極坐標和參數(shù)方程知識點總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 第一部分：坐標系與參數(shù)方程第一部分：坐標系與參數(shù)方程 【考綱知識梳理】 1平面直角坐標系中的坐標伸縮變換 設(shè)點 P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換0,0,:yyxx的作用下,點yxP,對應(yīng)到點yxP,稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換. 2.極坐標系的概念 (1)極坐標系 如圖(1)所示,在平面內(nèi)取一個定點O,叫做極點,自極點O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系. 注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂

2、直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系. (2)極坐標 設(shè)M是平面內(nèi)一點,極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點 M 的極角,記為.有序數(shù)對,叫做點 M 的極坐標,記作 M,.一般地,不作特殊說明時,我們認為, 0可取任意實數(shù).特別地,當(dāng)點 M 在極點時,它的極坐標為R, 0。和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定20 , 0,那么除極點外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標,表示;同時,極坐標,表示的點也是唯一確定的. 3.極坐標和

3、直角坐標的互化 (1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x 軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖(2)所示: (2)互化公式:設(shè) M 是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是yx,極坐標是0,于是極坐標與直角坐標的互化公式如表: 點 M 直角坐標yx, 極坐標, 互化公式 sincosyx 0tan222xxyyx 在一般情況下,由tan確定角時,可根據(jù)點 M 所在的象限最小正角. 4.常見曲線的極坐標方程 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點,半徑為r的圓 20 r 圓心為0 , r,半徑為r的圓 222r 圓心為2,r,半徑

4、為r的圓 0sin2r 過極點,傾斜角為的直線 (1)RR或 (2) 00或 過點0 , a,與極軸垂直的直線 22cosa 過點2,a,與極軸平行的直線 0sina 注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即 ,2 ,都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少 有 一 個 能 滿 足 極 坐 標 方 程 即 可 . 例 如 對 于 極 坐 標 方 程點4,4M可 以 表 示 為45,424,424,4MMM或或等多種形式,其中,只有4,4M的極坐標滿足方程. 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 二、參數(shù)方程 1.參數(shù)

5、方程的概念 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標yx,都是某個變數(shù)t的函數(shù) tgytfx,并且對于t的每一個允許值,由方程組所確定的點yxM,都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)yx,的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程. 2.參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程. (2)如果知道變數(shù)yx,中的一個與參數(shù)t的關(guān)系,例如 tfx ,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 tgy ,那么 tgytfx就是曲線的參數(shù)

6、方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使yx,的取值范圍保持一致. 注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。 3圓的參數(shù) 如圖所示，設(shè)圓O的半徑為r，點 M 從初始位置0M出發(fā)，按逆時針方向在圓O上作勻速圓周運動，設(shè)Myx,，則為參數(shù)sincosryrx。這就是圓心在原點O，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是0OM轉(zhuǎn)過的角度。圓心為ba,，半徑為r的圓的普通方程是222rbyax， 它的參數(shù)方程為：為參數(shù)sincosrbyrax。 4橢圓的參數(shù)方程 以坐標原點O為中心，

7、焦點在x軸上的橢圓的標準方程為012222babyax其參數(shù)方程為為參數(shù)sincosbyax， 其 中 參 數(shù)稱 為 離 心 角 ； 焦 點 在y軸 上 的 橢 圓 的 標 準 方 程 是012222babxay其參數(shù)方程為為參數(shù)sincosaybx其中參數(shù)仍為離心角， 通常規(guī)定參數(shù)的范圍為2 , 0。 注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在 0 到2的范圍內(nèi)） ，在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)20時，相應(yīng)地也有20，在其他象限內(nèi)類似

8、。 5雙曲線的參數(shù)方程 以坐標原點O為中心，焦點在x軸上的雙曲線的標準議程為0, 012222babyax其參數(shù)方程為為參數(shù)tansecbyax，其中23,22 , 0且。 焦點在y軸上的雙曲線的標準方程是0, 012222babxay其參數(shù)方程為為參數(shù)csccotaybx， 其中且2 . 0 以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的離心角。 6拋物線的參數(shù)方程 以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線022ppxy的參數(shù)方程為為參數(shù)tptyptx222 7直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點000, yxM， 傾斜角為2的直線l的普通方程是00tanxxyy而過000, yxM，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)ttyy

9、txxsincos00。 注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點000, yxM，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)ttyytxxsincos00，其中t表示直線l上以定點0M為起點，任一點yxM,為終點的有向線段MM0的數(shù)量，當(dāng)點M在0M上方時，t0；當(dāng)點M在0M下方時，t0；當(dāng)點M與0M重合時，t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以0M為原點，直線l向上的方向為正方向的數(shù)軸上的點M的坐標，其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同。 【要點名師透析】 一、坐標系 （一）平面直角坐標系中的伸縮變換 例在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換yyxx/23: （1）求點2,31A經(jīng)過變換所得的點A的坐

10、標； 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （2）點 B 經(jīng)過變換得到點1( 3, )2B ，求點B的坐標； （3）求直線:6l yx經(jīng)過變換后所得到直線的l方程； （4）求雙曲線22:164yC x 經(jīng)過變換后所得到曲線C的焦點坐標。 （二）極坐標與直角坐標的互化 例 2在極坐標系中，如果5(2,), (2,)44AB為等邊三角形 ABC 的兩個頂點，求頂點 C 的極坐標(0,02 )。 （三）求曲線的極坐標方程 例已知 P，Q 分別在AOB 的兩邊 OA，OB 上，AOB=3，POQ 的面積為 8，求 PQ 中點 M 的極坐標方程。 （四）極坐標的應(yīng)用 例如圖，點 A 在直線 x=

11、4 上移動，OPA 為等腰直角三角形，OPA 的頂角為OPA（O，P，A 依次按順時針方向排列） ，求點 P 的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。 二、參數(shù)方程 （一）把參數(shù)方程化為普通方程 例已知曲線 C ： （t 為參數(shù)） ， C ：（為參數(shù)） 。 （1）化 C ，C 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； （2）若 C 上的點 P 對應(yīng)的參數(shù)為2t，Q 為 C 上的動點，求中點到直線tytxC223:3 （t 為參數(shù)）距離的最小值。 （二）橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值 解答： （三）直線參數(shù)方程的應(yīng)

12、用 例 過點作傾斜角為的直線與曲線交于點， 求的值及相應(yīng)的的值。 解析： （四）圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 例已知曲線 C 的參數(shù)方程是為參數(shù))，且曲線 C 與直線=0 相交于兩點 A、B （1）求曲線 C 的普通方程； （2）求弦 AB 的垂直平分線的方程（3）求弦 AB 的長 【感悟高考真題】 1在極坐標系中，點（2，3）到圓2cos 的圓心的距離為( ) （A）2 (B) 249 (C) 219 （D) 3 2在極坐標系中，圓2sin 的圓心的極坐標是（ ） （A）(1,)2 （B）(1,)2 （C）(1,0) （D）(1, ) 3在直角坐標系 xOy 中，曲線1C的參數(shù)方程為sin1cosyx

13、,).( 為參數(shù)在極坐標系（與直角坐標系xOy 有相同的長度單位，且以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸）中，曲線2C的方程為21, 01)sin(cosCC 與則的交點個數(shù)為_ 4直角坐標系 xOy 中，曲線1C的參數(shù)方程為sin3cos2yx).( 為參數(shù)在極坐標系（與直角坐標系 xOy精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 取 相 同 的 長度 單 位 ，且 以 原點 O 為 極點 ， 以 x 軸 正 半軸 為 極 軸） 中， 曲 線2C的 方 程 為21, 01)sin(cosCC 與則的交點個數(shù)為_ 5.（1） （坐標系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標方程為=2sin4c

14、os，以極點為原點，極軸為x 軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為 . 6 （2011陜西高考理科T15C）直角坐標系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點 A， B 分別在曲線1C：3cos4sinxy（為參數(shù)） 和曲線2C：1上， 則|AB的最小值為 7 （坐標系與參數(shù)方程選做題）直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點 A， B 分別在曲線1C：3cossinxy（為參數(shù)） 和曲線2C：1上， 則|AB的最小值為 8.（2011.天津高考理科.T11）.已知拋物線C的參數(shù)方程為tytx882（t為參數(shù)）若斜率為 1 的直線經(jīng)

15、過拋物線C的焦點，且與圓()2224(0)xyrr-+=相切，則r=_. 9.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為5cos(0)sinxy 和25()4xttRyt，它們的交點坐標為 . 10 （2）在直角坐標系 xOy 中，直線l的方程為 x-y+4=0，曲線 C 的參數(shù)方程為x3cosysin（ 為參數(shù)）.（I）已知在極坐標系（與直角坐標系 xOy 取相同的長度單位，且以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸）中，點 P 的極坐標為2, 4，判斷點 P 與直線 l 位置關(guān)系； （II）設(shè)點 Q 是曲線 C 上的一個動點，求它到直線 l 的距離的最小值. 11.選修 4-4：

16、 坐標系與參數(shù)方程 （本小題滿分 10 分） 在平面直角坐標系xOy中， 求過橢圓5cos3sinxy（為參數(shù)）的右焦點，且與直線423xtyt（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程。 12.（2011 新課標全國高考理科 23）在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為2cos22sinxy（為參數(shù)）M 是 C1 上的動點，P 點滿足2OPOMuuu vuuuv,P 點的軌跡為曲線 C2 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) ()求 C2 的方程 ()在以 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線3與 C1 的異于極點的交點為 A，與 C2的異于極點的交點為 B，求AB.

17、 13.（2011 新課標全國高考文科 23）在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為 2cos22sinxy（為參數(shù)）M 是 C1 上的動點，P 點滿足2OPOMuuu vuuuv,P 點的軌跡為曲線 C2 ()求 C2 的方程 ()在以 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線3與 C1 的異于極點的交點為 A，與 C2的異于極點的交點為 B，求AB. 14.（2011遼寧高考理科23） （本小題滿分 10 分） （選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程）在平面直角坐標系xOy中 ， 曲 線C1的 參 數(shù) 方 程 為)(,s i n,c o s為參數(shù)yx， 曲 線C2的 參 數(shù)

18、 方 程 為), 0(,s i n,c o s為參數(shù)babyax.在以 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線 l：=a 與C1，C2 各有一個交點當(dāng) a=0 時，這兩個交點間的距離為 2，當(dāng) a=2時，這兩個交點重合 （I）分別說明 C1，C2 是什么曲線，并求出 a 與 b 的值； （II）設(shè)當(dāng)=4時，l 與 C1，C2 的交點分別為 A1，B1，當(dāng) a=-4時，l 與 C1， C2 的交點為 A2，B2，求四邊形 A1A2B2B1 的面積 15. 極坐標cosp和參數(shù)方程12xtyt （t 為參數(shù)）所表示的圖形分別是（D） A. 直線、直線 B. 直線、圓 C. 圓、圓 D.

19、 圓、直線 16極坐標方程（p-1） （）=（p0）表示的圖形是 （A）兩個圓 （B）兩條直線 （C）一個圓和一條射線 （D）一條直線和一條射線 17在極坐標系（，） （0 0，0)可寫為_ 4過點2，4平行于極軸的直線的極坐標方程是( ) Acos4 Bsin4 Csin2 Dcos2 答案：C 5曲線的參數(shù)方程是 x11ty1t2(t 是參數(shù)，t0)，它的普通方程是( ) A(x1)2(y1)1 Byxx21x2 Cyx1x21 Dy11x21 6直線 cos2 關(guān)于直線 4對稱的直線方程為( ) Acos2 Bsin2 Csin2 D2sin 7已知直線 l 的參數(shù)方程為 x122ty2

20、22t(t 為參數(shù))，則直線 l 的斜率為 ( ) A1 B1 C.22 D22 8直線 3x4y90 與圓： x2cos y2sin ，( 為參數(shù))的位置關(guān)系是 ( ) A相切 B相離 C直線過圓心 D相交但不過圓心 9設(shè)直線過極坐標系中的點 M(2,0)，且垂直于極軸，則它的極坐標方程為_ 10在極坐標系中，直線 sin42 被圓 4 截得的弦長為_ 二、填空題 11在極坐標系中，直線 6截圓 2cos6(R)所得的弦長是_ 精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 12直線 2x3y10 經(jīng)過變換可以化為 6x6y10，則坐標變換公式是_ 13（皖南八校 2011 屆高三第二次聯(lián)考） 已知平面直角坐標系 xOy 內(nèi)， 直線 l 的參數(shù)方程式為2xtyt （t為參數(shù)） ，以為參數(shù)） ，以 OxOx 為極軸建立極坐標系（取相同的長度單位） ，圓為極軸建立極坐標系（取相同的長度單位） ，圓 C C 的極坐標方程為的極坐標方程為2 2sin()4，則直線則直線 l l 的圓的圓 C C 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是 。 14.14.已知曲線的參數(shù)方程為已知曲線的參數(shù)方程為sincos00tyytxx, ,分別以分別以t t和和為參數(shù)得到兩