2協(xié)整的JJ檢驗(yàn)

1、JJ協(xié)整檢驗(yàn)在本書§2.5中，已經(jīng)介紹了協(xié)整理論。協(xié)整理論是動態(tài)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的理論基礎(chǔ)，正是由于變量之間可能存在的協(xié)整關(guān)系，才可能將自回歸分布滯后模型變換為具有誤差修正機(jī)制的誤差修正模型。在§2.5中已經(jīng)介紹了單整的DF檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)，以及檢驗(yàn)兩個同階單整變量之間是否存在協(xié)整的EG檢驗(yàn)(Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗(yàn)法)。這里著重介紹多重協(xié)整檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)多個具有同階單整變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系。也可以用EG檢驗(yàn)法檢驗(yàn)多個具有同階單整變量之間是否存在協(xié)整關(guān)系。在其第一階段，需要設(shè)計(jì)許多線性模型進(jìn)行OLS估計(jì)，應(yīng)用很不方便。Johansen于1988年，

2、以及與JuseliusJohansen檢驗(yàn)，或一起于1990年提出了一種用向量自回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)的方法，通常稱為JJ檢驗(yàn)，是一種進(jìn)行多重協(xié)整檢驗(yàn)的較好方法。1. JJ檢驗(yàn)的原理§ 1.5 (6.2.27)所示的沒有移動平均項(xiàng)的向量自回歸模型表示為：yt其中=：'-1yt,7.pyt.(6.4.7)Y1ty1t_1y1t3y2tytAy2tay2t_pyMt_p:,二111-,.；t112：11Mp11p12p1M：二121:二122：二12Mp21p22二工p2M,：1M1.、1M2-pM1>2t1t2tSt(6.4.8)(6.4.8)進(jìn)行差分變換可以得到下式表示的模(

3、6.4.9),產(chǎn)M士為了簡便，改寫為：pyt-'j£如果yt表示M個I(1)過程構(gòu)成的向量，對型：pyt二工Jj卜ny一；tj壬由于I(1)過程經(jīng)過差分變換將變成I(0)過程，即(6.4.9)中的Ayt、的11(j=1,2,，p)都是I(0)變量構(gòu)成的向量，那么只有nyj是i(o)變量構(gòu)成的向量，即y1t4,y2，yMt之間具有協(xié)整關(guān)系，才能保證新生誤差是平穩(wěn)過程。如果R(n)=M,顯然只有y”，y2tH，yM1都是I(0)變量，才能保證新生誤差是平穩(wěn)過程。而這與已知的yt為I(1)過程相矛盾。所以必然存在r(H)cm。如果R(n)=0，意味著n=0,因此(6.4.9)僅僅是

4、個差分方程，各項(xiàng)都是(0)變量，不需要討論yit,，y2t山，yMt,之間是否具有協(xié)整關(guān)系。如果R(n)=r(0<r<M),表示存在r個協(xié)整組合，其余Mr個關(guān)系仍為I(1)關(guān)系。在這種情況下，口可以分解成兩個(MMr)階矩陣a和P的乘積：二二:(6.4.10)其中R(C(,)=r,R(P)=r。將(6.4.10)代入(6.4.9),得至U:p:yt="：j.：yt一：三，yj-,t(6.4.11)j±該式要求y、t,為一個(0)向量，其每一行都是一個(0)組合變量，即每一行所表示的yu，y2tL，yMt,的線性組合都是一種協(xié)整形式。所以矩陣P'決定了y1

5、u,y2tL，yMj之間協(xié)整向量的個數(shù)與形式。所以B,稱為協(xié)整向量矩陣，r為系統(tǒng)中協(xié)整向量的個數(shù)。矩陣a的每一行0是出現(xiàn)在第j個方程中的r個協(xié)整組合的一組權(quán)重,故稱為調(diào)整參數(shù)矩陣。當(dāng)然容易發(fā)現(xiàn)，口和P并不是唯一的。于是，將yt中的協(xié)整檢驗(yàn)變成對矩陣n的分析問題。這就是JJ檢驗(yàn)的基本原理。2. JJ檢驗(yàn)的預(yù)備工作Johansen于1988年提出的檢驗(yàn)方法必須進(jìn)行如下步驟的預(yù)備工作:第一步：用OLS分別估計(jì)(6.4.12)pyt=''jyt-1j土中的每一個方程，計(jì)算殘差，得到殘差矩陣第二步：用OLS分別估計(jì)pyy='-jyt_j'j土中的每一個方程，計(jì)算殘差，得到

6、殘差矩陣第三步：構(gòu)造上述殘差矩陣的積矩陣：S0,為一個(MXT)階矩陣。(6.4.13)S1,也為一個(MXT)階矩陣。R00R10第四步:-1二TS0S=T飛1sR01R11-1=TS0S11=TS1S1(6.4.14)計(jì)算R10R00-R01關(guān)于R11的有序特征值和特征向量。特征值即為特征方程(6.4.15).1R11-R10R00R01的解，12九1A主Lr主之九M之0，構(gòu)成對角矩陣A;對應(yīng)的特征向量卞成的矩陣為B,則有(6.4.16)1R11B=R10R00R01B其中B由下式正規(guī)化：BR11B=I第五步：設(shè)定似然函數(shù)。當(dāng)口無約束時(shí)，(6.4.15)的M個特征值都保留，其對數(shù)似然函數(shù)依

7、賴于：1 二、-T'ln1i)(6.4.17)2 i±但當(dāng)R(II)=r(0<r<M)時(shí)，對數(shù)似然函數(shù)是r個最大的特征值的函數(shù)：1一T-ln1-i）（6.4.18）3 iN3. JJ檢驗(yàn)之一一特征值軌跡檢驗(yàn)如果r個最大的特征值給出了協(xié)整向量，對其余M_r個非協(xié)整組合來說，,上兒.r-1,，M應(yīng)該為0。于是設(shè)零假設(shè)為：Hr:有M_r個單位根，即有r個協(xié)整關(guān)系。備擇假設(shè)為無約束。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：M"（Mr）=T£ln（九Jr=0,1,2，M1（6.4.19）i=1服從Johansen分布。當(dāng)r=0,1,2，M-1時(shí)可以得到一系列統(tǒng)計(jì)量值：n（M）,n

8、（M_i），j（i）。依次檢驗(yàn)這一系列統(tǒng)計(jì)量的顯著性。當(dāng)“（M）不顯著時(shí)（即n（M）值小于某顯著T水平下的Johansen分布臨界值），不拒絕H0（即不拒絕r=0）,說明有0個協(xié)整向量（即不存在協(xié)整關(guān)系）；當(dāng)n（M）顯著時(shí)（n（M）值大于某顯著T水平下的Johansen分布臨界值），拒絕H0而接受H1,此時(shí)至少有1個協(xié)整向量，必須接著檢驗(yàn)n（M1）的顯著性。當(dāng)“（M-1）不顯著時(shí)（即H（M-1）值小于某顯著TfcK平下的Johansen分布臨界值），不拒絕H1（即不拒絕r=1）,說明有1個協(xié)整向量（即存在1種協(xié)整關(guān)系）；當(dāng)“（M-1）顯著時(shí)（n（M1）值大于某顯著TfcK平下的Johansen

9、分布臨界值），拒絕H1而接受H2,此時(shí)至少有2個協(xié)整向量，必須接著檢驗(yàn)力（M2）的顯著性。，一直檢驗(yàn)下去，直到出現(xiàn)第一個不顯著的n（Mr）為止，說明存在r個協(xié)整向量。這r個協(xié)整向量就是對應(yīng)于最大的r個特征值的經(jīng)過正規(guī)化的特征向量。（6.4.（19） 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量被稱為特征值軌跡統(tǒng)計(jì)量，于是上述檢驗(yàn)被稱為特征值軌跡檢驗(yàn)。特征值軌跡檢驗(yàn)臨界值見表6.4.1。4. JJ檢驗(yàn)之一'最大特征值檢驗(yàn)另外一個類似的檢驗(yàn)的零假設(shè)為：Hr:有M-r個單位根，即有r個協(xié)整關(guān)系。備擇假設(shè)為有M-r-1個單位根。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為基于最大的特征值九r的：（r-1）=-TlnQ-r）（6.4.20）該統(tǒng)計(jì)量被稱為最大特征

10、值統(tǒng)計(jì)量。于是該檢驗(yàn)被稱為最大特征值檢驗(yàn)。檢驗(yàn)從下往上進(jìn)行，即首先檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量二（0）。如果統(tǒng)計(jì)量二（0）不顯著，即二（0）值小于某顯著性水平下的Johansen分布臨界值，則不拒絕H0（即不拒絕r=0）,說明有0個協(xié)整向量（即不存在協(xié)整關(guān)系）；如果統(tǒng)計(jì)量U（0）顯著，即U（0）值大于某顯著性水平下的Johansen分布臨界值，則拒絕有0個協(xié)整向量的H0，接受至少有1個協(xié)整向量的備擇假設(shè)，必須接著檢驗(yàn)（1）的顯著性。如果統(tǒng)計(jì)量二（1）不顯著，即二（1）值小于某顯著TfcK平下的Johansen分布臨界值，則不拒絕H0（即不拒絕r=1）,說明有1個協(xié)整向量；如果統(tǒng)計(jì)量。顯著，即七（1）值大于某顯著

11、性水平下的Johansen分布臨界值，則拒絕有1個協(xié)整向量的H0,接受至少有2個協(xié)整向量的備擇假設(shè)，必須接著檢驗(yàn)二（2）的顯著性。，一直檢驗(yàn)下去，直到出現(xiàn)第一個不顯著的，r-1）為止，說明存在（r1）個協(xié)整向量，拒絕至少有r個協(xié)整向量的備擇假設(shè)。這（r1）個協(xié)整向量就是對應(yīng)于最大的（r-1）個特征值的經(jīng)過正規(guī)化的特征向量。最大特征值檢驗(yàn)臨界值見表6.4.1。注意臨界值的選取與M、r有關(guān)。例如，如果M=2,即變量數(shù)為2;T=40。求得到的兩個特征值（按照從大到小的順序排列）為：兒0=0.50，九1=0.10。由（6.4.20）求出的最大統(tǒng)計(jì)量為：（0）-40ln（1-0.50）=27.73（1）

12、=-40ln（1-0.10）=4.21首先檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。（0）,此時(shí)應(yīng)該選擇對應(yīng)于M0=2的臨界值14.595（給定顯著性水平為95%）。因?yàn)?7.73>14.595,所以統(tǒng)計(jì)量。（0）顯著，則拒絕有0個協(xié)整向量的H0,接受至少有1個協(xié)整向量的備擇假設(shè)，必須接著檢驗(yàn)匚（1）的顯著性。選擇對應(yīng)于M1=1的臨界值8.083（給定顯著性水平為95%）,因?yàn)?.21<8.083,表示統(tǒng)計(jì)量匚（1）不顯著，則不拒絕H0（即不拒絕r=1）,說明有1個協(xié)整向量。如果M=3,即變量數(shù)為3,則在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)量。（0）顯著性檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)該選擇對應(yīng)于M0=3的臨界值21.279（給定顯著性水平為95%）。表6.

13、4.1由Johansen和Juselius于1990年計(jì)算得到。表6.4.1Johansen分布臨界值表統(tǒng)計(jì)量50%80%90%95%97.5%99%均值方差最12.4154.9056.6918.0839.65811.5763.0307.024大27.47410.66612.78314.59516.40318.7828.03012.568特312.70716.52118.95921.27923.36226.15413.27818.518征417.87522.34124.91727.34129.59932.61618.45124.163值523.13227.95330.81833.26235.70038.85823.68029.000特2.4154.0956.6918.0839.65811.5763.0307.0