綜合解一元二次方程—換元法

1、2.2.5解一元二次方程一換元法典例解析與同步訓(xùn)練【知識(shí)要點(diǎn)】1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的.【典例解析】例1.用適當(dāng)方法解下列方程：(1) 2x2-5x-3=0(2

2、) 16(x+5)2-9=0(3) (x2+x)2+(x2+x)=6.例題分析：本題考查了一元二次方程的幾種解法：公式法；直接開(kāi)平方法；換元法(1)用公式法解一元二次方程，先找a,b,c;再求;再代入公式求解即可；(2)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，先將方程化為(x+5)2裳,直接開(kāi)方即可;1G(3)設(shè)t=x2+x,將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求解即可.解：(1)a=2,b=-5,c=-3,=b24ac=(-5)24>2X(3)=25+24=49,"x1=3,x2="(2)整理得，(x+5)2=旦，開(kāi)方得，x+5=量，4即x1=4x2=-57,44(3)設(shè)t=x2+x

3、,將原方程轉(zhuǎn)化為t2+t=6,因式分解得，(t-2)(t+3)=0,解得t1=2,t2=-3.x2+x=2或x2+x=3(<0,無(wú)解),原方程的解為x1=1,x2=-2.例2.解方程：(1)(x+3)(x1)=5J一¥二人例題分析：本題主要考查了解一元二次方程的方法和解分式方程.解一元二次方程時(shí)，要注意選擇合適的解題方法，這樣才會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.還要注意換元思想的應(yīng)用.(1)先去括號(hào)，將方程化為一般式，然后再運(yùn)用二次三項(xiàng)式的因式分解法進(jìn)行求解.(2)先設(shè)x2-x=y,采用換元法，然后解方程即可.解：(1)x2+2x-8=0,(x+4)(x-2)=0,X1=4)x2=2.(2

4、)設(shè)x2-x=y.原方程化為y-=1yy-2=yy-y-2=0二(y+1)(y-2)=0一y1=-1)y2=2x2-x=-1或x2-x=2解x2-x=-1知：此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.解x2-x=2知x1=2,x2=1；，原方程的解為：x1=2,x2=-1.例3.解下列方程：(1) 2x2+5x-3=0(2) (3-x)2+x2=9(3) 2(x-3)2=x(x-3)(4) (xT)2-5(x-1)+6=0例題分析：本題考查了解一元二次方程的方法，當(dāng)把方程通過(guò)移項(xiàng)把等式的右邊化為0后，方程的左邊能因式分解時(shí)，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的式子的特點(diǎn)解出方程的根.因式分解法是解一元二次方

5、程的一種簡(jiǎn)便方法，要會(huì)靈活運(yùn)用.(1)方程左邊可以利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，因此應(yīng)用因式分解法解答.(2)先移項(xiàng)，然后把x2-9因式分解為(x+3)(x-3),然后再提取公因式，因式分解即可.(3)先移項(xiàng)，然后用提取公因式法對(duì)左邊進(jìn)行因式分解即可.(4)把(x-1)看作是一個(gè)整體，然后套用公式a2及ab+b2=(am)2,進(jìn)行進(jìn)一步分解，故用因式分解法解答.解：(1)因式分解，得(2x-1)(x+3)=0,所以2x-1=0或x+3=0,解得，x=J或x=-3;(2)移項(xiàng)得，(3-x)2+x2-9=0,變形得，(x3)2+(x+3)(x-3)=0,因式分解，得(x3)(x3)+(x+3)=0,

6、解得，x=3或x=0;(3)移項(xiàng)得，2(x-3)2x(x-3)=0,因式分解得，(x3)2(x3)x=0,解得x=3或x=6;(4)化簡(jiǎn)得：(x-1-2)(x-1-3)=0即Xx-3）（x-4）=0解得x=3或x=4.例4.閱讀下面材料：解答問(wèn)題為解方程（x2-1）2-5（x2-1）+4=0,我們可以將（x2-1）看作一個(gè)整體，然后設(shè)x2-1=y,那么原方程可化為y25y+4=0,解得yi=1,y2=4.當(dāng)y=1時(shí)，x2-1=1,-x2=2,.x=;當(dāng)y=4時(shí)，x2-1=4,1-x2=5,.x=/5,故原方程的解為xi=/2,x2=-J2,x3=/,x4=上述解題方法叫做換元法；請(qǐng)利用換元法解

7、方程.（x2-x）2-4（x2-x）-12=0.例題分析：此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想.先把x2-x看作一個(gè)整體，設(shè)x2-x=y，代入得到新方程y2-4y-12=0,利用求根公式可以求解.解：設(shè)x2-x=y,那么原方程可化為y2-4y-12=0（2分）解得y1=6,y2=-2（4分）當(dāng)y=6時(shí)，x2x=6即x2-x-6=0-x1=3,x2=-2（6分）當(dāng)y=-2時(shí)，x2-x=-2即x2-x+2=0=（1）2-4X1>2<0.方程無(wú)實(shí)數(shù)解（8分）.原方程的解為：x1=3,x2=-2,（9分）例5.閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：解方程x4-5x2+4=0,這是一個(gè)

8、一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)x2=y,那么x4=y2,于是原方程可變?yōu)閥2-5y+4=0，解得y1=1,y2=4.當(dāng)y=1時(shí)，x2=1,x=土；當(dāng)y=4時(shí)，x2=4,，x=上；原方程有四個(gè)根：x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.（1）在由原方程得到方程的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到降次的目的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.（2）解方程（x2+x）2-4（x2+x）12=0.例題分析：應(yīng)用換元法，把關(guān)于x的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的方程，這樣書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便且形象直觀，并且把方程化繁為簡(jiǎn)化難為易，解起來(lái)更方便.（1）本題主要是利用換元法降次來(lái)達(dá)到把一元四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，來(lái)求解，然后再解

9、這個(gè)一元二次方程.（2）利用題中給出的方法先把x2+x當(dāng)成一個(gè)整體y來(lái)計(jì)算，求出y的值，再解一元二次方程.解：（1）換元，降次（2）設(shè)x2+x=y,原方程可化為y2-4y-12=0,解得y1=6,y2=-2.由x2+x=6,得x1=-3,x2=2.由x2+x=-2,得方程x2+x+2=0,b2-4ac=1-4X2=-7<0,此時(shí)方程無(wú)解.所以原方程的解為x1=-3,x2=2.【同步訓(xùn)練】一.選擇題（共10小題）1,解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0時(shí)，我們可以將x-1看成一個(gè)整體，設(shè)x-1=y,則原方程可化為y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.當(dāng)y=1時(shí)，即x-1=1,解得

10、x=2;當(dāng)y=4時(shí)，即x-1=4,解得x=5,所以原方程的解為：x1=2,x2=5,則利用這種方法求得方程（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解為（）A.x1=1,x2=3B.x1=-2,x2=3C.x1=-3,x2=-12.A.3.A.4.用換元法解方程(x2+x) 2+ (x2+x) =6時(shí)，如果設(shè)y2+y - 6=0 B . y y 6=0 C .y+6=0x2+x=y,那么原方程可變形為（D. y2+y+6=0用換元法解方程(x2+x) 2+2 (x2+x) - 1=0,若設(shè)y=x2+x,y2+2y+1=0B. y2-2y+1=0 C. y2+2y - 1=0 D.已知實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x

11、2+工+工=0,那么x+a的值是() _ 2 yV則原方程可變形為y - 2y - 1=0A.1或2B.1或2C.1D.-25 .方程(x2-3)2-5(3-x2)+2=0,如果設(shè)x2-3=y,那么原方程可變形為(y2+5y+2=0)A.y2-5y+2=0B.y2+5y-2=0C.y2-5y-2=0D.6 .若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x22xy+y2+xy6=0,則xy的值是(A.-2或3B.2或-3C.-1或6D.1或-67 .已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,貝Ux2+y2的值為()A.-5或1B.1C.5D.5或-18 .如果(x+2y)2+3(x+2y)4=0,那么x+2y的值為()

12、A.1B.-4C.1或-4D.-1或39 .正整數(shù)x,y滿(mǎn)足(2x-5)(2y-5)=25,貝Ux+y的值是()A.10B.18C.26D.10或1810 .若（a2+b2）（a2+b2-2）=8,則a2+b2=（）A.-2B.4C.4或2D.4或2二.填空題（共5小題）11 .已知，關(guān)于x的方程x2+2（x+1）=1,那么x+i+1的值為.耳W12 .解方程（x2-5）2-x2+3=0時(shí)，令x2-5=y,則原方程變?yōu)?13 .若a2-2ab+b2+2（ab）+1=0,貝Uab=.14 .用換元法解方程：（x2-x）2-5（x2-x）+6=0,如果設(shè)x2-x=y，那么原方程變?yōu)?5 .在解方程

13、（x2T）2-2x2T=0時(shí)，通過(guò)換元并整理得方程y2-2y-3=0,貝Uy=三.解答題（共4小題）16 .解方程：（x2-2x）2+（x2-2x）-2=017 .如果a為不等于受的整數(shù)，證明方程x4+ax+1=0沒(méi)有有理根.18 .對(duì)于有理數(shù)x,用岡表示不大于x的最大整數(shù)，請(qǐng)解方程20+匆-1。產(chǎn);；上0.19 .用適當(dāng)方法解下列方程(1) -(2y-1)2=-25(2) x-/2=5x(近-x)(3) (x-3)2+(x+4)2-(x-5)2=17x+24(4) (2x+1)2+3(2x+1)-4=0參考答案一.選擇題(共10小題)1 .解：(2x+5)2-4(2x+5)+3=0,設(shè)y=2

14、x+5,方程可以變?yōu)閥2-4y+3=0,y1=1,y2=3,當(dāng)y=1時(shí)，即2x+5=1,解得x=-2;當(dāng)y=3時(shí)，即2x+5=3,解得x=-1,所以原方程的解為：xi=-2,x2=-1.故選D.22.解：把x+x整體代換為y,2 八v+y=6,即+y-6=0.故選A.3 .解：設(shè)y=x+x,得v+2y-1=0.故選C.- 2十，十二Q1 1(x+乂)+2 (x/W)1=0lix+外 1 或 2 .1x+ x=1 無(wú)解，x+-i= - 2.故選D.5.解：: x - 3=y - 3 X2= - y所以 y2+5y+2=0 .故選D.6 .解：設(shè)x - y=m,則原方程可化為：2m +m - 6=

15、0,解得 xi=2, x2= - 3;故選B999o o7 .解：原方程變形得，(x +y ) +4 (x +y ) - 5=0, o 999(x2+y+5) (x +y - 1) =0,又丁 W+y2的值是非負(fù)數(shù)，.x2+y2的值為只能是1.故選B.8.解：,x、y為正整數(shù)，2x 5=52y- 5=5或'2* - 5二- 52y 一 5二一 52k - &=12y - 5=25解得，x=5,y=5,或x=3,y=15,x+y=10或18.故選D.2210.解：設(shè)a+b=x,則有：x(x-2)=8即x2-2x-8=0,解得xi=-2,x2=4;a2+b2),故a2+b2=x2=

16、4;故選B二.填空題(共5小題)11 .解：原方程可化為x2+()2+2x?=+2(+)+1=2+2x?|x|IX工(x+1)2=4zx+1=i2.12 .解：x25=y,x2=5+y,'(x2-5)2x2+3=y2-y-5+3=y2y2=0,故本題的答案是y2-y-2=0.13 .解：設(shè)t=a-b,則原方程可化為：t2+2t+1=0,整理得：(t+1)2=0,解得：t=-1.ab=-1.14 .解：根據(jù)題意x2-x=y,把原方程中的x2-x換成y,所以原方程變化為：y2-5y+6=015 .解：方程整理，得(x2T)2-2(x21)3=0故y=x2-1三.解答題(共4小題)16 .解

17、：設(shè)y=x22x原方程可變?yōu)椋簓2+y-2=0解方程得y=-2或1所以x2-2x=-2或1.當(dāng)x2-2x=-2時(shí)，<0,沒(méi)實(shí)數(shù)根，當(dāng)x2-2x=1時(shí)，解得x=1i/2.原方程的根是x1=1+-J-2,x2=1V2.17 .證明：若a=2或者-2,方程有有理根，當(dāng)=2時(shí)，有理根x=-1;等于-2時(shí)，有理根x=1.這個(gè)根據(jù)配方法得來(lái).x4及x+1=0,即x4x2+x2i2x+1=x2(x+1)(x1)+(x±)2=0,此等式有公因式，可得x=±1.而由題意知：aw2z,即xw1；貝U有a=-，+1=-x3-工其中xw±.IIa為整數(shù)，而a=-x3-1，若x為整數(shù)

18、且xw上,那么x3為整數(shù)，1為小數(shù)，整數(shù)與小數(shù)之和或者差,工x皆為小數(shù)，故x不能是整數(shù).若x為分?jǐn)?shù)，那么設(shè)x=土，其中c、b互質(zhì)且為整數(shù)，b0.由此代數(shù)式知:c、b互質(zhì)，故此代數(shù)式的值不T3V4,14那么-x31cbc+b=_T=工b31eb4為整數(shù).故當(dāng)x為整數(shù)或者分?jǐn)?shù)時(shí)，a為整數(shù)均不能成立.故當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，方程沒(méi)有有理根.18.解：因?yàn)榉匠套筮叺牡?、3項(xiàng)都是整數(shù)，所以3y是整數(shù).注意到代入方程，得到2廿0所以包是整數(shù)，3y是10的倍數(shù).10令3y=10k,k是整數(shù)，代入得月+L-E-=l+k-彎2T若其中，對(duì)于有理數(shù)x,x=xx.所以有4k2V察。當(dāng)k取不同整數(shù)時(shí),9的情況如下表:W2=1=0=1=2=3>3v11k-41?94=11411=0<