三角形中的角平分線

1、習(xí)題習(xí)題18的第的第1題作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分題作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么線，你發(fā)現(xiàn)了什么? 用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成發(fā)現(xiàn)：三角形的三個(gè)內(nèi)角發(fā)現(xiàn)：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)這一點(diǎn)的角平分線交于一點(diǎn)這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等到三角形三邊的距離相等 剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找出每個(gè)角的剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找出每個(gè)角的角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同角平分線，觀察這三條角平分線，你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論樣的結(jié)論?與同伴交流與同伴交流 DFEMNCBAP用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成DEFMNCBAP證明：三角形三條角平分線相交于一

2、點(diǎn)證明：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn) 已知：如圖，設(shè)已知：如圖，設(shè)ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P，求證：求證：P點(diǎn)在點(diǎn)在BAC的角平分線上的角平分線上證明：過(guò)證明：過(guò)P點(diǎn)作點(diǎn)作PDAB，PFAC，PEBC，其中，其中D、E、F是垂足是垂足BM是是ABC的角平分線的角平分線,點(diǎn)點(diǎn)P在在BM上上PD=PE同理：同理：PE=PFPD=PF點(diǎn)點(diǎn)P在在BAC的平分線上的平分線上ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)的三條角平分線相交于點(diǎn)P 定理：定理：三角形的三條角平分線相交于三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等 三角形角平分線的性

3、質(zhì)定理三角形角平分線的性質(zhì)定理 比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理 三邊垂直平分線三邊垂直平分線三條角平分線三條角平分線三角三角形形銳角三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn)鈍角三角形鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)交于三角形外一點(diǎn)直角三角形直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)交于斜邊的中點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的距離相等到三角形三邊到三角形三邊的距離相等的距離相等 如圖：直線如圖：直線L1、L2、L3表示三條相互交叉的公表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要

4、求它到三條公路的距路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？離相等，則可選擇的地址有幾處？ 滿足條件共滿足條件共4個(gè)個(gè) P1Pl3l21lCBAhttp:/例例1如圖，在如圖，在ABC中中AC=BC，C=90，AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAB，垂足為，垂足為E(1)已知已知CD=4 cm，求，求AC的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)求證：求證：AB=AC+CD 用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成DABEC(1)解：解：AD是是ABC的角平分線，的角平分線，C=90，DEABDE=CD=4cmAC=BC B=BAC(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角)C=90，B= 90

5、=45BDE=9045=45BE=DE(等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊)在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中中 (勾股定理勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+ )cm2 21 1cmcm2 24 42DE2DEBDBD2 22 24 4例例1如圖，在如圖，在ABC中中AC=BC，C=90，AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAB，垂足為，垂足為E(1)已知已知CD=4 cm，求，求AC的長(zhǎng)；的長(zhǎng)；(2)求證：求證：AB=AC+CD 用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成DABEC(2)證明：由證明：由(1)的求解過(guò)程可知，的求解過(guò)程可知， RtACD RtAED(HL)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD課堂小結(jié)課堂小結(jié), 暢談收獲：暢談收獲： 本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形各邊的距離相等并綜合運(yùn)用我們前面學(xué)過(guò)的角形各邊的距離相等并綜合運(yùn)用我們前面學(xué)過(guò)的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計(jì)算和證明問(wèn)題性質(zhì)定理等解決了幾何中的計(jì)算和證明問(wèn)題課內(nèi)拓展延伸課內(nèi)拓展延伸 如圖，如圖，ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)O是是BAC與與ABC的平分線的的平