機(jī)械設(shè)計(jì)優(yōu)化作業(yè)

1、1、 優(yōu)化概述優(yōu)化設(shè)計(jì)是用數(shù)學(xué)規(guī)劃理論和計(jì)算機(jī)自動(dòng)選優(yōu)技術(shù)的有機(jī)結(jié)合來(lái)求解最優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)工程問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，首先需要將工程問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即用優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式描述工程設(shè)計(jì)問(wèn)題。然后，按照數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)選擇合適的優(yōu)化方法和計(jì)算程序，運(yùn)用計(jì)算機(jī)求解，獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。2、 優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的比較機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)工作的任務(wù)就是使設(shè)計(jì)的產(chǎn)品既具有優(yōu)良的技術(shù)性能指標(biāo)，又能滿(mǎn)足生產(chǎn)的工藝性、使用的可靠性和安全性要求，且消耗和成本最低等。機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，一般需要經(jīng)過(guò)需求分析、市場(chǎng)調(diào)查、方案設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、分析計(jì)算、工程繪圖和編制技術(shù)文件等一系列工作過(guò)程。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法通常是在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，參照同類(lèi)

2、產(chǎn)品，通過(guò)估算、經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比或試驗(yàn)等方法來(lái)確定產(chǎn)品的初步設(shè)計(jì)方案，然后對(duì)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性能分析計(jì)算，檢查各項(xiàng)性能是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)指標(biāo)要求。如果不能滿(mǎn)足要求，則根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或直觀判斷對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改。整個(gè)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的過(guò)程是人工試湊和定性分析比較的過(guò)程。實(shí)踐證明，按照傳統(tǒng)方法得出的設(shè)計(jì)方案，可能存在有較大改進(jìn)和提高的余地。在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中也存在“優(yōu)選”的思想，設(shè)計(jì)人員可以在有限的幾種合格設(shè)計(jì)方案中，按照一定的設(shè)計(jì)指標(biāo)進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，選出較好的方案。但是由于傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法受到計(jì)算方法和條件的限制，設(shè)計(jì)者不得不依靠經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行類(lèi)比、推斷和直觀判斷等一系列智力工作，這是很難找出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的。優(yōu)化設(shè)計(jì)理論

3、的研究和應(yīng)用實(shí)踐，使傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法發(fā)生了根本變革，從經(jīng)驗(yàn)、感性和類(lèi)比為主的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法過(guò)渡到科學(xué)、理性和立足于計(jì)算分析的現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)正在逐步向自動(dòng)化、集成化和智能方向發(fā)展。3、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的方法3.1 一維搜索方法一維搜索方法是機(jī)械優(yōu)化方法中最基本一種優(yōu)化方法，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。其中試探方法和插值方法為主要方法。常見(jiàn)的一維搜索方法有：黃金分割法、裴波納契法、二次插值法、三次插值法等等。3.2 無(wú)約束優(yōu)化方法無(wú)約束優(yōu)化方法是最優(yōu)化技術(shù)中幾位重要和基本的內(nèi)容之一，是求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的基礎(chǔ)。幾種典型的無(wú)約束優(yōu)化方法有：最速下降法、牛頓型方法、共軛梯度法、變尺度法、坐標(biāo)輪換法、鮑威爾法

4、、單純形法等。3.3 約束優(yōu)化方法機(jī)械優(yōu)化中的大多數(shù)問(wèn)題都屬于有約束的，約束優(yōu)化方法是求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的重要方法。典型的約束優(yōu)化方法有方向搜索法、復(fù)合形法、可行方向法、懲處函數(shù)法、增廣乘子法等。約束優(yōu)化中的直接解法包括隨機(jī)方向搜索法、復(fù)合形法、可行方向法等。它的思路是直接從優(yōu)化問(wèn)題的可行域內(nèi)選擇初始點(diǎn)，決定可行搜索方向得到目標(biāo)函數(shù)下降的新點(diǎn)，完成一次迭代后再進(jìn)行下一次的搜索。直接法原理簡(jiǎn)單，方法適用。直接法迭代過(guò)程無(wú)論合適停止都將獲得比初始點(diǎn)好的點(diǎn)。約束優(yōu)化中的間接法有懲處函數(shù)法和增廣乘子法等。它的基本思路是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的函數(shù)進(jìn)行特殊加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即

5、將原來(lái)的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或者一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，再對(duì)新函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束計(jì)算，從而獲得原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。間接法可以有效的處理具有等式約束條件的約束優(yōu)化問(wèn)題，并且算法的效率和數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性很好。但由于加權(quán)因子比較難確定，選取不當(dāng)會(huì)影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。3.4 多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化方法是求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的重要方法。在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，某個(gè)設(shè)計(jì)并不是只有一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)要求最優(yōu)化。例如汽車(chē)變速箱齒輪常常要求：齒輪質(zhì)量盡可能小、齒輪抗疲勞點(diǎn)蝕的能力盡可能高、相互嚙合的齒輪的彎曲強(qiáng)度盡可能相同、大小齒輪其齒根的磨損量盡可能相同、變速箱中間軸的軸向力盡可能相等、制造成本盡

6、可能低。像這樣盡可能達(dá)到幾個(gè)的設(shè)計(jì)指標(biāo)的最優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)作多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的解決方法很多，其中主要的有兩大類(lèi)，一類(lèi)是把多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或者一系列單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題求解，以此解作為多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的解；另一類(lèi)是直接求出非劣解，然后從中選擇較好解。3.5 離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法離散變量?jī)?yōu)化方法是指專(zhuān)門(mén)研究變量集合中的某些或全部變量自定義在離散值域上的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。主要離散變量的優(yōu)化方法有：1按照連續(xù)變量處理和修整的優(yōu)化方法，如湊整解法、擬離散法、離散懲罰函數(shù)法；2離散變量隨機(jī)型優(yōu)化方法，如離散變量隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法、隨機(jī)離散搜索法；3離散變量搜索優(yōu)化方法，如啟發(fā)式組合

7、優(yōu)化方法、整數(shù)梯度法、離散變量復(fù)合形法；4其他離散變量?jī)?yōu)化方法，如非線(xiàn)性隱枚舉法、分支定界法、網(wǎng)格法。3.6 模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)法是將模糊信息和因素量化,建立由模糊約束條件、模糊變量以及模糊目標(biāo)函數(shù)組成的模糊數(shù)學(xué)模型,再通過(guò)從模糊到非模糊的變化來(lái)實(shí)現(xiàn)模糊數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化,最終利用優(yōu)化算法進(jìn)行求解。4、 懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛、很有效的求解約束優(yōu)化問(wèn)題的間接解法，其特點(diǎn)是基本構(gòu)思簡(jiǎn)單，可求解等式約束、不等式約束以及兩種約束兼有的優(yōu)化問(wèn)題。4.1 懲罰函數(shù)法的基本原理懲罰函數(shù)法的基本原理是將約束優(yōu)化問(wèn)題 中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過(guò)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)懲罰函

8、數(shù)，即 即將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成 的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，以期得到原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。為此，需按一定的法則改變加權(quán)因子的值，構(gòu)成一系列無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，求得一系列的無(wú)約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法又稱(chēng)序列無(wú)約束極小化方法，即SUMT法。式中的和，根據(jù)它們?cè)趹土P函數(shù)中的作用，分別稱(chēng)為障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)。障礙項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在可性域內(nèi)時(shí)，在迭代過(guò)程中將阻止迭代點(diǎn)越出可性域；懲罰項(xiàng)的作用是當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可性域或不滿(mǎn)足等式約束條件時(shí)，在迭代過(guò)程中將迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束面。根據(jù)懲罰函數(shù)在迭代過(guò)程中迭代點(diǎn)是否為可行點(diǎn)，懲罰函數(shù)點(diǎn)又分為內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法

9、，外點(diǎn)懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法。4.2 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn)法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。4.2.1內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的形式對(duì)于只有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)的形式為或式中 懲罰因子，它滿(mǎn)足如下關(guān)系：由于內(nèi)點(diǎn)法的迭代過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行，障礙項(xiàng)的作用是阻止迭代點(diǎn)越出可行域。由障礙項(xiàng)的函數(shù)形式可知，當(dāng)?shù)c(diǎn)趨于邊界時(shí)，起作用約束函數(shù)的值趨近于0，導(dǎo)致障礙項(xiàng)的值陡然增加，并趨近于無(wú)窮大，這就好像在可行域邊界上筑起了一道“圍墻”，使迭代點(diǎn)始終在可行域內(nèi)，因此，也只有當(dāng)懲罰因子趨近于0時(shí)，才能求得約束邊界

10、上的最優(yōu)解。4.2.2內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算步驟（1）選取適當(dāng)?shù)某跏紤土P因子r(0)，遞減系數(shù)c，計(jì)算精度。（2）在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)X(0) ，令k0。（3）構(gòu)造懲罰函數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)臒o(wú)約束優(yōu)化方法，從X(k)點(diǎn)出發(fā)求的最優(yōu)點(diǎn)。（4）用終止準(zhǔn)則判別迭代是否終止，若滿(mǎn)足終止準(zhǔn)則，則終止迭代計(jì)算，并以，作為原問(wèn)題的約束最優(yōu)解；否則，轉(zhuǎn)向下一步。（5）計(jì)算，轉(zhuǎn)向步驟（3）。開(kāi)始內(nèi)點(diǎn)法的程序框圖如圖4.1所示，其中R為預(yù)先給定的某個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)懲罰因子r大于此值時(shí)，不需要經(jīng)過(guò)終止準(zhǔn)則的判斷。 輸入：，c，R得 Y N Y N Y結(jié)束圖4.1 內(nèi)點(diǎn)法程序框圖內(nèi)點(diǎn)法有一個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)，就是當(dāng)給定一個(gè)可行方案之后，通過(guò)

11、迭代計(jì)算，可給出一系列逐步改進(jìn)的可行設(shè)計(jì)方案。因此，只要實(shí)際設(shè)計(jì)要求允許，就可以選擇其中任何一個(gè)無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)作為原問(wèn)題的設(shè)計(jì)方案，而不一定選擇最后的約束最優(yōu)點(diǎn)作為原問(wèn)題的設(shè)計(jì)方案，這樣，一方面擴(kuò)大了設(shè)計(jì)人員選擇方案的余地，另一方面也可使所選的設(shè)計(jì)方案留有一定的儲(chǔ)備能力。5、 工程實(shí)例的應(yīng)用如圖5.1所示的人字架由兩個(gè)鋼管組成，其頂點(diǎn)受外力2F=3×105N。已知人字架跨度2B=152 cm,鋼管壁厚T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1×105 MPa，材料密度p=7.8×103 kgm，許用壓應(yīng)力y =420 MPa。求鋼管壓應(yīng)力不超過(guò)許用壓應(yīng)力 y和失

12、穩(wěn)臨界應(yīng)力 c的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D使鋼管總質(zhì)量m為最小。 如圖5.1所示的人字架由兩個(gè)鋼管組成，其頂點(diǎn)受外力2F=3×105N。已知人字架跨度2B=152 cm,鋼管壁厚T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1×105 MPa，材料密度p=78×103 kgm，許用壓應(yīng)力y =420 MPa。求鋼管壓應(yīng)力不超過(guò)許用壓應(yīng)力 y和失穩(wěn)臨界應(yīng)力 c的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D使鋼管總質(zhì)量m為最小。圖5.1人字架的受力（1）建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)變量取 X=所設(shè)計(jì)的空心傳動(dòng)軸應(yīng)滿(mǎn)足以下條件：強(qiáng)度約束條件： 經(jīng)整理得穩(wěn)定性約束條件： 取值

13、范圍：所以數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)函數(shù) 約束函數(shù) （2）優(yōu)化方法綜合上述分析可得優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是一個(gè)具有2個(gè)設(shè)計(jì)變量，4個(gè)約束條件的有約束非線(xiàn)性最優(yōu)化問(wèn)題，屬于小型優(yōu)化設(shè)計(jì)，選用內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法，能用來(lái)求解具有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。（3） 編程首先編制兩個(gè)函數(shù)文件，分別保存為目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)文件：function f=objfun(x)B=760;T=2.5;P1=7.8e-3;f=P1*2*T*pi*x(1)*sqrt(B2+x(2)2);約束函數(shù)文件：function G,ceq=confun(x)B=760;T=2.5;P=150000;E=2.1e5;S=P*sqrt(B2+x(2)2)/x(2);R=S/(pi*T*x(1);G(1)=R-420;N=0.125*pi2*E*(x(1)2+T2)/(B2+x(2)2);G(2)=R-N;ceq=;在MATLAB命令窗口給出搜索值和線(xiàn)性約束，并調(diào)用優(yōu)化程序：x0=100;700;vlb=0;0;vub=;options=optimset('Algorithm','interior-point','Display','ite