弧度、向量、三角函數(shù)

1、LTMI專用理科學(xué)案【數(shù)學(xué)】_弧度、三角函數(shù)、平面向量_學(xué)案 【概念】1、 弧度：表示角的大小。定義為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值。2、 三角函數(shù)：?jiǎn)挝粓A上圓心角所對(duì)的點(diǎn)的坐標(biāo)。3、 向量：包含大小和方向的量。【應(yīng)用】1、 以后除特別指明，所有角都用弧度表示。2、 以后除平面幾何證明（選修4-2），否則解題基本不用相似，全用三角函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)及習(xí)題剖析】弧度1、 角的概念的推廣。由射線OA繞O旋轉(zhuǎn)構(gòu)成的角稱為旋轉(zhuǎn)角（或轉(zhuǎn)角）。其中OA稱為角的始邊，OB稱為角的終邊。 我們規(guī)定，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角。旋轉(zhuǎn)角的大小可以超過(guò)一周角（360°）特殊地，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為零時(shí)（OA與O

2、B重合），我們稱該角為零角。 由此可以把角的大小推廣到實(shí)數(shù)域R內(nèi)任意的值。 坐標(biāo)系中，將x軸正方向作為始邊，某一射線OB作為終邊，則我們稱終邊OB所在的象限為這個(gè)角所在象限，或這個(gè)角是第幾象限的角。2、 旋轉(zhuǎn)角的性質(zhì)。 設(shè)、為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)角（可以為負(fù)角），則有： 先旋轉(zhuǎn)，再旋轉(zhuǎn)，則總旋轉(zhuǎn)角=+。即各角和的旋轉(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和。 所有終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合 （即某角旋轉(zhuǎn)k周角的終邊與該角終邊相同）例：在0360°范圍內(nèi)，找出與-950°15終邊相同的角，并判定該角的象限。解：因?yàn)椋栽摻菫?29°15，在第二象限。3、 弧度制。 把圓周360等分，1份對(duì)應(yīng)1&#

3、176;的制度稱為角度制。 在某一圓內(nèi)，某一圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L和半徑R的比值是一定的，我們定義的值為的弧度，記作 rad。 以弧度表示角的制度稱為弧度制。 弧度制中， rad的“rad”習(xí)慣上可省略不寫(xiě)。例如我們可記= (rad)4、 角度、弧度的換算。 設(shè) rad=n°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式有： 可得 下面列出一下常用角的角度和弧度：度(°)030456090120135150180270360弧度(rad)0/6/4/3/22/33/45/63/22例：把112°30化成弧度。把化成角度。解：112°30=112.5°=1.96875解析：角度不要

4、忘記加單位(°)，否則一概認(rèn)為是弧度。 公式右算左是角度轉(zhuǎn)弧度，左算右是弧度轉(zhuǎn)角度，不要混淆。5、 弧度制中的圓計(jì)算公式。 弧長(zhǎng)公式，面積公式三角函數(shù)1、 三角函數(shù)概念的推廣。我們稱半徑為1，圓心在原點(diǎn)的圓為單位圓。 對(duì)于實(shí)數(shù)域內(nèi)的任一旋轉(zhuǎn)角，其終邊與單位圓上唯一交于點(diǎn)P(x,y)。我們定義： 以上六個(gè)函數(shù)稱為任意角的三角函數(shù)。由定義可知，sin ,cos 的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1,1 tan 的定義域?yàn)?，值域?yàn)镽。練習(xí)：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義推導(dǎo)sec ，csc ，cot 的定義域和值域。三角函數(shù)在各象限的符號(hào)現(xiàn)列如下：例1：已知角的終邊經(jīng)過(guò)P(2,-3)，求的六個(gè)三角函數(shù)值。解

5、： 解析：當(dāng)圓半徑不為1的時(shí)候，將1改為r即可。例2：求tan -672°20的符號(hào)。解：tan -672°20=tan（-2×360°+47°40），而47°40在第一象限，解析：找出角所在象限即得三角函數(shù)的符號(hào)。2、 三角函數(shù)線 如圖，在單位圓中，的終邊為OP，易知PM=，OM=， AT=我們稱向量ON為正弦線，向量OM為余弦線，向量AT為正切線。點(diǎn)M、N分別稱為點(diǎn)P在x軸、y軸上的正射影（或射影）。OM、ON分別為OP為在x軸、y軸上的正射影。練習(xí)：在草稿紙上作出角的三角函數(shù)線。3、 正弦函數(shù)。 如圖，在y軸左側(cè)作單位圓，將其1

6、2等分，作出每個(gè)角的正弦線。再將x軸在0,2內(nèi)12等分，即得12等分圓周的角的弧度。將圓內(nèi)每個(gè)角的正弦線投射到對(duì)應(yīng)弧度上，用光滑曲線連接起來(lái)，即得正弦曲線（或正弦波）y=sin x由于某角轉(zhuǎn)過(guò)若干周角后終邊與該角相同，我們得到，sin(x+k×2）=sin x，kZ ，即正弦函數(shù)中x與x+k×2，kZ的y值相同，如下圖：由圖，可得正弦函數(shù)的性質(zhì)：定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1,1周期性：sin(x+k×2）=sin x，kZ 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在非零常數(shù)T，對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x都滿足 我們稱該函數(shù)為周期函數(shù)，T稱為該函數(shù)的一個(gè)周期。 對(duì)于周期函數(shù)f(x)，其

7、所有周期中最小的一個(gè)正數(shù)稱為它的最小正周期。我們一般講到周期，都指最小正周期。 正弦函數(shù)y=sin x的最小正周期為2。奇偶性：易知-sin x=sin(-x)（為什么？），可知正弦函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。單調(diào)性：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間上單調(diào)遞增。 在每一個(gè)閉區(qū)間上單調(diào)遞減，其中kZ。例：求函數(shù)的周期。解：將2x看作自變量，則其有最小正周期2，即sin 2x=sin(2x+2)=sin 2(x+） 因此函數(shù)y=sin 2x的周期為。 將看作自變量，則其有周期2，即sin=sin又sin=sin，因此原函數(shù)周期為4。解析：周期是定義在自變量上的。想辦法將已知函數(shù)的周期轉(zhuǎn)化成未知周期函數(shù)自變量

8、上的 變化，這個(gè)變化即為新函數(shù)的周期。練習(xí)：證明正弦型函數(shù)的周期為。在正弦波中，稱為振幅，T稱為周期，T-1稱為頻率，稱為初相。振幅反映正弦波的峰谷值（最大值和最小值），頻率反映其密集程度，初相反映其初始狀態(tài)。正弦型函數(shù)在物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例（應(yīng)用）：如圖是某按照正弦規(guī)律變化的交流電（AC）的圖象，求出它的周期、頻率、峰值、解析式。解：由圖得周期T=0.02s，因此頻率f=50Hz，電流最大值為5A。因此易知解析式為解析：從圖象推解析式，先看周期和峰值，再看與y軸交點(diǎn)，由此推出解析式。4、 余弦函數(shù)和正切函數(shù)。與正弦函數(shù)類似，我們可以作出余弦函數(shù)y=cos x 和正切函數(shù) y=ta

9、n x的曲線。（y=cos x)（y=tan x)余弦函數(shù)是偶函數(shù)，周期2；正切函數(shù)是奇函數(shù)，周期。5、 反三角函數(shù)。 定義（其中負(fù)一次方為逆函數(shù)）例：求方程的解，其中x-，解：解析：三個(gè)反三角函數(shù)現(xiàn)階段只要學(xué)會(huì)用它們來(lái)表示角，其它知識(shí)不作探討。平面向量1、 向量的定義： 我們把同時(shí)具有大小和方向的量稱為向量。 B 沒(méi)有作用點(diǎn)的向量稱為自由向量。數(shù)學(xué)中我們主要研究自由向量。 向量的起點(diǎn)稱為始點(diǎn)，終點(diǎn)稱為終點(diǎn)。向量可以用有向線段表示。 A 如圖向量記作。一般一個(gè)向量可記作粗體n或。 長(zhǎng)度為0的向量，稱為零向量。通過(guò)向量的直線，稱為向量的基線。 我們定義向量平行為其基線相互平行。如果基線重合，則稱

10、兩個(gè)向量共線。 平行或共線的向量同向。同向且等長(zhǎng)的向量相等。 向量a的大小記作|a| 如果向量始點(diǎn)A給定，我們稱為B關(guān)于A的位置向量。2、 向量的運(yùn)算法則。 向量的加法。 a+b a b如圖稱為向量求和的三角形法則。（即先位移a，再位移b和直接位移a+b的效果是一樣的）對(duì)于向量加法，我們有a+b=b+a及(a+b)+c=a+(b+c)當(dāng)有多個(gè)向量相加時(shí)，我們將其首尾相接，第一個(gè)向量的始點(diǎn)和最后一個(gè)向量的終點(diǎn)構(gòu)成的向量即為這若干個(gè)向量的和。這個(gè)法則為向量求和的多邊形法則。向量的減法。 我們定義a-b=a+(-b)，其中-b是與b方向相反、大小相等的向量。數(shù)乘向量 我們定義a為與a方向相同（+）或

11、相反（-），大小為a的|倍的向量。 關(guān)于數(shù)乘向量，我們有|a|=|a| 且有(+u)a=a+ua (ua)=(u)a (a+b)=a+b（分配率）例：證明數(shù)乘向量的分配率成立，其中Q解：易證當(dāng)Z時(shí)，分配率成立。當(dāng)Z時(shí)，設(shè)=（m,nZ）則(a+b)=(a+b)=a+b解析：第四步中是根據(jù)已知的整數(shù)的數(shù)乘向量分配率將n提出來(lái)并與前面的n約掉的。 把未知問(wèn)題劃歸到已知問(wèn)題，是常用的證明方法之一。思考：當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，該如何證明分配率？3、 平面向量的坐標(biāo)分解。平行向量基本定理：如果ab，則存在唯一實(shí)數(shù)，使a=b；如果a=b，則必有ab。平面向量基本定理：選定平面上兩個(gè)不平行的向量e1和e2，對(duì)于平面上

12、任一向量a，存在唯 一實(shí)數(shù)對(duì)(a1,a2),使a=a1e1+a2e2(上述兩定理證明略）由此，我們便可以利用一對(duì)實(shí)數(shù)對(duì)(a1,a2)來(lái)表示平面上的向量。e1 和e2稱為分解基底。 我們?nèi)《ㄆ矫嫔舷嗷ゴ怪鼻议L(zhǎng)度為1的向量e1 、e2為正交基底。在正交基底下向量的分解，稱為向量的正交分解。 實(shí)數(shù)對(duì)(a1,a2)就是向量a在正交基底下的坐標(biāo)，即a=a1,a2 /注意是大括號(hào)例：求向量a=x1,y1，b=x2,y2的和的坐標(biāo)。解：a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2 因此a+b=x1+x2，y1+y2解析：運(yùn)用向量的坐標(biāo)分解式和運(yùn)算法則推導(dǎo)。練習(xí)：已知

13、向量a=x1,y1，b=x2,y2，推導(dǎo)以下公式。a-b=x1-x2,y1-y2 a=x1,y1練習(xí)2：已知A(x1,y1) B(x2,y2)，推導(dǎo)以下公式。=x2-x1,y2-y1（提示：使用向量減法）AB中點(diǎn)4、 向量平行的條件 已知向量a=x1,y1，b=x2,y2，且ab 則有a=b，即x1,y1=x2,y2=x1,y1，即x1=x2 , y1=y2 。 式×y2，式×x2得x1y2=x2y2，x2y1=x2y2 兩式相減得x1y2-x2y1=0，或 平面兩向量平行的必要條件是相應(yīng)坐標(biāo)成比例。 思考：考慮P=x1y2-x2y1，我們知道P=0表示向量平行。那么P&g

14、t;0和P<0分別表示什么？ 例：已知a=1,2，b=2,3，實(shí)數(shù)x,y滿足xa+yb=3,4，求x,y解：列出方程組解析：合理利用向量的坐標(biāo)表示，是解決向量問(wèn)題的利器。5、 向量的點(diǎn)積。 我們定義<a,b>為向量a、b的夾角。 設(shè)=<a,b>，定義a·b=|a|b|cos，稱為向量a、b的點(diǎn)積（或內(nèi)積、數(shù)量積） 特殊地，當(dāng)b為單位向量（長(zhǎng)為1的向量）的時(shí)候，向量a、b的點(diǎn)積等于a在b的基線上正射影（投影）的大小。 請(qǐng)大家自行導(dǎo)出下列點(diǎn)積的性質(zhì)。 aba·b=0 a·a=|a|2 cos<a,b>= |a·b|a

15、|b| a·b=b·a（交換律） （a·b）=（a）·b=a·（b） （a+b）·c=a·c+b·c（分配率）（提示：畫(huà)圖證明）坐標(biāo)點(diǎn)積：設(shè)a=x1,y1，b=x2,y2則a·b=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)=x1x2(e1)2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y1(e2)2注意到(e1)2=(e2)2=1，e1·e2=0（因?yàn)閑1e2）*所以a·b=x1x2+y1y2下面的高興推就推一遍，不高興就不用了（較簡(jiǎn)單）設(shè)a=x1,y1，b=x

16、2,y2向量長(zhǎng)度的計(jì)算公式：|a|=兩向量夾角余弦的計(jì)算公式：【習(xí)題】一、選擇題1.下列說(shuō)法正確的是 ()A.第二象限的角比第一象限的角大B.若sin，則C.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角D.不論用角度制還是弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所對(duì)應(yīng)的半徑的大小無(wú)關(guān)2.已知角、的終邊相同，那么的終邊在 ()A. x軸的非負(fù)半軸上 B.y軸的非負(fù)半軸上C.x軸的非正半軸上 D.y軸的非正半軸上3.已知扇形的面積為2 cm2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長(zhǎng)為 ()A.2 B.4 C.6 D.84.如圖，設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)在圓上按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)一周，點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過(guò)的弧的長(zhǎng)為l，

17、弦AP的長(zhǎng)為d，則函數(shù)df(l)的圖像大致為 ()5在點(diǎn) 等于（    ）A1B0C1D2  6、已知A、B是不同的兩點(diǎn)，若 ，則 取值范圍是（   ）A   B   C   D 7、已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（ ）AA，B，C三點(diǎn)共線 BA，B，D三點(diǎn)共線CC，A，D三點(diǎn)共線 DB，C，D三點(diǎn)共線8、如圖，在中，、分別是、上的中線，它們交于點(diǎn)，則下列各等式中不正確的是（ ）A B C D2、 填空題1已知三點(diǎn) ，則 與 的夾角為_(kāi).2已知點(diǎn)O在ABC內(nèi)部，且有，則OAB與OBC的面積之比為 3. 在ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)（D與B、C不重合），且，則等于 4 設(shè)集合，則滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)是_個(gè)5 在單位圓中，一條弦AB的長(zhǎng)度為，則該弦AB所對(duì)的圓心角是_rad6. 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1且互相垂直的平面向量和，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是_.7、A第7題CDBCABMNP（第8題）如圖,在平面四邊形中，若,則 .8、如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB