本題涉及對正負數的理解、簡單的有理數運算，試題以應用的方式呈現(xiàn)，同時也強調“列式”，即過程。選（A）例2我國宇航員楊利偉乘“神州五號”繞地球飛行了14周，飛行軌道近似看作圓，其半徑約為671×103千米，總航程約為(取314，保留3個有效數字) ( ) A590 ×105千米 B590 ×106千米 C589 ×105千米 D589×106千米分析：本題考查科學記數法 答案：A例3.化簡的結果是( )(A)-2 (B) +2 (C)3(-2) (D)3(+2)分析：考查實數的運算。答案：B例4.實數a、b、c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下

9、列式子中正確的有( )b+c>0a+b>a+cbc>acab>ac(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個分析：考查實數的運算，在數軸上比較實數的大小。答案：C例5計算：-+（-2）2×（-1）0-【點評】按照運算順序進行乘方與開方運算。例5.校學生會生活委員發(fā)現(xiàn)同學們在食堂吃午餐時浪費現(xiàn)象十分嚴重，于是決定寫一張標語貼在食堂門口，告誡大家不要浪費糧食請你幫他把標語中的有關數據填上(已知1克大米約52粒) 如果每人每天浪費1粒大米，全國13億人口，每天就要大約浪費 噸大米分析：本題考查實數的運算。答案：25例7.陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級

10、或二級臺階，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當樓梯的臺階數為一級、二級、三級逐步增加時，樓梯的上法數依次為：1，2，3，5，8，13，21，(這就是著名的斐波那契數列)請你仔細觀察這列數中的規(guī)律后回答：上10級臺階共有 種上法分析：歸納探索規(guī)律：后一位數是它前兩位數之和答案：89例8.觀察下列等式(式子中的“!”是一種數學運算符號)1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，計算：= 分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)100！=100*99*98！答案：9900第二章 代數式中考要求及命題趨勢1、 掌握整式的有關知識，包括代數式，

11、同類項、單項式、多項式等；2、熟練地進行整式的四則運算，冪的運算性質以及乘法公式要熟練掌握，靈活運用；3、熟練運用提公因式法及公式法進行分解因式 ； 4、了解分式的有關概念式的基本性質；5、熟練進行分式的加、減、乘、除、乘方的運算和應用。應試對策掌握整式 的有關概念及 運算法則，在運算過程中注意 運算順序，掌握運算規(guī)律，掌握乘法 公式并能靈活運用，在實際問題中，抽象的代數式以及代數式的應用題值得重視。要掌握并靈活運用分式的基本性質，在通分和約分 時 都要注意分解因式知識的應用?；?求殖題，一要注意 整體思想，二要注意解題技巧，對于分式的應用題，要能從實際問題中抽象出數學模型。第一講 整式【回

12、顧與思考】知識點代數式、代數式的值、整式、同類項、合并同類項、去括號與去括號法則、冪的運算法則、整式的加減乘除乘方運算法則、乘法公式、正整數指數冪、零指數冪、負整數指數冪。課標要求1、 了解代數式的概念，會列簡單的代數式。理解代數式的值的概念，能正確地求出代數式的值；2、 理解整式、單項式、多項式的概念，會把多項式按字母的降冪（或升冪）排列，理解同類項的概念，會合并同類項；3、 掌握同底數冪的乘法和除法、冪的乘方和積的乘方運算法則，并能熟練地進行數字指數冪的運算；4、 能熟練地運用乘法公式（平方差公式，完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）進行運算；5、 掌握整式的加減

13、乘除乘方運算，會進行整式的加減乘除乘方的簡單混合運算?？疾橹攸c1代數式的有關概念 (1)代數式：代數式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數或表示數的字母連結而成的式子單獨的一個數或者一個字母也是代數式 (2)代數式的值；用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果p叫做代數式的值 求代數式的值可以直接代入、計算如果給出的代數式可以化簡，要先化簡再求值(3)代數式的分類2整式的有關概念(1)單項式：只含有數與字母的積的代數式叫做單項式對于給出的單項式，要注意分析它的系數是什么，含有哪些字母，各個字母的指數分別是什么。(2)多項式：幾個單項式的和，叫做多項式對于給出的多項式，要注意分析它是

14、幾次幾項式，各項是什么，對各項再像分析單項式那樣來分析(3)多項式的降冪排列與升冪排列把一個多項式技某一個字母的指數從大列小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列把個多項式按某一個字母的指數從小到大的順斤排列起來，叫做把這個多項式技這個字母升冪排列，給出一個多項式，要會根據要求對它進行降冪排列或升冪排列(4)同類項所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項，叫做同類頃 要會判斷給出的項是否同類項，知道同類項可以合并即其中的X可以代表單項式中的字母部分，代表其他式子。3整式的運算 (1)整式的加減：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接整式加減的一般步驟是：

15、 (i)如果遇到括號按去括號法則先去括號：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉括號里各項都改變符號 (ii)合并同類項： 同類項的系數相加，所得的結果作為系數字母和字母的指數不變 (2)整式的乘除：單項式相乘(除)，把它們的系數、相同字母分別相乘(除)，對于只在一個單項式(被除式)里含有的字母，則連同它的指數作為積(商)的一個因式相同字母相乘(除)要用到同底數冪的運算性質： 多項式乘(除)以單項式，先把這個多項式的每一項乘(除)以這個單項式，再把所得的積(商)相加多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個

16、多項式的每一項，再把所得的積相加遇到特殊形式的多項式乘法，還可以直接算： (3)整式的乘方單項式乘方，把系數乘方，作為結果的系數，再把乘方的次數與字母的指數分別相乘所得的冪作為結果的因式。單項式的乘方要用到冪的乘方性質與積的乘方性質： 多項式的乘方只涉及 【例題經典】代數式的有關概念例1、已知1b0， 0a1，那么在代數式ab、a+b、a+b2、a2+b中，對任意的a、b，對應的代數式的值最大的是（ ）(A) a+b (B) ab (C) a+b2 (D) a2+b評析：本題一改將數值代入求值的面貌，要求學生有良好的數感。選（B）同類項的概念例1若單項式2am+2nbn-2m+2與a5b7是同

17、類項，求nm的值【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得 解出即可例2（05寶應）一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、廚房的面積和是（ ）A4xy 3xy 2xy xy評析：本題是一道數形結合題，考查了平面圖形的面積的計算、合并同類項等知識，同時又隱含著對代數式的理解。選（B）冪的運算性質例1（1）am·an=_（m，n都是正整數）；（2）am÷an=_（a0，m，n都是正整數，且m>n），特別地：a0=1（a0），a-p=（a0，p是正整數）；（3）（am）n=_（m，n都是正整數）；（4）（ab）n=_（n是正整數）（5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_

18、（6）完全平方公式：（a±b）2=_【點評】能夠熟練掌握公式進行運算.例2.下列各式計算正確的是( ) (A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a3·2a2=8a6 (D)a8÷a2=a6分析：考查學生對冪的運算性質及同類項法則的掌握情況。答案：D例3.下列各式中，運算正確的是 ( ) Aa2a3=a6 B(-a+2b)2=(a-2b)2 c(a+bO) D分析：考查學生對冪的運算性質 答案：B例4、(泰州市)下列運算正確的是A ; B(2x)3=2x3 ;C(ab)(ab)=a22abb2 ; D評析：本題意在考查學生冪的運算法則、整式的乘法、二次根式

19、的運算等的掌握情況。選 （D）整式的化簡與運算例5計算：9xy·(-x2y)= ；（2006年江蘇?。┫然啠偾笾担海▁-y）2+（x+y）（x-y）÷2x其中x=3，y=-15【點評】本例題主要考查整式的綜合運算，學生認真分析題目中的代數式結構，靈活運用公式，才能使運算簡便準確第二講 因式分解與分式【回顧與思考】因式分解知識點因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。課標要求理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分

20、解因式?？疾橹攸c與常見題型考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。因式分解知識點多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多項式其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式(2)運用公式法，即用寫出結果(3)十字相乘法對于二次項系數為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對于一般的二次三項式尋找滿足 a1a2=a，c1c2=c,

21、a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則 (4)分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變符號.(5)求根公式法：如果有兩個根X1，X2，那么【例題經典】掌握因式分解的概念及方法例1、分解因式：x3-x2=_;x2-81=_;x2+2x+1=_;a2-a+=_;a3-2a2+a=_.【點評】運用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可。例2.把式子x2-y2-xy分解因式的結果是 分析：考查運用提公因式法進行分解因式。答案：(x+

22、y)(x-y-1)例3.分解因式：a24a+4= 分析：考查運用公式法分解因式。答案：(a-2)2分 式知識點:分式，分式的基本性質，最簡分式，分式的運算，零指數，負整數，整數，整數指數冪的運算課標要求:了解分式的概念，會確定使分式有意義的分式中字母的取值范圍。掌握分式的基本性質，會約分，通分。會進行簡單的分式的加減乘除乘方的運算。掌握指數指數冪的運算?？疾橹攸c與常見題型:1考查整數指數冪的運算，零運算，有關習題經常出現(xiàn)在選擇題中，如：下列運算正確的是（ ）（A）-40 =1 (B) (-2)-1= (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-12.考查分式的化簡求值

23、。在中考題中，經常出現(xiàn)分式的計算就或化簡求值，有關習題多為中檔的解答題。注意解答有關習題時，要按照試題的要求，先化簡后求值，化簡要認真仔細，如：化簡并求值：. +(2),其中x=cos30°,y=sin90°知識要點1分式的有關概念設A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式沒有意義分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分母有公因式，要進行約分化簡2、分式的基本性質 （M為不等于零的整式）3分式的運算(分式的運算法則與分數的運算法則類似) (異分母相加，先通分)； 4零指數 5負整數指數 注意正整數冪的運算性質 可以推廣到整數

24、指數冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負整數熟練掌握分式的概念：性質及運算例4 （1）若分式的值是零，則x=_【點評】分式值為0的條件是：有意義且分子為0（2）同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（ ） Ax-4且x-2 Bx=-4或x=2Cx=-4 Dx=2（3）如果把分式中的x和y都擴大10倍，那么分式的值（ ） A擴大10倍 B縮小10倍 C不變 D擴大2倍例5：化簡()÷的結果是 分析：考查分式的混合運算，根據分式的性質和運算法則。答案：-例6.已知a=，求的值分析：考查分式的四則運算，根據分式的性質和運算法則，分解因式進行化簡。答案：a=2-<1，原

25、式=a-1+=3例7.已知|a-4|+ =0，計算的值答案：由條件，得a-4=0且b-9=0 a=4 b=9原式=a2/b2當a=4，6=9時，原式=16/81例8.計算(xy+)(x+y-)的正確結果是( )A y2-x2 B.x2-y2 cx2-4y2 D4x2-y2 分析：考查分式的通分及四則運算。答案：B因式分解與分式化簡綜合應用例1先化簡代數式：，然后選取一個使原式有意義的x的值代入求值【點評】注意代入的數值不能使原分式分母為零，否則無意義例2、（05河南）有一道題“先化簡，再求值：，其中。”小玲做題時把“”錯抄成了“”，但她的計算結果也是正確的，請你解釋這是怎么回事？點評：化簡可發(fā)

26、現(xiàn)結果是，因此無論還是其計算結果都是7。 可見現(xiàn)在的考試特別重視應用和理解。第三講 數的開方與二次根式【回顧與思考】知識點平方根、立方根、算術平方根、二次根式、二次根式性質、最簡二次根式、同類二次根式、二次根式運算、分母有理化課標要求1.理解平方根、立方根、算術平方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根和算術平方根。會求實數的平方根、算術平方根和立方根（包括利用計算器及查表）；2.了解二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的概念，會辨別最簡二次根式和同類二次根式。掌握二次根式的性質，會化簡簡單的二次根式，能根據指定字母的取值范圍將二次根式化簡；3.掌握二次根式的運算法則，能進行二次根式的加減乘

27、除四則運算，會進行簡單的分母有理化。內容分析1二次根式的有關概念(1)二次根式式子叫做二次根式注意被開方數只能是正數或O(2)最簡二次根式被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根式，叫做最簡二次根式(3)同類二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式2二次根式的性質 3二次根式的運算(1)二次根式的加減二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類三次根式分別合并(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各個因式的被開方數的積的算術平方根，即二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進行兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二

28、次根式，那么這兩個三次根式互為有理化因式(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號化去(或分子、分母約分)把分母的根號化去，叫做分母有理化考查重點與常見題型1.考查平方根、算術平方根、立方根的概念。有關試題在試題中出現(xiàn)的頻率很高，習題類型多為選擇題或填空題。2.考查最簡二次根式、同類二次根式概念。有關習題經常出現(xiàn)在選擇題中。3.考查二次根式的計算或化簡求值，有關問題在中考題中出現(xiàn)的頻率非常高，在選擇題和中檔解答題中出現(xiàn)的較多?！纠}經典】理解二次根式的概念和性質例1 （1）式子有意義的x取值范圍是_【點評】從整體上看分母不為零，從

29、局部看偶次根式被開方數為非負（2）已知a為實數，化簡【點評】要注意挖掘其隱含條件：a<0掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法例2下列根式中能與合并的二次根式為（ ）A【點評】抓住最簡二次根式的條件，結合同類二次根式的概念去解決問題掌握二次根式化簡求值的方法要領例3先化簡，再求值:若a=4+，b=4-，求【點評】注意對求值式子進行變形化簡約分，再對已知條件變形整體代入第三章方程（組）中考要求及命題趨勢 一元 一次方程與一元 一次方程組是初中有關方程的基礎，在各地中考題 中，多數以填空 、選擇和解答題的形式出現(xiàn)，大多考查 一元一次方程及一次方程組的概念和解法，一般占5%左右。方程和

30、方程組的應用題是中考的必考題，考查學生建模能力和分析問題和解決問題的能力，以貼進生活的題目為主。占10%左右。應試對策 1、 要弄清一元一次方程及二元一次方程組的定義，方程（組）的解（整數解）等概念。2、 要熟練掌握一元一次方程，二元一次方程組的解法。3、 要弄清一元一次方程與一次函數、一元一次不等式之間的關系。4、 要弄清一元二次方程的定義，ax +bx+c=0(a 0),a,b,c均為常數，尤其a不為零要切記。5、 要弄清一元二次方程的解的概念。6、 要熟練掌握一元二次方程的幾種解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程為一元一次方程的轉化思想。7、 要加強一元二次方程與二次函數之間

31、的綜合的訓練。8、 讓學生理解化分式方程為整式方程的思想。9、 熟練掌握解分式方程的方法。10、 讓學生學會行程、工程、儲蓄、打折銷售等基本類型應用題的分析。讓學生掌握生活中問題的數學建模的方法，多做一些綜合性的訓練。知識點等式及基本性質、方程、方程的解、解方程、一元一次方程、一元二次方程、簡單的高次方程課標要求1. 理解方程和一元一次方程、一元二次方程概念；2. 理解等式的基本性質，能利用等式的基本性質進行方程的變形，掌握解一元一次方程的一般步驟，能熟練地解一元一次方程；3. 會推導一元二次方程的求根公式，理解公式法與用直接開平方法、配方法解一元二次方程的關系，會選用適當的方法熟練地解一元二

32、次方程；4. 了解高次方程的概念，會用因式分解法或換元法解可化為一元一次方程和一元二次方程的簡單的高次方程；體驗“未知”與“已知”的對立統(tǒng)一關系。內容分析1方程的有關概念含有未知數的等式叫做方程使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫做方程的解(只含有個未知數的方程的解，也叫做根)2一次方程(組)的解法和應用只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，系數不為零的方程，叫做一元一次方程解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化成13.一元二次方程的解法(!)直接開平方法形如(mx+n)2=r(ro)的方程，兩邊開平方，即可轉化為兩個一元一次方程來解，這種方法叫做直接開平方法(2

33、)把一元二次方程通過配方化成(mx+n)2=r(ro)的形式，再用直接開平方法解，這種方法叫做配方法(3)公式法通過配方法可以求得一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 (4)因式分解法如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的左邊可以分解為兩個一次因式的積，那么根據兩個因式的積等于O，這兩個因式至少有一個為O，原方程可轉化為兩個一元一次方程來解，這種方法叫做因式分解法考查重點與常見題型考查一元一次方程、一元二次方程及高次方程的解法，有關習題常出現(xiàn)在填空題和選擇題中。第一講 一次方程（組）及應用【回顧與思考】【例題經典】掌握一元一次方程

34、的解法步驟例1 解方程：x-【點評】按去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，五步進行掌握二元一次方程組的解法例2 已知方程組的解為，求2a-3b的值【點評】將代入原方程組后利用加減法解關于a，b的方程組例3、某電視臺在黃金時段的2min廣告時間內，計劃插播長度為15s和30s的兩種廣告，15s廣告每播1次收費0.6萬元，30s廣告每播1次收費1萬元。若要求每種廣告播放不少于2次。問：兩種廣告的播放次數有幾中安排方式？電視臺選擇哪種方式播放收益較大？點評：本題只能列出一個二元一次方程，因此需要學生對二元一次方程的解有深刻的理解。體現(xiàn)了“從知識立意向能力立意轉變”的新命題理念。解：（1）設

35、15s廣告播放x次，30s廣告播放y次。15x+30y=120 而x,y均為不小于2的正整數， 或 （2）方案1 4.4萬元；方案2 4.2萬元。一次方程的應用例1下圖是學?；瘜W實驗室用于放試管的木架，在每層長29 cm的木條上鉆有6個圓孔，每個圓孔的直徑均為25 cm兩端與圓孔邊緣及任何相鄰兩孔邊緣之間的距離都相等并設為X cm，則x為 ( )A2 B215 C233 D236 分析：考查列一元一次方程并解方程 答案：A例2據某統(tǒng)計數據顯示，在我國的664座城市中，按水資源情況可分為三類：暫不缺水城市，一般缺水城市和嚴重缺水城市，其中，暫不缺水城市數比嚴重缺水城市數的4倍少50座，一般缺水城

36、市是嚴重缺水城市數的2倍，求嚴重缺水城市有多少座？【點評】一元一次方程或二元一次方程組都可解答此題例4.小紅家春天粉刷房間，雇用了5個工人，干了10天完成；用了某種涂料150升，費用為4800元；粉刷的面積是150m2最后結算工錢時，有以下幾種方案：方案一：按工算，每個工30元； (1個工人干1天是一個工)；方案二：按涂料費用算，涂料費用的30作為工錢；方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢12元請你幫小紅家出主意，選擇方案 付錢最合算(最省)分析：考查方程和方程的應用，方案一：5*10*30+4800=6300元 方案二：4800*30%=1440元，方案三：12*150=1800元答案：方案

37、二第二講 一元二次方程及應用【回顧與思考】【例題經典】掌握一元二次方程的解法例1 解方程：（1）3x2+8x-3=0；（2）9x2+6x+1=0；（3）x-2=x（x-2）；（4）x2-2x+2=0例2.用換元法解方程(x-)2-3x+2=0時，如果設x-=y，那么原方程可轉化為( )D(A)y2+3y+2=O (B)y23y-2=0 (C)y2+3y-2=0 (D)y2-3y+2=0分析：考查用換元法解方程 答案：D例3.若關于x的方程x2+px+1=0的一個實數根的倒數恰是它本身，則p的值是 分析：一個實數的倒數是它的本身，這個實數是±1答案：±2例4.關于x的一元二次

38、方程的兩根為，則分解因式的結果為_；分析：考查一元二次方程和分解因式的綜合。將x1、x2的值代入方程求出b、c答案：(x-1)(x-2)會判斷一元二次方程根的情況例1 不解方程判別方程2x2+3x-4=0的根的情況是（ ） A有兩個相等實數根； B有兩個不相等的實數根；C只有一個實數根； D沒有實數根【點評】根據b2-4ac與0的大小關系來判斷例2已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根(1)求k的取值范圍;(2)如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值. 點評：本題考查了解一元二次方程的解法、根的判別式、不等式

39、的整數解等知識點。一元二次方程的應用例3 某印刷廠1月份印刷了書籍60萬冊，第一季度共印刷了200萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？【點評】設2、3月份平均每月的增長率為x，即60+60（1+x）+60（1+x）2=200第三講 分式方程及應用【回顧與思考】知識點分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根課標要求了解分式方程、二次根式方程的概念。掌握把簡單的分式方程、二次根式方程轉化為一元一次方程、一元二次方程的一般方法，會用換元法解方程，會檢驗。內容分析1分式方程的解法(1)去分母法 用去分母法解分式方程的一般步驟是： （i）在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；

40、 (ii)解這個整式方程； (iii)把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母不為零的根是原方程的根，使最簡公分母為零的根是增根，必須舍去. 在上述步驟中，去分母是關鍵，驗根只需代入員簡公分母. (2)換元法 用換元法解分式方程，也就是把適當的分式換成新的未知數，求出新的未知數后求出原來的未知數 2二次根式方程的解法 (1)兩邊平方法 用兩邊平方法解無理方程的般步驟是： (i)方程兩邊都平方，去掉根號，化成有理方程； (ii)解這個有理方程； (iii)把有理方程的根代入原方程進行檢驗，如果適合，就是原方程的根，如果不適合，就是增根，必須舍去 在上述步驟中，兩邊平方是關鍵，驗

41、根必須代入原方程進行 (2)換元法用換元法解無理方程，就是把適當的根號下臺有未知數的式子換成新的未知數，求出新的未知數后再求原來的未知數考查重點與常見題型考查換元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查換元的能力，常出現(xiàn)在選擇題中另一部分習題考查完整的解題能力，習題出現(xiàn)在中檔解答題中?！纠}經典】理解分式方程的有關概念例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）=5 =5 x2-5x=0 +3=0A1個 B2個 C3個 D4個【點評】根據分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知數掌握分式方程的解法步驟例2 解方程：（1）；（2）?！军c評】注意分式方程最后要驗根。例3.解方程：分析：考查解分式方程

42、答案： x1=3，x2=4/3都是原方程的根例4（1）、用換元法解分式方程3時，設y，原方程變形為（ ）（A）y23y10（B）y23y10（C）y23y10（D）y2y30（2）、用換元法解方程x28x23，若設y，則原方程可化為（ ）（A）y2y120（B）y2y230（C）y2y120（D）y2y34=0分式方程的應用例5某服裝廠裝備加工300套演出服，在加工60套后，采用了新技術，使每天的工作效率是原來的2倍，結果共用9天完成任務，求該廠原來每天加工多少套演出服【點評】要用到關系式：工作效率。例6某公路上一路段的道路維修工程準備對外招標，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊競標，競標資料上顯示：若由兩

43、隊合做，6天可以完成，共需工程費用10 200元；若單獨完成此項工程，甲隊比乙隊少用5天但甲隊每天的工程費用比乙隊多300元，工程指揮部決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，若從節(jié)省資金的角度考慮，應該選擇哪個工程隊?為什么?解：設甲隊每天費用為a元，乙隊每天費用為b元，則(a+b)×6=10200 a-b=300解：設甲隊獨做需x天完成，則乙隊獨做(x+5)天完成由題意，列方程整理得x2-7x-30=O解之得x1=10，x2=-3經檢驗x1x2都是原方程的根，但x2=-3不合題意舍去甲隊獨做需10天完成，乙隊獨做需15天完成 解之得a=1000 b=700所以甲隊獨做的費用為1

44、000×10=10 000(元)，乙隊獨做的費用為700×15=10 500(元)10 500>10 000若從節(jié)省資金的角度考慮，應選擇甲工程隊例7為滿足用水量不斷增長的需求，昆明市最近新建甲、乙、丙三個水廠，這三個水廠的日供水量共計118萬立方米，其中乙水廠的日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水量比甲水廠日供水量的一半還多1萬立方米(1)求這三個水廠的日供水量各是多少萬立方米?(2)在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運走600噸土石，運輸公司派出A型、B型兩種載重汽車，A型汽車6輛、B型汽車4輛，分別運5次，可把土石運完；或者A型汽車3輛、B型汽車6輛，分

45、別運5次，也可把土石運完那么每輛A型汽車、每輛B型汽車每次運土石各多少噸?(每輛汽車運土石都以標準載重量滿載)解：(1)設甲水廠的日供水量是x萬立方米，則乙水廠的日供水量是3x萬立方米，丙水廠的日供水量是(x/2+1)萬立方米由題意得：x+3x+x/4+1=118 解得：x=24 答：甲水廠日供水量是24萬立方米，乙水廠日供水量是72萬立方米，丙水廠日供水量是22萬立方米(2)每輛A型汽車每次運土石lO噸、每輛B型汽車每次運土石15噸第四講 列出方程(組)解應用題知識點列方程（組）解應用題的一般步驟、列方程（組）解應用題的核心、應用問題的主要類型課標要求能夠列方程（組）解應用題內容分析列出方程

46、(組)解應用題的一般步驟是：(i)弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個(或幾個)未知數;(ii)找出能夠表示應用題全部含義的一個(或幾個)相等關系;(iii)根據找出的相等關系列出需要的代數式，從而列出方程(或方程組);(iv)解這個方程(或方程組)，求出未知數的值;(v)寫出答案(包括單位名稱)考查重點與常見題型考查列方程（組）解應用題的能力，其中重點是列一元二次方程或列分式方程解應用題，習題以工程問題、行程問題為主，近幾年出現(xiàn)了一些經濟問題，應引起注意一、填空題1.某商品標價為165元，若降價以九折出售（即優(yōu)惠10），仍可獲利10（相對于進貨價），則該商品的進貨價是 2

47、.甲、乙二人投資合辦一個企業(yè)，并協(xié)議按照投資額的比例分配所得利潤，已知甲與乙投資額的比例為3：4，首年的利潤為38500元，則甲、乙二人可獲得利潤分別為 元和 元3.某公司1996年出口創(chuàng)收135萬美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a，那么，1998年這個公司出口創(chuàng)匯 萬美元4.某城市現(xiàn)有42萬人口，計劃一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8，農村人口增加1.1，這樣全市人口將增加1，求這個城市現(xiàn)有的城鎮(zhèn)人口數與農村人口數，若設城鎮(zhèn)現(xiàn)有人口數為x萬，農村現(xiàn)有人口y萬，則所列方程組為 5.在農業(yè)生產上，需要用含鹽16的鹽水來選種，現(xiàn)有含鹽24的鹽水200千克，需要加水多少千克？解：設需要加水x千克

48、根據題意，列方程為 ，解這個方程，得 答： .6.某電視機廠1994年向國家上繳利稅400萬元，1996年增加到484萬元，則該廠兩年上繳的利稅平均每年增長的百分率 7.某種商品的進貨價每件為x元，零售價為每件900元，為了適應市場競爭，商店按零售價的九折降價并讓利40元銷售，仍可獲利10（相對于進價），則x 元8一個批發(fā)與零售兼營的文具店規(guī)定，凡是一次購買鉛筆301支以上（包括301支），可以按批發(fā)價付款；購買300支以下（包括300支）只能按零售價付款，現(xiàn)有學生小王來購買鉛筆，如果給學校初三年級學生每人買1支，則只能按零售價付款，需用(m21)元（m為正整數，且m21>100）；如果

49、多買60支，則可以按批發(fā)價付款，同樣需用(m21)元.(1)設這個學校初三年級共有x名學生，則(a)x的取值范圍應為 (b)鉛筆的零售價每支應為 元，批發(fā)價每支應為 元（用含x，m的代數式表示）(2)若按批發(fā)價每購15支比按零售價每購15少付款1元，試求這個學校初三年級共有多少名學生，并確定m的值。 二列方程解應用題1 某商店運進120臺空調準備銷售，由于開展了促銷活動，每天比原計劃多售出4臺，結果提前5天完成銷售任務，原計劃每天銷售多少臺？2 我省1995年初中畢業(yè)會考（中考）六科成績合格的人數為8萬人，1997年上升到9萬人，求則兩年平均增長的百分率（取=1.41）3 甲、乙兩隊完成某項工

50、作，甲單獨完成比乙單獨完成快15天，如果甲單獨先工作10天，再由乙單獨工作15天，就可完成這項工作的，求甲、乙兩人單獨完成這項工作各需多少天？4 某校校長暑期將帶領該校市級“三好學生”去北京旅游，甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優(yōu)待”，乙旅行社說：“包括校長在內全部按全票價的6折優(yōu)惠（即按全票價的60收費），若全票為240元(1)設學生數為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費（建立表達式）(2)當學生數為多少時，兩家旅行社的收費一樣？(3)就學生數x討論哪家旅行社更優(yōu)惠？5 現(xiàn)有含鹽15的鹽水內400克，張老師要求將鹽水質量分數變?yōu)?2。某

51、同學由于計算失誤，加進了110克的水，請你通過列方程計算說明這位同學加多了，并指出多加了多少克的水？6 甲步行上午6時從A地出發(fā)于下午5時到達B地，乙騎自行車上午10時從A地出發(fā)，于下午3時到達B地，問乙在什么時間追上甲的？7 中華中學為迎接香港回歸，從1994年到1997年內師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹棵數的年增長率相同，那么該校1997年植樹多少棵？8 要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，如圖，如果籬笆的長為35m，（1）求雞場的長與

52、寬各為多少？（2）題中墻的長度a對題目的解起著怎樣的作用？9 永盛電子有限公司向工商銀行申請了甲乙兩種款，共計68萬元，每年需付出利息8.42萬元，甲種貸款每年的利率是12，乙種貸款每年的利率是13，求這兩種貸款的數額各是多少？10小明將勤工儉學掙得的100元錢按一年期存入少兒銀行，到期后取出50元用來購買學習用品，剩下的50元和應得的利息又全部按一年期存入。若存款的年利率保持不變，這樣到期后可得本金和利息共66元，求這種存款的年利率。11.某公司向銀行貸款40萬元，用來生產某種新產品，已知該貸款的年利率為15（不計復利，即還貸前每年息不重復計息），每個新產品的成本是2.3元，售價是4元，應納稅款為銷售額的10。如果每年生產該種產品20萬個，并把所得利潤（利潤銷售額成本應納稅款）用來歸還貸款，問需幾年后能一次還清？12.某車間在規(guī)定時間內加工130個零件，加工了40個零件后，由于改進操作技術，每天比原來計劃多加工10個零件，結果總共用5天完成任務。求原計劃每天加工多少個零件?13.東西兩車站相距600千米，甲車從西站、乙車從東站同時同速相向而行，相遇后，甲車以原速，乙車以每小時比原速快10千米的速度繼續(xù)行駛，結果